高中必修一数学教案

中学必修一数学教案

在一年的数学教学工作中，作为中学数学老师的你知道如何写中学必

修一数学教案吗？来写一篇中学必修一数学教案吧，它会对你的教学工作

起到不菲的帮助。下面是为大家收集有关于中学必修一数学教案，希望你

喜爱。

中学必修一数学教案1

一、教材分析

1.教材所处的地位和作用

在学习了随机事务、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题

和古典概型的概念后，进一步体会用频率估量概率思想。它是对古典概型

问题的一种模拟，也是对古典概型学问的深化，同时它也是为了更广泛、

高效地解决一些实际问题、体现信息技术的优越性而新增的内容。

2.教学的重点和难点

重点：正确理解随机数的概念，并能应用计算器或计算机产生随机数。

难点：建立概率模型，应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计

算概率，解决一些较简洁的现实问题。

二、教学目标分析

1、学问与技能：

(1)了解随机数的概念；

(2)利用计算机产生随机数，并能干脆统计出频数与频率。

2、过程与方法：

(1)通过对现实生活中详细的概率问题的探究，感知应用数学解决问题

的方法，体会数学学问与现实世界的联系，培育逻辑推理实力;

⑵通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动

脑的良好习惯

3、情感看法与价值观：

通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物

主义观点.

三、教学方法与手段分析

1、教学方法：本节课我主要接受启发探究式的教学模式。

2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学

四、教学过程分析

㈠创设情境、引入新课

情境1：假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某超市内的80袋小

包装饼干中抽取10袋进行卫生达标检验，你准备如何操作？

预设学生回答：

团接受简洁随机抽样方法（抽签法）

团接受简洁随机抽样方法（随机数表法）

老师总结得出：随机数就是在肯定范围内随机产生的数，并且得到这

个范围内每一数的机会一样。（引入课题）

「设计意图」（1）回忆统计学问中利用随机抽样方法如抽签法、随机数

表法等进行抽样的步骤和特征;（2）从详细试验中了解随机数的含义。

情境2：在抛硬币和掷骰子的试验中，是用频率估量概率。假如现在

要作10000次试验，你准备怎么办?大家可能觉得这样做试验花费时间太

多了，有没有其他方法可以代替试验呢？

I'设计意图」当须要随机数的量很大时，用手工试验产生随机数速度

太慢，从而说明利用现代信息技术的重要性，体现利用计算器或计算机产

生随机数的必要性。

㈡操作实践、了解新知

老师：向学生介绍计算器的操作，让他们了解随机函数的原理。可事

先编制几个小问题，在课堂上带着学生用计算器(科学计算器或图形计算

器)操作一遍，让学生熟识如何用计算器产生随机数。

「设计意图」通过操作熟识计算器操作流程，在明白原理后，通过让学

生自己依据规则操作，熟识计算器产生随机数的操作流程，了解随机数。

问题1：抛一枚质地匀称的硬币出现正面对上的概率是50,你能设计

一种利用计算器模拟掷硬币的试验来验证这个结论吗？

思索：随着模拟次数的不同，结果是否有区分，为什么？

「设计意图」团设计概率模型是解决概率问题的难点，也是能解决概

率问题的关键，是数学建模的第一步。回抛硬币是最熟识、最简洁的问题，

很自然会想到把正面对上、反面对上这两个基本领件用两个随机数来代替。

(题目让学生通过熟识50想到用随机数0,1来模拟，为后面问题4每天

下雨的概率为40的概率建模作第一次小铺垫。)团熟识利用计算器模拟试

验的操作流程，为解决后面例题模拟下雨作好铺垫。

问题2：(1)刚才我们利用了计算器来产生随机数，我们知道计算机有

很多软件有统计功能，你知道哪些软件具有随机函数这个功能？

(2)你会利用统计软件Excel来产生随机数0,1吗?你能设计一种利用

计算机模拟掷硬币的试验吗？

「设计意图」团了解有很多统计软件都有随机函数这个功能，并与前

面第一章所学的用程序语言编写程序相联系;ElExcel是学生比较熟识的统

计软件，也可让学生回顾初中用Excel画统计图的一些功能和学问，其次

让学生驾驭多种随机模拟试验方法。

问题3：(1)你能在Excel软件中画试验次数从1到100次的频率分布

折线图吗？

(2)当试验次数为1000,1500时，你能说说出现正面对上的频率有些

什么变更？

「设计意图」团应用随机模拟方法估量古典概型中随机事务的概率值;

团体会频率的随机性与相对稳定性，经验用计算机产生数据，整理数

据，分析数据，画统计图的全过程，使学生信任统计结果的真实性、随机

性及规律性。

㈢讲练结合、巩固新知

问题4：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40,

这三天中恰有两天下雨的概率是多少？

问1：能用古典概型的计算公式求解吗？

你能说明一下这为什么不是古典概型吗？

问2：你如何模拟每一天下雨的概率为40?

「设计意图」团问题分层提出，降低本题难度。如何模拟每一天下雨

的概率40是解决这道题的关键，是随机模拟方法应用的重点，也是难点

之一。

团巩固用随机模拟方法估量未知量的基本思想，明确利用随机模拟方

法也可解决不是古典概型而比较困难的概率应用题。

归纳步骤：第一步，设计概率模型;

其次步，进行模拟试验；

方法一：(随机模拟方法-计算器模拟)利用计算器随机函数；

方法二：(随机模拟方法-计算机模拟)

第三步，统计试验的结果。

课堂检测将一枚质地匀称的硬币连掷三次，出现2个正面朝上、1个

反面朝上和1个正面朝上、2个反面朝上的概率各是多少?并用随机模拟的

方法做100次试验，计算各自的频数。

「设计意图」通过练习，进一步巩固学生对本节课学问的驾驭。

㈣归纳小结

(1)你能归纳利用随机模拟方法估量概率的步骤吗？

(2)你能体会到随机模拟的优势吗?请举例说说。

「设计意图」团通过问题的思索和解决，使学生理解模拟方法的优点，

并充分利用信息技术的优势烟是对学问的进一步理解与思索，又是对本节

内容的回顾与总结。

㈤布置练习：

课本练习3、4

「设计意图」课后作业的布置是为了检验学生对本节课内容的理解和

运用程度，并促使学生进一步巩固和驾驭所学内容。

［内容结束］

中学必修一数学教案2

一教材分析

本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的

三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密

联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形

和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦

定理的学问特别重要。

依据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有

学问水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发觉正弦定理的内容，推

证正弦定理及简洁运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两

类问题。

实力目标：引导学生通过视察，推导，比较，由特别到一般归纳出正

弦定理，培育学生的创新意识和视察与逻辑思维实力，能体会用向量作为

数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：面对全体学生，制造同等的教学氛围，通过学生之间、师

生之间的沟通、合作和评价，调动学生的主动性和乐观性，给学生胜利的

体验，激发学生学习的爱好。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三

角形时推断解的个数。

二教法

依据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，

以学业生的进展为本，遵照学生的相识规律，本讲遵照以老师为主导，以

学生为主体，训练为主线的指导思想，接受探究式课堂教学模式，即在

教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提,

以"正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的

思维由问题起先，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到

深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的爱好，鼓舞

学生大胆猜想，乐观探究，以及刚好地鼓舞，使他们知难而进。另外，抓

学问选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的学问特点入手，老师

在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的实力

线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破

难点

三学法：

指导学生驾驭"视察一一猜想一一证明一一应用"这一思维方法,实行个

人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对随

意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，视察，类比，思索，探

究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增加学生由特别到一

般的数学思维实力，形成了实事求是的科学看法，增加了锲而不舍的求学

精神。

四教学过程

第一：创设情景，也许用2分钟

其次：实践探究，形成概念，大约用25分钟

第三：应用概念，拓展反思，大约用13分钟

（一）创设情境，布疑激趣

"爱好是的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半,

本节课由一个实际问题引入，"工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩

下如右图所示的部分，OO长为想修好这个零件，但他

0A=47,0B=53/AB1m,

不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生

帮助别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。

（二）探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟识的特例（直角三角形）入手进行探讨，发

觉正弦定理。

2.那结论对随意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、

计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让学生总结试验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满意关系

这为下一步证明树立信念，不断的使学生对结论的相识从感性逐步上

升到理性。

（三）逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，须要严格的理论证明。

2.鼓舞学生通过作高转化为熟识的直角三角形进行证明。

3.提示学生思索哪些学问能把长度和三角函数联系起来，继而思索向

量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

4.思索是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，

做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

（四）归纳总结，简洁应用

1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发觉定理具有对称和谐美，

提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，探讨可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与

实际问题的解决，能激发学生学问后用于实际的价值观。

（五）讲解例题，巩固定理

1.例1。在团ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1简洁，结果为解，假如已知三角形两角两角所夹的边，以及已知

两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2.例2.在13ABe中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟

识驾驭已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交

给学生。

（六）课堂练习，提高巩固

1.在团ABC中,已知下列条件，解三角形.

（）

lA=45°,C=30°/c=10cm

（2）A=60°,B=45°,c=20cm

2.在团ABC中,已知下列条件，解三角形.

（l）a=20cm,b=llcm,B=30°

⑵c=54cm,b=39cm,C=115°

学生板演，老师巡察，刚好发觉问题，并解答。

（七）小结反思，提高相识

通过以上的探讨过程，同学们主要学到了那些学问和方法?你对此有

何体会？

1.用向量证明白正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角动身，运用分类探讨的思想。

（从实际问题动身，通过猜想、试验、归纳等思维方法，最终得到了

推导出正弦定理。我们探讨问题的突出特点是从特别到一般，我们不仅收

获着结论，而且整个探究过程我们也驾驭了探讨问题的一般方法。在强调

探讨性学习方法，留意学生的主体地位，调动学生乐观性，使数学教学成

为数学活动的教学。)

(八)任务后延，自主探究

假如已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发觉正

弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预

习下一节内容。

五板书设计

板书设计可以让学生一目了然本节课所学的学问，证明正弦定理的方

法以及正弦定理可以解决的两类问题。

中学必修一数学教案3

教学目标

(1)使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

(2)使学生驾驭组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之

间的关系；

⑶通过学习组合学问，让学生驾驭类比的学习方法，并提高学生分析

问题和解决问题的实力；

⑷通过对排列、组合问题求解与剖析，培育学生学习爱好和思维深刻

性，学生具有严谨的学习看法。

教学建议

一、学问结构

二、重点难点分析

本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式，组合数的性质。

难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理

的驾驭和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

组合与组合数，也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m（m<n）

个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。全

部这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看，从n个元素的有

限集中取出m个组成的一个集合（无序集），相当于一个组合，而这种集合

的个数，就是相应的组合数。

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞

清须要分类，还是须要分步.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘

明确（分类为加、分步为乘）.

三、教法设计

1.对于基础较好的学生，建议把排列与组合的概念进行对比的进行学

习，这样有利于搞请这两组概念的区分与联系.

2.学生与老师可以合编一些排列组合问题，如"45人中选出5人当班

干部有多少种选法?"与"45人中选出5人分别担当班长、副班长、体委、

学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题，同学们会依据自己身边的

实际可以编出各种各样的具有特色的问题，老师要引导学生分辨哪个是排

列问题，哪个是组合问题.这样既调动了学生学习的乐观性，又在编题辨题

中澄清了概念.

为了理解排列与组合的概念，建议大家学会画排列与组合的树图.如,

从a,b,c,d4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为：

排列树图

由排列树图得到，从a,b,c,d取出3个元素的全部排列有24个，它们

分别是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc......dca,dcb.

组合树图

由组合树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个，它们是

(abc),(abd);(acd),(bcd).

从以上两组树图清晰的告知我们，排列树图是对称的，组合图式不是

对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个

都有在第一位的机会，哪一个都有在其次位的机会，哪一个都有在第三位

的机会，而组合只考虑字母不考虑依次，为实现无依次的要求，我们可以

限定a,b,c,d的依次是从前至后，固定了死依次等于无依次，这样组合就有

了自己的树图.

学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导

组合数的计算公式.

3.排列组合的应用问题，老师应从简洁问题问题入手，逐步到有一个

附加条件的单纯排列问题或组合问题，最终在设及排列与组合的综合问题.

对于每一道题目，老师必需先让学生独立思索，在进行全班探讨，对

于学生的每一种解法，老师要先让学生推断正误，在赐予点播.对于排列、

组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培育学生的分析问题

解决问题的实力，在学生的多种解法基础上老师要引导学生选择方案，总

结解题规律.对于学生解题中的常见错误，老师肯定要讲明道理，细致分析

错误缘由，使学生在是非的推断得以提高.

4.两特性质定理教学时，对定理1,可以用下例来说明：从4个不同

的元素a,b,c,d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组

合分别是

这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素

里每次取出1个元素的组合是一一对应的.

对定理2,可启发学生从下面问题的探讨得出.从n个不同元素，，...,

里每次取出m个不同的元素()，问：(1)可以组成多少个组合;⑵在这些组

合里，有多少个是不含有的；⑶在这些组合里，有多少个是含有的;⑷

从上面的结果，可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2.

对于，和一样，是一种规定.而学生常常误以为是推算出来的，因此，

教学时要讲清晰.

教学设计示例

教学目标

(1)使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

(2)使学生驾驭组合数的计算公式；

(3)通过学习组合学问，让学生驾驭类比的学习方法，并提高学生分析

问题和解决问题的实力；

教学重点难点

重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；

难点是解组合的应用题.

教学过程设计

(-)导入新课

(老师活动)提出下列思索问题，打出字幕.

［字幕］一条铁路途上有6个火车站，⑴需准备多少种不同的一般客车

票?(2)有多少种不同票价的一般客车票?上面问题中，哪一问是排列问题?

哪一问是组合问题？

（学生活动）探讨并回答.

答案提示：⑴排列;⑵组合.

［评述］问题⑴是从6个火车站中任选两个，并按肯定的依次排列，要

求出排法的种数，属于排列问题;（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，

两站无依次关系，要求出不同的组数，属于组合问题.这节课着重探讨组合

问题.

设计意图：组合与排列所探讨的问题几乎是平行的.上面设计的问题目

的是从排列学问中发觉并提出新的问题.

（二）新课讲授

I提出问题创设情境］

（老师活动）指导学生带着问题阅读课文.

［字幕］1.排列的定义是什么？

2.举例说明一个组合是什么？

3.一个组合与一个排列有何区分？

（学生活动）阅读回答.

（老师活动）对比课文，逐一评析.

设计意图：激活学生的思维，使其将所学的学问迁移过渡，并尽快适

应新的环境.

【归纳概括建立新知】

（老师活动）承接上述问题的回答，展示下面学问.

［字幕］模型：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同

元素中取出个元素的一个组合.如前面思索题：6个火车站中甲站^乙站

和乙站＞＞甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组

合.

组合数：从个不同元素中取出个元素的全部组合的个数，称之，用

符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为.

［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与依次有关，

当取出元素后，若变更一下依次，就得到一种新的取法，则是排列问题;

若变更依次，仍得原来的取法，就是组合问题.

（学生活动）倾听、思索、记录.

（老师活动）提出思索问题.

［投影］与的关系如何？

（师生活动）共同探讨.求从个不同元素中取出个元素的排列数，可

分为以下两步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数为；

第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为.

依据分步计数原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（学生活动）验算，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的一

般客车票.

设计意图：本着以相识概念为起点，以问题为主线，以培育实力为核

心的宗旨，逐步展示学问的形成过程，使学生思维层层被激活、渐渐深化

到问题当中去.

【例题示范探求方法】

（老师活动）打出字幕，给出示范，指导训练.

［字幕］例1列举从4个元素中任取2个元素的全部组合.

例2计算：⑴;⑵.

（学生活动）板演、示范.

（老师活动）讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题.

［字幕］例3已知，求的全部值.

（学生活动）思索分析.

解首先，依据组合的定义，有

®

其次，由原不等式转化为

即

解得②

综合①、②，得，即

I点评］这是组合数公式的应用，关键是公式的选择.

设计意图：例题教学按部就班，让学生巩固学问，强化公式的应用,

从而培育学生的综合分析实力.

【反馈练习学会应用】

（老师活动）给出练习，学生解答，老师点评.

［课堂练习］课本P99练习第2,5,6题.

［补充练习］

［字幕］1.计算:

2,已知,求.

（学生活动）板演、解答.

设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭

示排列数公式的结构、特征及应用.

【点评矫正沟通提高】

（老师活动）依照学生的板演，赐予指正并总结.

补充练习答案：

1.解：原式：

2.解：由题设得

整理化简得，

解之，得或（因，舍去），

所以，所求

［字幕］小结:

1.前一个公式主要用于计算详细的组合数，而后一个公式则主要用于

对含有字母的式子进行化简和论证.

2.在解含组合数的方程或不等式时，肯定要留意组合数的上、下标的

限制条件.

（学生活动）沟通探讨，总结记录.

设计意图：由“实践一一相识一一一实践”的相识论，教学时抓住“学习

一一练习一一反馈——小结”这些环节，使教学目标得以强化和落实.

（三）小结

（师生活动）共同小结.

本节主要内容有

1.组合概念.

2.组合数计算的两个公式.

（四）布置作业

1.课本作业：习题103第1（1）、（4）,3题.

2.思索题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人

参与数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参与，共有180

种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？

3.探讨性题：

在的边上除顶点外有5个点，在边上有4个点，由这些点（包括）

能组成多少个四边形?能组成多少个三角形？

（五）课后点评

在学习了排列学问的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合

数公式，同时调控进行训练，从而培育学生分析问题、解决问题的实力.

作业参考答案

2.解;设有男同学人，则有女同学人，依题意有，由此解得或或

2.即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人.

3.能组成（留意不能用点为顶点）个四边形，个三角形.

探究活动

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送

出的贺年卡，那么四张不同的安排万式可有多少种？

解设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解.

解法一可将拿贺卡的状况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情

形分为三类，即：

甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种安排方法.

甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种安排方法.

甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种安排方法.

由加法原理得，贺卡安排方法有3+3+3=9种.

解法二可从利用排列数和组合数公式角度来考虑.这时还存在正向与

逆向两种思索途径.

正向思索，即从满意题设条件动身，分步完成安排.先可由甲从乙、丙、

丁制作的贺卡中选取1张，有种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡

被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有种，最终剩下2人可

选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种

取法.依据乘法原理，贺卡的安排方法有（种）.

逆向思索，即从4人取4张不同贺卡的全部取法中解除不满意题设条

件的取法.不满意题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其

中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4

人均拿自己制作的贺卡）.其取法分别为1.故符合题设要求的取法共有

（种）.

说明⑴对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较困难，

且简洁重复遗漏计算的排列组合问题，常可接受干脆分类后用加法原理进

行计算，如本例接受解法一的做法.

（2）设集合，假如S中元素的一个排列满意

中学必修一数学教案4

教学分析

本节课的探讨是对初中不等式学习的持续和拓展，也是实数理论的进

一步进展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用

实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

通过本节课的学习，让学生从一系列的详细问题情境中，感受到在

现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分相识不等关系的存

在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行视察、归纳、抽象，完

成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

在本节课的学习过程中还支配了一些简洁的、学生易于处理的问题，其用

意在于让学生留意对数学学问和方法的应用，同时也能激发学生的学习爱

好，并由衷地产生用数学工具探讨不等关系的愿望.依据本节课的教学内容,

应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个

代数式的大小.

在本节教学中，老师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简洁

的数形结合工具，干脆用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两

方面建立实数的依次关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的相

识.

三维目标

1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理

论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

2.会用作差法推断实数与代数式的大小，会用配方法推断二次式的大

小和范围.

3.通过温故知新，提高学生对不等式的相识，激发学生的学习爱好，

体会数学的神奇与数学的结构美.

重点难点

教学重点：比较实数与代数式的大小关系，推断二次式的大小和范围.

教学难点：精确比较两个代数式的大小.

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（章头图导入）通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏

的壮丽画面，它将学生带入"横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同”的大自然

和浩瀚的宇宙中，使学生在详细情境中感受到不等关系在现实世界和日常

生活中是大量存在的，由此产生用数学探讨不等关系的剧烈愿望，自然地

引入新课.

思路2.（情境导入）列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路

程的远近、百米赛跑的时间、数学成果的多少等现实生活中学生身边熟识

的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样

在数学上表示出来呢?让学生自由地绽开联想，老师组织不等关系的相关

素材，让学生用数学的观点进行视察、归纳，使学生在详细情境中感受

到不等关系与相等关系一样,在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学

生会由衷地产生用数学工具探讨不等关系的愿望，从而进入进一步的探究

学习，由此引入新课.

推动新课

新知探究

提出问题

机团回忆初中学过的不等式，让学生说出"不等关系"与"不等式”的异同.

怎样利用不等式探讨及表示不等关系？

m2B在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等

关系.你能举出一些实际例子吗?

加［3数轴上的随意两点与对应的两实数具有怎样的关系？

叱明随意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系？

活动：老师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等

关系"与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号

表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用"ab""a

老师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分

合作探讨,使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了

一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.

实例1：某天的天气预报报道，气温32回，最低气温26团.

实例2：对于数轴上随意不同的两点A、B,若点A在点B的左边，则

xA

实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

实例4：两点之间线段最短.

实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车

的速度v不超过40km/h.

实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于

2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.

老师进一步点拨：能够发觉身边的数学当然很好，这说明同学们已

经走进了数学这门学科，但作为我们探讨数学的人来说，能用数学的眼光、

数学的观点进行视察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我

们每个探讨数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所探讨过的什么

学问来表示这些不等关系呢?学生很简洁想到，用不等式或不等式组来表

示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的

式子.如-7-5,3+41+4,2xS6,a+220,3H4,0S5等.

老师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1,若用t表

示某天的气温,则260<t<32固实例3,若用x表示一个非负数，则x>0.

实例5,|AC|+|BC||AB|,如下图.

|AB|+|BC||ACh|AC|+|BC||AB|>|AB|+|AC||BC|.

|AB|-|BC||AC|>|AC|-|BC||ABh|AB|-|AC||BC|,交换被减数与减数

的位置也可以.

实例6,若用v表示速度，则v40km/h.实例7,f>2.5%,p22.3%.对

于实例7,老师应点拨学生留意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满

意,避开写成也2.5%或p22.3%,这是不对的.但可表示为f22.5%且p22.3%.

对以上问题，老师让学生轮番回答，再用投影仪给出课本上的两个结

论.

探讨结果：

⑴(2)略;⑶数轴上随意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实

数大.

(4)对于随意两个实数a和b,在a=b,ab,a应用示例

例1(教材本节例1和例2)

活动：通过两例让学生熟识两个代数式的大小比较的基本方法：作差,

配方法.

点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两

种方法是代数式变形时常常运用的方法，应让学生娴熟驾驭.

变式训练

1.若f(x)=3x2-x+l,g(x)=2x2+x-l,则f(x)与g(x)的大小关系是()

A.f(x)g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l>10,0f(x)g(x).

2.已知XHO,比较(x2+l)2与x4+x2+l的大小.

解：由(x2+l)2-(x4+x2+l)=x4+2x2+l-x4-x2-l=x2.

取HO,得x20.从而(x2+l)2x4+x2+l.

例2比较下列各组数的大小(arb).

⑴a+b2与21a+lb(a0,bO);

(2)a4-b4与4a3(a-b).

活动：比较两个实数的大小，常依据实数的运算性质与大小依次的关

系，归结为推断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨

学生在最终的符号推断说理中，要理由充分，不行忽视这点.

解:(I)a+b2-21a+lb=a+b2-2aba+b=2|a+b02-4ab2aa+b0=[3a-bB22Ba+b[a.

0aO,bO且awb,0a+bO,(a-b)2O.0[?!a-b[?|22?ia+b[?jO,即a+b221a+lb.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2],

132a2+(a+b)220(当且仅当a=b=O时取等号)，

又awb,0(a-b)2O,2a2+(a+b)2O.0-(a-b)2[2a2+(a+b)2]O.

0a4-b44a3(a-b).

点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差一一变形一一推断符号.

变形常用的手段是分解因式和配方，前者将"差"变为"积"，后者将“差”化

为一个或几个完全平方式的"和"，也可两者并用.

变式训练

已知xy,且ywO,比较xy与1的大小.

活动：要比较随意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的

大小关系.

解：xy-l=x-yy.

0xy,0x-yO.

当yO时，x-yyO,即xy-10.0xyl;

当yO时，x-yyO,即xy-lO.0xyl.

点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负状况不同，所以需

对y分类探讨.

例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必需小于地板面积.但按采光

标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大，住宅

的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采

光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.

活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后

比值的大小，接受作差法.

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b,同时增加的面积为m,

依据问题的要求a

由于a+mb+m-ab=mL,：b-a?jbl?lb+m[?]O,于是a+mb+mab..又ab>10%,

因此a+mb+mab>10%.

所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.

点评：一般地，设a、b为正实数，且a

变式训练

已知al,a2,•••为各项都大于零的等比数列，公比q/1,则()

A.al+a8a4+a5B.al+a8

C.al+a8=a4+a5D,al+a8与a4+a5大小不确定

答案：A

解析：(al+a8)-(a4+a5)=al+alq7-alq3-alq4

=al[(l-q3)-q4(l-q3)]=al(l-q)2(l+q+q2)(l+q)(l+q2).

团｛an｝各项都大于零，HqO,即1+qO.

又ElqHl,0(al+a8)-(a4+a5)O,即al+a8a4+a5.

课堂小结

1.老师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到

两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练,

让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的学问体系中.

2.老师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易

错的地方.鼓舞学有余力的学生对节末的思索与探讨在课后作进一步的探

究.

作业

习题3-1A组3;习题3-1B组2.

设计感想

1.本节设计关注了教学方法的优化.阅历告知我们：课堂上应依据详

细状况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期运用一种

固定的教学方法，或原封不动地照搬一种试验模式.各种教学方法中，没有

一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针

对特性，敏捷变更，因材施教才是胜利的施教灵药.

2.本节设计留意了难度限制.不等式内容应用面广，可以说与其他全部

内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章起先，可以适当开阔

一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外

拓展，以免对学生产生负面影响.

3.本节设计关注了学生思维实力的训练.训练学生的思维实力，提升思

维的品质，是数学老师直面的重要课题，也是中学数学教化的主线.接受一

题多解有助于思维的发散性及敏捷性，克服思维的僵化.变式训练教学又可

以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品

质的提升.

中学必修一数学教案5

一、教学内容分析

二面角是我们日常生活中常常见到的一个图形，它是在学生学过空间

异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，探讨的一种空间的角，二面

角进一步完善了空间角的概念.驾驭好本节课的学问，对学生系统地理解直

线和平面的学问、空间想象实力的培育，乃至创新实力的培育都具有特别

重要的意义.

二、教学目标设计

理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角

的平面角;能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题.

三、教学重点及难点

二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、新课引入

1.复习和回顾平面角的有关学问.

平面中的