中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题11 相似三角形的综合问题（重点突围）(原卷版)

专题11相似三角形的综合问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一(双)A字型相似】 1【考向二(双)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋转相似】 24【考向五K字型相似】 37【直击中考】【考向一(双)A字型相似】例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DESKIPIF1<0BC，SKIPIF1<0．（1）求证：DFSKIPIF1<0BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6SKIPIF1<0．求证△ADE∽△AEB．【变式训练】1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一点，点E在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0交于点F，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝__________．2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上的高．求证：SKIPIF1<0．3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似?4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，SKIPIF1<0中，点D在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）点E在SKIPIF1<0边上，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．（3）在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长等于30，求SKIPIF1<0的长．【考向二(双)8字型相似】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，AF＝2，求SKIPIF1<0的长．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，SKIPIF1<0，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___．3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求CD的长．4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求证：AN＝CM；（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平分线，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)如果SKIPIF1<0是锐角，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，求SKIPIF1<0的度数，并直接写出SKIPIF1<0的值．【考向三母子型相似】例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足SKIPIF1<0，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是SKIPIF1<0的边AB的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断点D是不是SKIPIF1<0的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点D是SKIPIF1<0的“理想点”，求CD的长．【变式训练】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为___________．2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积，(3)若SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的值为______．4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点Р以SKIPIF1<0的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以SKIPIF1<0的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0_____m（用含t的代数式表示）（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与SKIPIF1<0CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【考向四旋转相似】例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针方向旋转，记旋转角为SKIPIF1<0．(1)问题发现①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0＝______；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0＝______；(2)拓展探究试判断当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决当SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转至SKIPIF1<0三点在同一条直线上时，求线段SKIPIF1<0的长．【变式训练】1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D，E分别是SKIPIF1<0的中点．把SKIPIF1<0绕点B旋转一定角度，连结SKIPIF1<0．(1)如图2，当线段SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部时，求证：SKIPIF1<0．(2)当点D落在直线SKIPIF1<0上时，请画出图形，并求SKIPIF1<0的长．(3)当SKIPIF1<0面积最大时，请画出图形，并求出此时SKIPIF1<0的面积．2．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将正方形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转，旋转角为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)如图2，在旋转过程中，①判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否全等，并说明理由；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．(2)如图3，延长SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；3．（2022·山东济南·统考二模）（1）【方法尝试】如图1，矩形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转SKIPIF1<0所得的图形，SKIPIF1<0分别是它们的对角线．则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0数量关系_______，位置关系________；（2）【类比迁移】如图2，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角SKIPIF1<0为α（SKIPIF1<0），连接SKIPIF1<0．请判断线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0，在射线SKIPIF1<0上取一点D，连接SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，请求线段SKIPIF1<0的最大值．4．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0后，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0构成位似图形，我们称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为“旋转位似图形”．(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形（填“是”或“不是”SKIPIF1<0“旋转位似图形”；如图1，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为“旋转位似图形”，①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；(2)知识运用：如图2，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图3，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上一点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为“旋转位似图形”，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值．【考向五K字型相似】例题：（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，点D、E分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．(1)如图1，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0．①如图2，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长；②如图3，当SKIPIF1<0时，直接写出SKIPIF1<0的长是______．【变式训练】1．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）（1）如图，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的同侧，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；（2）如图，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的同侧，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）如图，SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1