中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题12 新定义型几何图形综合问题（重点突围）(原卷版)

专题12新定义型几何图形综合问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一与三角形有关的新定义型问题】 1【考向二与四角形有关的新定义型问题】 11【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】 23【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】 31【直击中考】【考向一与三角形有关的新定义型问题】例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．【定义感知】(1)如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AB=BD．求证：AD是SKIPIF1<0的“华丽分割线”．【问题解决】(2)①如图2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AD是SKIPIF1<0的“华丽分割线”，且SKIPIF1<0是等腰三角形，则SKIPIF1<0的度数是________；②如图3，在SKIPIF1<0中，AB=2，AC=SKIPIF1<0，AD是SKIPIF1<0的“华丽分割线”，且SKIPIF1<0是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．【变式训练】1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（SKIPIF1<0）．如图，在SKIPIF1<0中，AB=AC，顶角SKIPIF1<0的正对记作SKIPIF1<0，这时SKIPIF1<0，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：(1)SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0___________；(2)如图，已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为锐角，试求SKIPIF1<0的值．2．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然SKIPIF1<0，则这个三角形的第三个角为SKIPIF1<0，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为SKIPIF1<0，请求出它的两个锐角的度数；(2)【尝试运用】:如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不平分SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是“亚直角三角形”，求线段SKIPIF1<0的长；(3)【素养提升】:如图2，在钝角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为15，求证：SKIPIF1<0是“亚直角三角形”．3．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为SKIPIF1<0，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；【巩固新知】(2)如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D在SKIPIF1<0边上，若SKIPIF1<0是“准直角三角形”，求SKIPIF1<0的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是“准直角三角形”，求SKIPIF1<0的面积．4．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0边上的高线，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等高三角形．【性质探究】如图①，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积．则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【性质应用】(1)如图②，D是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的一点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________；(2)如图③，在SKIPIF1<0中，D，E分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0边上的点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0_________；(3)如图③，在SKIPIF1<0中，D，E分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0边上的点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【考向二与四角形有关的新定义型问题】例题：（2022·陕西西安·校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)问题发现：如图1，筝形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求筝形SKIPIF1<0的面积的最大值；(2)问题解决：如图2是一块矩形铁片SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0厘米，SKIPIF1<0厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形SKIPIF1<0，要求点E是SKIPIF1<0边的中点，点F、G、H分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形SKIPIF1<0的面积最大？若存在，求出筝形SKIPIF1<0的面积最大值，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余四边形．(1)问题SKIPIF1<0．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（）①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．(2)如图①，在对角互余四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积和周长．(3)问题SKIPIF1<0．如图②，在对角互余四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积和周长．(4)问题SKIPIF1<0．如图③，在对角互余四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．2．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形SKIPIF1<0是“等邻边四边形”，则矩形SKIPIF1<0___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如图②，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上（不含端点），若SKIPIF1<0，试判断四边形SKIPIF1<0是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形SKIPIF1<0的周长的最小值为___________；【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料SKIPIF1<0，如图③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0，使四边形SKIPIF1<0为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．3．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为“等邻角四边形”．(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．(2)深入探究：①已知四边形SKIPIF1<0为“等邻角四边形”，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．②如图②，在五边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求证：四边形SKIPIF1<0为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P为边BC上的一动点，过点P作SKIPIF1<0，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，SKIPIF1<0的值是否会发生变化？请说明理由．【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022·江西上饶·统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是SKIPIF1<0，那么称该三角形为“特异角平分三角形”，这条角平分线称为“特异角平分线”．(1)如图1，SKIPIF1<0是一个“特异角平分三角形”，SKIPIF1<0是一条“特异角平分线”①当SKIPIF1<0时，试求SKIPIF1<0的值．②在SKIPIF1<0中，过点D作SKIPIF1<0于点E，延长至点H，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．(2)如图2．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，点C为切点，SKIPIF1<0于点A且交SKIPIF1<0于点H，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．试证明SKIPIF1<0是一个“特异角平分三角形”．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，∠E是SKIPIF1<0中∠A的“好角”，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______；（用含SKIPIF1<0的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD内接于SKIPIF1<0，点D是优弧ACB的中点，直径SKIPIF1<0弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是SKIPIF1<0中∠BAC的“好角”．(3)如图3，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，∠BGC是SKIPIF1<0中∠A的“好角”，BG过圆心O交SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0的直径为8，SKIPIF1<0，求FG．2．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：SKIPIF1<0的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含SKIPIF1<0角的直角三角形；④含SKIPIF1<0角的等腰三角形．(2)如图1，△SKIPIF1<0是⊙O的内接三角形，SKIPIF1<0为直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，交线段SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交⊙O于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．试判断△SKIPIF1<0和△SKIPIF1<0是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出SKIPIF1<0的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求SKIPIF1<0的余弦值．【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．(1)如图1，若▱ABCD的一组邻边AB＝4，AD＝7，且它的面积为14SKIPIF1<0．求证：▱ABCD为半矩形．(2)如图2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD内）到AB的距离为1，⊙O的半径＝5，求AD的长．(3)如图3，半矩形ABCD中，∠A＝45°①求证：CD是△ABD外接圆的切线；②