高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的减法运算

第6章6.2.2向量的减法运算

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【导学聚焦】

考点学习目标核心素养

相反向量理解相反向量的概念数学抽象

向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象

【自主预习】

［问题导学］

预习教材内容，思考以下问题：

1.a的相反向量是什么？2.向量减法的几何意义是什么？

［新知初探］

1.相反向量

(1)定义：与a长度—，方向—的向量，叫做a的相反向差，记作—，并且规定，零

向量的相反向量仍是.

(2)结论

①一(一a)=___,a+(—a)=(-a)+a=___；

②如果a与力互为相反向量，那么a=,b—,a+b—.

■名师点拨

相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向

2.向量的减法

(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与力的差，即a—力=.求两个向量差的运

算叫做向量的减法.

(2)作法：在平面内任取一点。，作汤=a,OB=b,则向量瓦=a-A,如图所示.

(3)几何意义：a—6可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

■名师点拨

(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可.

⑶对于任意两个向量a,b,都有||a|一引㈤+

【自我检测】

O判断(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)两个相等向量之差等于0.()

(2)两个相反向量之差等于0.()

⑶两个向量的差仍是一个向量.()

(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.()

0在平行四边形4四中，下列结论错误的是()

A.AB~DC=QB.而一威=祀C.AB-AD=BbD.质+宓=0

©设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()

A.a与力的长度相等B.a//b

C.a与，一定不相等D.a是b的相反向量

ci在平行四边形力腼中，向量力幽相反向量为

【探究互动】

探究点一向量的减法运算

【例1】化简下列各式：

⑴（血+丽+（一庞一丽;

^~AB-~AD-~DC.

【规律方法】

向量减法运算的常用方法

〔

常’可以通过相反向量，把向量减法的'

用、运算转化为加法运算，

方

法’运用向量减法的三角形法则，此时'

〕要注意两个向量要有共同的起点

<___—>

【跟踪训练】

1.下列四个式子中可以化简为诵的是（）

①赤十宓一物②衣一宓；③应1+曲@OB-OA.

A.①④B.①②C.②③D.③④

2.化简下列向量表达式:

⑴场一丽孙一丽

(2)(血一曲+{BC-MC).

探究点二向量的减法及其几何意义

【例2】如图，已知向量a,b,c不共线，求作向量a+，一c.

【规律方法】

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a—6,可以先作一6,然后作a+(—⑹即可.

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量

的终点，指向被减向量的终点的向量.

【跟踪训练】如图，已知向量a,b,c,求作向量a—b—c.

探究点三用已知向量表示其他向量

【例3】如图所示，四边形力。应是平行四边形，点8是该平行四边形外一点，且宓=a,AC

=b,~AE=c,试用向量a,b,c表示向量裁4击~BD.

【规律方法】

用已知向量表示其他向量的三个关注点

(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系,

确定已知向量与被表示向量的转化渠道.

(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问

题.

(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.

例如，在四边形/用刀中，AB+BC+CIHDA=Q.

【跟踪训练】

1.如图，。为平行四边形4%/内一点，OA^a,OB=b,OC=c,则应H.

二

BK------------

2.已知。是平行四边形48切的对角线北与劭的交点，若初=a,BC=b,应He.试证明:

a—2>+c—0B.

【达标反馈】

1.在△/比'中，〃是8C边上的一点，则崩一近等于()

A.CBB.BC

C.CDD.DC

2.化简：AB-AC+Bb-Cb+AD=.

3.已知AB=10,\AC\=7,则|宓I的取值范围为.

4.若。是△46。所在平面内一点，且满足|历-应1=|南一谟1+沆'—汤试判断△相。的

形状.

第6章6.2.2向量的减法运算【参考答案】

【自主预习】

［新知初探］

1.(1)相等相反一a零向量

(2)①a0②一，-a02.(1)a+(—b)

【自我检测】

O答案：(1)V(2)X(3)V(4)V

B答案：C

0答案：C

£1答案：BA,cb

【探究互动】

探究点一向量的减法运算

【例1】

【解】⑴法一：原式=漉+砺+诙+H片(法+丽+(加■丽=布+应=施

法二：原式=游+,砺+瓦叶南

=AB+(砺+的+Oil=AB+Mb+O\t=AB+Q=AB.

(2)法一：原式=庞一比=也

法二：原式=茯一(杀+应)=油一式=*

【跟踪训练】

1.解析：选A.因为龙中乃一砺=崩一瓦H四+场=宓，所以①正确，排除C,D；因为施一

OA=AB,所以④正确，排除B.故选A.

2.解：（1）画一跳痂一筋=沏+法」法=沛一花1=宓

⑵（而-物+（反'-旃=AD+MB+BC+CM=AD+=AD+Q=AD.

探究点二向量的减法及其几何意义

【例2】

【解】法一：如图①，在平面内任取一点。，

作成l=a,0B=b,应'=c,连接式1,则踮=Z>—c.

过点4作4〃触6G连接"则"力一c,

所以赤=a+而=a+b—c.

法二：如图②，在平面内任取一点。，作游=a,蔺=b,

连接0B,则a+4再作庞'=c,连接％,则CB=a+b-c.

法三：如图③，在平面内任取一点0,

作汤=a,~AB=b,连接0B,则应=a+8,

再作踮=c,连接0C,则沅'=a+b—c.

【跟踪训练】

解：在平面内任取一点0,作向量应=a,0B=b,则向量夙=a-b,

c

再作向量反'=c,则向量1^=a—力一c.

探究点三用已知向量表示其他向量

【例3】

【解】因为四边形4迹是平行四边形，

所以宓=壶=<?,BC=AC-AiB=-b-a,

故直HBC+CD=b~a+c.

【跟踪训练】

1.解析：因为羽=力，BA=OA-OB,Cb=Ob-~OC,所以近一发=而一①，db=OA-OB+OC,

所以应Ha—力+c.

答案：a—b+c

2.证明：如图，

a+c=AB+Ob=DC+Ob=OC,

0B+b=OB+BC=dc,

所以a+c=0B-\-b,即a—b+c=OB.

【达标反馈】

1.解析：选C.在△/阿中，〃是宛边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得森一范

=cb.

2.解析：原式=2+应+应+应=近+虎+而=0+应=血

答案：AD

3.解析：因为第=/一而所以I函=1荔一衣I.

又I