《微积分（第4版）》 课件 7.8 二重积分

一、二重积分的概念与性质二、二重积分在直角坐标系中计算三、二重积分在极坐标系中的计算四、二重积分的几何应用第八节二重积分

导言：本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分上，由于二重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一步推广.因此，二重积分概念、性质与定积分类似，二重积分的计算方法也是将其转化为定积分.学习中要注意与定积分的对比，把握两者之间的共性与区别.第八节二重积分

求由直线x=a,x=b,y=0与曲线y=f(x)≥0

所围成的曲边梯形的面积.方法：整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近回顾：曲边梯形面积的求解过程及思想方法xyo(1)分割化整为零(2)近似以常代变(3)求和积零为整(4)极限无限累加一、二重积分的概念与性质1.求曲顶柱体的体积

曲顶柱体:以xOy平面上的有界闭区域D为底,其侧面为以D的边界线为准线,而母线平行z轴的柱面，其顶是连续曲面所围成的几何体.xzy下面讨论如何计算曲顶柱体的体积V.(1)分割对区域D用两组曲线网任意分割成n个小区域其中既表示第i个小区域也表示其对应的面积.

(2)近似在中任取一点,以为高而底为的平顶柱体体积为以此作为小曲顶柱体体积的近似值.xzy方法：整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近即有(4)

取极限记为的直径的最大值(

表示中任意两点间距离的最大值），则曲顶柱体的体积为(3)

求和将小曲顶柱体积求和，可得曲顶柱体的近似值为xzy2.二重积分的概念

定义设函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.用任意两组曲线分割D成n个小块既表示第i小块,也表示第i小块的面积.在上任取一点,作和式记,若极限存在称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为xyD称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x,y为积分变量,

为面积微元.积分和积分区域面积微元被积函数积分号

二重积分作几点说明：（1）二重积分的积分值与区域的分割方式与取点无关，即分割与取点具有任意性；（2）二重积分的积分值是一数值，该值与区域及被积函数相关，与积分变量无关；（3）若被积函数在有界闭区域上连续则一定可积.3.二重积分的几何意义(1)若在D上f(x,y)≥0,则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和.(2)若在D上f(x,y)≤0,则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体体积的相反数.

当时,且区域D的面积为，则

二重积分有与定积分类似的性质.假设函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.则有下述性质：(1)(2)(3)(4)若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有4.二重积分的性质

定理(中值定理)

设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点，使

积分中值定理说明：对有界闭区域D上连续函数

f(x,y),必在D上存在一个点使为f(x,y)在D上的平均值.

定理(估值定理)

若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且

为区域D的面积，则二、二重积分在直角坐标系下的计算

在直角坐标系中,如果用平行于两个坐标轴的两组直线段,将区域D分割成n个小块从而有直角坐标系下面积微元则面积微元可表示为小区域面积xoyD

二重积分计算公式(1)设有界闭区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为区域D称习惯上称为X-型区域.

若在区域D上有定义,由二重积分的几何意义知，的值为以区域D为底,以为顶的曲顶柱体的体积.yxabxyzD在此用定积分的“切片法”来求曲顶柱体的体积.xyzabx

在区间[a,b]上任取一点x,过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截,截面面积为S(x),则所给立体体积

所截截面为曲边梯形.将这曲边梯形投影到oyz坐标面,它是区间[y1

(x),y2

(x)]上,以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形,其截面面积为yy1y2z故曲顶柱体的体积,也就是二重积分为

上式将二重积分化成先对y积分,后对x积分的二次积分或称为累次积分.二重积分的计算公式也可记为

需要指出,计算时,应将x视为常量,按定积分的计算方法解之.(2)设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为则二重积分可化为

上式将二重积分化成视y为常量先对x积分后对y积分的二次积分.xydc区域D称习惯上称为Y-型区域.

说明：(1)若积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点多于两个,则需要对区域进行适当分割.再用公式及重积分的可加性求二重积分.xy(2)累次积分的下限必须小于上限.

计算二重积分的步骤：(1)画出积分区域图形,求出区域边界曲线的交点坐标(2)根据被积函数和积分区域的特征选择积分次序；(3)确定积分限上下限将二重积分转化为累次积分；(4)利用积分法计算累次积分.累次积分中积分限的确定方法yxabyxdc区域D为X-型区域区域D为Y-型区域第一次积分:从穿入的边界方程作为下限，穿出的边界方程作为上限.第二次积分:从左端点a值到右端点b值.第一次积分:从穿入的边界方程作为下限，穿出的边界方程作为上限.第二次积分:从左端点c值到右端点d值.

例计算,其中解积分区域为矩形区域，选择先对y再对x积分xy－1－111一般地，对于矩形区域有

例计算积分其中D是由y=x，y=0和所围成的三角形区域.解

先对y积分再对x积分先对x积分再对y积分xyy=x

例计算,其中解选择先对y再对x积分注：选择先对x再对y积分类似.xy11Ｏ

例计算积分，其中D是由不等式：所确定的长方形区域.注：此例说明选择积分次序时要考虑积分易求.

解由被积函数可知,如先对x积分,需用分部积分法.如先对y积分则不必，计算会简单些.因此,选择先对y积分，即

例计算其中积分区域D由抛物线及直线所围成.解１选择先对x再对y积分yOx－12解２选择先对x再对y积分但是，这时就必须用直线x=1将D分成和两块,其中yOx４２

计算起来要比先对后对积分麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为累次积分的关键.

解由不定积分可知不能用初等函数表示出来.因此,所给积分须更改积分次序.即选择先对y积分后对x积分.由所给积分知

例计算二次积分D:也即D:xyy=x例交换二次积分次序

解所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.也即D:xy1交换积分次序的步骤：依据二次积分定出积分区域的范围,作出区域图形,再化为新积分次序的二次积分.

一、二重积分的概念与性质二、二重积分在直角坐标系中计算三、二重积分在极坐标系中的计算四、二重积分的几何应用第八节二重积分三、二重积分在极坐标系下的计算1.极坐标系下的面积微元ro二重积分在极坐标系中面积微元为

在极坐标系中,用r=常数和=常数来分割区域D.设是由半径为r和的两个圆弧与极角等于和的两条射线所围成的小区域.这个小区域近似地看作是边长为和的小矩形,所以它的面积

若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为，则有关系：

分别将代入二重积分表达式中，可得二重积分在极坐标系下表达形式此式称为二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.所以2.极坐标系下化二重积分为二次积分(1)若极点在区域D之外.则有(2)极点在区域D的边界线上D:则有xoxo(3)若极点在区域D的内部则有D:

如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数为f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.利用极坐标计算二重积分积分特征xo极坐标下二重积分计算的基本步骤1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分.(1)将代入被积函数.(3)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.(2)将面积元素dxdy换为.2.将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.

例

计算二重积分其中区域D为由x=0及x2+y2=2y

围成的第一象限内的区域.解D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式此时D可以表示为xyo例计算其中解在极坐标系下故

注：由于的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.xyo例计算积分解积分域是圆环，D：xyo曲线的极坐标方程为；曲线的极坐标方程为r=2.

例计算,其中D是由不等式所确定的区域.解极点在区域D的边界曲线上.因此xyo

二重积分计算总结：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的.

一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有的项时,采用极坐标系下