备战2024年高考数学一轮复习1.3复数(精讲)(原卷版+解析)

1.3复数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一复数的基本知识【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其共轭复数为，则（

）A．的虚部为 B．C．在复平面上对应的点在第四象限 D．2．（2022·全国·高三专题练习（多选））已知复数，则（

）A． B．C．若，则， D．的虚部是3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（

）A．若是纯虚数，则这个纯虚数为B．若为实数，则C．若在复平面内对应的点在第一象限，则D．当时，考点二复数的模长【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（

）A． B．2 C． D．3【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．5 D．6【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（

）A．1 B．4 C．9 D．162（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（）A． B． C． D．考点三复数的几何意义【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（

）A． B． C． D．【例3-2】（2022·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（

）A．复数z的虚部为 B．C． D．复数z的共轭复数为【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（

）A．不可能为纯虚数B．在复平面内对应的点可能位于第二象限C．在复平面内对应的点一定位于第三象限D．在复平面内对应的点可能位于第四象限3．（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁考点四复数与其他知识的综合运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C．1010 D．1011【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知，是复数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·河南商丘）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（

）A． B．C． D．考点五解复数的方程【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则的值是（

）A．或 B． C． D．【一隅三反】1．（2022·重庆八中模拟预测）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（

）A．0 B．1 C． D．22．（2022·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点六综合运用【例6】（2022·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（

）A．若复数满足，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或3．（2022·山东青岛·高三期末）（多选）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（

）A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上C． D．若，则1.3复数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一复数的基本知识【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【解析】∵，∴z的虚部为4,z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其共轭复数为，则（

）A．的虚部为 B．C．在复平面上对应的点在第四象限 D．【答案】D【解析】因为复数，所以，z的虚部为，，对应点在第一象限，，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习（多选））已知复数，则（

）A． B．C．若，则， D．的虚部是【答案】BC【解析】，，故不能推出，A不正确；由复数模的定义，故B正确；根据复数相等知，时，正确，故C正确；由虚部的定义知，的虚部是y,故D不正确.故选：BC3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（

）A．若是纯虚数，则这个纯虚数为B．若为实数，则C．若在复平面内对应的点在第一象限，则D．当时，【答案】D【解析】，对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D.考点二复数的模长【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.故选：C【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】因为，所以，故设，则，所以.故选：D【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．5 D．6【答案】C【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，代入得：.故选：B【一隅三反】1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】设，则，由，得，即，所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆，因为为z的共轭复数，所以即，而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以.故选：C.2（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令，，则表示与距离为1的点集，即，此时，表示圆上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，而|CO|＝，|CA|＝，易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，故选：D．考点三复数的几何意义【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】把四个选项一一代入验证：对于A：z=，则有，.故A错误；对于B：z=，则有，.故B正确；对于C：z=，则有，.故C错误；对于D：z=，则有，.故D错误；故选：B【例3-2】（2022·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（

）A．复数z的虚部为 B．C． D．复数z的共轭复数为【答案】BC【解析】设复数.因为，且复数z对应的点在第一象限，所以，解得：，即.对于A：复数z的虚部为.故A错误；对于B：.故B正确；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：复数z的共轭复数为.故D错误.故选：BC【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D2．（2022·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（

）A．不可能为纯虚数B．在复平面内对应的点可能位于第二象限C．在复平面内对应的点一定位于第三象限D．在复平面内对应的点可能位于第四象限【答案】D【解析】由为第二象限，其对应辐角范围为，所以对应辐角为，故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.所以A、B、C错误，D正确.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】设，由于对应点在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B考点四复数与其他知识的综合运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C．1010 D．1011【答案】B【解析】因为，所以，相减得，所以，虚部为．故选：B．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为所以，根据得，计算得所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知，是复数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，,当，即时，，所以取，，,,则满足，但显然不满足所以“”是“”的充分不必要条件故选：A3．（2022·河南商丘）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，两边取模，得，所以n＝10．二项式的展开式的通项为，因为n＝10，则．令第r＋1项的系数最大，则，即，解得，因为，所以r＝3，所以，故系数最大的项为．故选：C．考点五解复数的方程【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则的值是（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,设由韦达定理可知所以,即,

即,

所以所以故答案为：C【一隅三反】1．（2022·重庆八中模拟预测）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】由题，是方程的一个根，所以，即，则，所以，即，所以，选：B2．（2022·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C考点六综合运用【例6】（2022·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（

）A．若复数满足，则 B．若复数满