2024重庆市拔尖强基联盟高二下学期三月联考数学试题及答案

西南大学附中重庆育才中学高2025届拔尖强基联盟高二下三月联合考试数学试题满分：150分；考试时间：120分钟）命题学校：重庆育才中学2024年3月注意事项：．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。22B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）。第Ⅰ卷一．选择题：本题共8小题，每小题540分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数求导正确的是1A．x'x．x4'x3．2'2'D．2x2x2fx在R上可导，其导函数f'x的图象如图所示，则2．设函数A．函数fx有极大值f．函数fx有极大值f2fx的单调递增区间为D．函数fx的单调递增区间为0,2C．函数x22y22a，b，则方程1可表示焦点在x轴上的不同椭圆的个数为3abA．98．7D64．在等差数列aaaSS的值是n3772A．1218．24D30f'x是函数fxxR的导数，且xR，f'x2x，f25，则不等式fxx21的解集为5A．,22,D．,22,B．．anaaa9aaa的值是32466．已知正项数列A．1log3an1a1nN*3n357．2．3D4第1页共4页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}x2y2a2b27F,F是双曲线C:ab0Q为双曲线CFQ3FP，2112且FPFQ，则双曲线C的离心率为222535A．．．D．x,x21fxexax2，若对任意两个不等的正实数8122f1fx21a恒成立，则的取值范围是1x2D．A．．．二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．下列计算正确的是Annn2nmB．3A．mnmC．nm1D．456An1f'x是fx的导函数，f''x是函数f'xf''x0有实数解xx,fx10．000yfx.为函数fxx3xb图象的对称中心为32，则下列说法中正确的有中心.已知函数fx的极大值与极小值之和为6a，b30A．B．函数fx有三个零点D．函数fx在区间[上的最小值为1C．函数xmy经过抛物线E:x22pyp0的焦点FEABE的准线l交于点C则，3A．p23m3CN0,的取值范围是2D，，成等差数列，则第Ⅱ卷三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．st2sint(s)t2s时，弹12．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的函数为的单位是3簧振子瞬时速度是cm/s．第2页共4页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}13214．若实数x，x分别是方程ln(xx3，xxe2的根，则xxx的值为_________．12122四．解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知函数fxx2aex在，f0处的切线平行于直线2xy10．（）求a的值；（）求fx的极值．1615已知数列an项乘积为TTaaaa，若对nnN*，都有n1n12成立，且nnn123naa4．12（）求数列an的通项公式；9（）若数列bn项和为SblogT求使得S成立的n的最大值．nnn2nn1715x2y213,．3已知椭圆C:ab0的离心率为e，且过点a2b222（）求椭圆C的标准方程；y（AFA的直线交椭圆于点P（P轴于点Q2SS，求直线的方程．5第3页共4页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}18．（本小题17分）已知函数fxalnx1ax．（）讨论fx的单调性；（）设Fxfxx1，求证：当a1Fx在区间上有且仅有2个零点．1917对于整系数方程fx0，当x的最高次幂大于等于3时，求解难度较大．我们常采用试根的方法求解：若xf(x)(xx)g(x)g(x)0g(x)011再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决．求根的过程中常用到有理根定理：rsanxnan1xn1axa00anx中r、sZs0，1(s,r)1r|a，s|a．0n符号说明：对于整数m，n，(,n)m，n的最大公约数；m|nn是m的倍数，即mn．（）过点P作曲线yx3x的切线，借助有理根定理求切点横坐标；（）试证明有理根定理；（）若整数a，b3的倍数，且存在有理数x，使得2x3a2x2b2x10a，b．第4页共4页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}西南大学附中重庆育才中学高2025届拔尖强基联盟高二下三月联合考试数学参考答案及评分意见12345678910DBCDBAABABf1fx8．解析：因为21，不妨设1x20，则有f1fx1x2，1x22fxxfxxgxfxx，由函数单调性可知，gx在0,上单调递增，即1122''fx1ex10则gx在0,上恒成立.法一：若ex10ex1，yex相切的切线方程为yx1，又过点由函数图象可知，只需a1即可.exx0,，法二：若ex10hxe1，hxexa，x'令若若ahx01'hx在0,上单调递增，hxh00，符合题意，所以a1；xlna，所以hx在lna上单调递减，，ahx01'hxh00，不合题意，舍；a.1xex1e1axax0,，法三：若ex10ex1xxxexeex1xxx2sxx0,s'x令，xx2txex1，txex1exxex0，x'x令tx在0,上单调递增，txt00，0则sxsx在0,上单调递增，'，所以ex1ex1，所以1a.由洛必达法则知x0xx01xmyFpA选项正确；2过A作l于B作A1l于B11，1，1112A在第二象限，过B作AA1于D，因为3，所以，3所以斜率km3，3答案第1页，共5页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}同理，当点A在第一象限时，m3，B选项错误12124112xN(0,x,y若1，11111111ty且t2，0111令，1tt22t2t4t2t41122C选项正确；tt2t21,,成等差数列，所以，可得，23112又，1，所以AA1即，1133311，，所以F为中点，则，选项D正确.62121314，37e2．解析：x,x分别是方程ln(xxxxe2的根，ln(xxxxe2，121122x(xe2xx，22即xx，变形为ln(xe(2，从而(1e1211111(x1(xx,x1.同构得：eexx且12212设f(x)xx，f'(x)1xf(x))在上单调递增，(xf(x2)，）由已知可得e(xx，从而xx212x2x2(1x2x2e2.又f(e)11fx2xaexx2aexx22x2aex………………2分f02a21a…………………5分2）由（fxx2xefxexx2………6分2xx当x2fx0，函数fx单调递增；当xfx0，函数fx单调递减；当xfx0，函数fx单调递增；……………………9分5故极大值为f2…………………11分e2极小值为fe………………………13分TT）由Tn1n1T2n12222nan1an…………………3分nnTTn1n又由已知条件可得a2a,则a为公比为2的等比数列，an2n.……………6分21nnn2）T1222nnn22……………8分n211则Tn……………………10分2nnnn12n答案第2页，共5页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}121213111n11………………12分n1S1nn1，则n8.……………………14分n1若S1n9又因为nN*以n的最大值为7.……………………15分c2a234c31）由题知e即a2b2…………2分a21313,1b21………………4分2b2b2ac3…………………………5分x2C的标准方程y2；………………………6分14Px,yQyyQ2x22）设直线的方程为：，，，………7分PpQm12yP2SSSSS2SS，所以，12155yQyP2yPyQyP25yPyQ2即，则有，7yPyP2又yy与Q……………10分pyQy7Qx2y21联立椭圆C和直线的方程：4x24mm2m4y422yP…………………12分得44myPm22m2246即，m，………………………14分y2733Qm所以直线的方程为：3x6y60或3x6y60.…………15分ax111axx1）f'x1ax10x,，所以1fx在a时，令fx0',上单调递增，当，a1a11a11a10x令fx，所以fx在上单调递减，……2分'，fx在…………4分当0a1时，fx0'1a110x，所以fx在上单调递增，a1a时，令fx1'当，答案第3页，共5页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}1a11a10x,fx在,上单调递减，……6分'令fx，1a11a1fx在,上单调递增，在上单调递减；a0综上所述：当fx在上单调递增；当0a1时，所以11a1fx在上单调递增，在a1,a1上单调递减.当Fxfxx1lnxx1，2）由题11x11x1g'xx，F'xxgxFx'xx2xF'x0Fx在上单调递增，当F00，所以Fx在上有一个零点，即x0………8分xgx0''当Fx在上单调递减，…………9分分22'110F'010mFm0………………10'又F，2，所以存在1220Fx在m,上单调递减，Fx，xm，Fx0Fx在m上单调递增，当x,'，2'，22FmF00，F110，而2Fx在,上必存在唯一零点，即Fx在上存在唯一零点…………………12分22g'01'g1x,g'x在,0，当上单调递增且，2222n,'0，……………13gn分所以存在，使得2x,ngx0''Fx在,n上单调递减，当当又，所以22xn,g'x0n,上单调递增，'，所以Fx在1Fn'0'Fn,，使得Ft0…………………15分''，F0，所以存在t210Fx在,txt,时，FxFx，x,t''0Fx在t,上单调递增，时，，22FtF0Fln20，所以Fx在,上无零点，.………………17分2Fx在上有且仅有2个零点.2综上，答案第4页，共5页{#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}x03x031）设切点为(x0,x03x)，y'3x21，3x0120x0x3x.…………………1分29200012112由有理根定理知，该方程有理根可能为：2,，经验证满足方程，即有理根有x0…2分21xx2x42)0，即：x或x26或x26………4分进一步分解因式为：(20000200rrfx的一个有理根，因此在有理数域上是x|anxnaxn11xa，n102）因为ssr|anxnan1xn1axa01所以，可将………………5分rn1xn1...b，式中b,,0都是整数分n10f(x)分解为：anxnan1xn1axa01比较两边系数，即得ansbn1,a0rb0.因此，s|a,r|a.…………………………8分n03）求解之前先引入下面引理：2x3a2x2b2x10不存在整数解.n32222a2nb2)1证明：假