高中数学结论

高中数学知识、定理、公式、性质结论

罗世珍编辑整理

函数部分

1函数奇偶性

1)奇+奇=奇，奇X奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇

2)/(x)是奇函数o/*)的图像关于原点对称；/*)在[-a,刈是奇函数

n/(0)=0;奇函数的反函数也是奇函数;奇函数图像在对称区间上单调性相

同.

/(x)是偶函数o/(x)的图像关于y轴对称;偶函数的图像在对称区间上单

调性相反.

如果/(x)即是奇函数又是偶函数，则/(%)=0

3)对称性、周期性

①f(a+x)=-f(a-x)<=>f(x)的对称中心(a,0)

②f(a+x)=f(a-x)或/(2a-x)=f(x)=/(x)关于x=a成轴对称

③f(x+a)+/(a-x)=2①则y=f(x)的图像关于(a,b)成中心对称;

@f(x+T)=f(x),则的一个周期是T;

⑤f(a+x)=/(a-x)且)(b+x)=f(b-x),则y=/(x)的周期T=2la-M；

⑥/(a+x)=-/(a-x)且f(b+x)=-f(b-x),贝!]y=/(x)的周期T=2\a-b\；

⑦f(a+x)=-f(a-x)J@Lf(b+x)=f(b-x),则"=f(x)的周期7=4la-bl；

@f(x+a)=-f(x),贝！Jy=/(x)的周期T=2a；

⑨f(x+2)=f(x+1)-f(x),贝！Jy=/(x)的周期T=6；

⑩/(x+a)=二一,则y=/(x)的周期T=2a。

f(x)

总结，已知函数的一个对称中心和一条对称轴，则周期为4倍横坐标之差的绝

对值；已知两个对称中心或两条对称轴，则周期为2倍横坐标之差的绝对值。

2、二次函数部分

1)解析式的三种形式

①一般式：/(x)=ax2+bx+c(a0)②顶点式：/(x)=a(x-女尸+〃(aw0)

③两根式：/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a0)

求二次函数的解析式一般都用待定系数法。

2)二次方程根的分布

A>0

①方程有两不等正根QXI+x,=-2〉o

a

c八

xx=—>0

x2a

A>0

h

②②方程有两不等负根%+12=——<0③方程有一正一负根oac<0

a

x{x2=—>0

、~a

4)二次函数”x)=a(x-k)2+h(a>0)在［m,n］上的最值.

①时=/(k)=%,/(x)max=max{/(m),/(«)}

②化右［加,〃］时,f(x)min=：：{/(⑼,/(〃)}

3、函数图像变换

1）平移变换

向左或向右

①左右平移（左+右一）：y=/(x±a)

平移同个单位

②上下平移（上+下-）：〉，=/（X）段辟嬴y=〃x）土K

2)对称变换

①)'=/(x)盘?轴)'=/(-X)②y=/a)器:轴y=-/a)

XT初'XT初、

③）'=/⑶篇》=一/㈠）④八=/⑴

⑤y="X)关;:厂为=fQa-x)

⑥/(x)=，(2a-x)或f(a+x)=f(a-x),则y=/(x)的图像关于x=a对称。

3）翻折变换

先画xNO的图像，

①〉=fMy=/(H)

x<0的图像是将x20的图象关于y轴对称

e、在x轴上方的图像不变，_|八、]

°）'一在X轴下方的图像关于X轴翻折）'一L

数列部分

1、已知s“，或s”与明的关系式求知

1）〃=1时，2）〃22时，an=Sn-Sn.,

2、等差数列

1）定义法：an-an_y=d,（〃N2）常用于证明题

2）通项法：%="+（"D",整理。"=4〃+8,关于〃的一次式,

=am+（〃-m）d

用于做选填题。

3）中项法：2%=a“_]+a“+],用于做证明题。

S一"（一+%）

4）和公式法：“2，整理S“=A〃2+8〃，关于“的一元二次式且无

n（n-1）

=na,4----------d

12

常数项，用于做选填题。

5）性质1：a,B,c成等差=2B=a+b。

6）性质2：若m+n=p+q=2k,则%+%,=册+4=2%。

7）性质3：S”,S2,-S“,S3,-$2“仍是等差。

8）三个数成等差且已知和的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差设

O；:a-3d,a-d,a+d,a+3d

3、等比数列

1）定义法：乌-=q,（〃22应*0）,常用于证明题

an-l

2）通项法：a,=a0i=您广,整理得知=Aq"是指数型函数，用于选填题。

3）中项法:4=%%,用于做证明题。

4）和公式法：生止,（q*l）,整理S“=A-Aq"是指数型函

\-q\-q

数用于做选填题。

5）性质1：a,8,c成等比=>5?=ac

6）性质2：若〃?+〃=p+q=2k,则=aq=a；

7）性质3：5”,52,-5,,53,-52”仍是等比岱产0）

8）三个数成等比且已知积设为:Sa,"；四个数成等比设法：^,-,aq,aq3

qqq

4、求数列｛a“｝通项公式的方法

1）公式法：等差-a,—=d（n>2）；等比刍-=q（〃22,q工0）；

%

a,,=Sn-S”（»>2）2）叠加法：%—%T=/（"）；叠乘法："=fg

(叠加法)例1：已知〃I=24+]="〃+ln(l+,)，求数列｛%｝通项公式。

n

解：van+y-an=ln(n+l)-lnn

/.an-=lnn-ln(n-1)(n>2)

%-an_2=ln(«-l)-ln(n-2)

a3-a2-In3-In2

a2-a]=In2-In1

a｝=2

+_______________________________________

an=2+Inn

检验几=1时成立，所以*=2+In〃(nwN")

(叠乘法)例2:已知q==(〃+1)%,求数列｛%｝通项公式。

解：•••〃%+]=(〃+1)。“

.a“+l_"+1

*〃

%-2〃-2

〃3_3

a22

a2_2

ax1

q=1

x__________________________________________

an

n=

检验〃=1时成立，所以a“=〃(〃eN')。

3)构造法：a„+1=Aa„+B,构造a,+|+Z=A(a“+幻转化为等比数列。

5、数列｛对｝的同项公式求和的方法。

1)公式法：等差等比数列求和公式

2)分组求和法：通项公式有几个部分组成用分组求和，如%=(gj+2n-l

3)倒序求和法：距首末等距离的两项和相等

例：设函数)，=/(x)的定义域为R,其图像关于点(；,；)成中心对称，令

4=/(")(〃是常数且〃22,"eN*)，—求数列｛%｝的前〃-1项

n

的和。

解：由题设/(%)上任一1点(―)关于(U的对称点(1-±1-4)仍在

n22n

y=/(x)的图像上。

%=/(-)

n

n

+________________________

1=/(-)+/(1--)

nn

,•*S“_]=a]+a2+...+an_｝

nnn

s,-=/g)+/(=)+…+”3

nnn

2Srt_1]=1s,_+__1_+__…_,+l=n-1

个

4)裂项相消法:

n(n+&)knn+k

1

②对

+J-+kk

tan(n+1)-tann

tanntan(n+1)

gsin3sin13(〃+l)-3〃]、

④an------------------=----------------=tan(3n+3)—tan(3«)；

cos(3〃)cos3(〃+1)COS(3H)COS3(H+1)

⑤〃〃=〃x〃！=(〃+1)\-n\；

(H+1)!n\(n+1)!

\l)ci=--------------=--------------

"(2"-1)(2,,+1-1)2"-12,,+1-1

5)错位相减法：数列｛a也｝的和。其中｛%｝是等差，仇｝是等比

例：已知数列｛%｝的通项公式a“=(2〃+1)3"T,求｛a„｝的前n项和S„。

解：S“=3x3°+5x3'+7x3?+…+(2〃+l)x3'i

3x3'+5x32+...+(2n-l)x3H-1+(2〃+l)x3"

2

-2Sn=3+2x3'+2x3+...+2X3”T一(2〃+1)X3"

=3+2x3(1Ti)-g+1)x3"

1-3

=—2〃x3”

Sn=nx3"

立体几何部分

一、旋转体的表面积、侧面积、体积

1、圆柱：S恻面积=297；S全面积=2犷(/+「)；V=Sh

2、圆锥：S侧而积=%〃；S全=%r(/+r)；V=

7,

3、圆台：SW|=^/(r,+r2)；S1,、=加&+弓)+乃(/+&2)；y=1/Z(5+VSS+S)

4、球：S全=4%心；V=^7rR3

5、正四面体：对棱垂直，％=*a；R外=停(1；V=看"3

二、线线、线面、面面平行和垂直

（一）、证线面平行

Id

1、线面平行的判定定理：mu。\nl〃d；

I1!m

QH/3all。

2、面面平行性质定理：/ud>=>/〃2;yea=m=>m//I

yc/3=1

all。

3、线线平行的性质定理：5曰>=〃?///?；

mua

m!H

〃是面。的一个法向量

4、向量法：若m•几=。>=>加//a.

m（Zoc

（二）、证面面平行

lom-P

I’cm'=P'

/u3

Icza

mud

mua

1判定定理：lcm=P3〃/；2、面面平行的推论：1u0>=>a//J3；

IH/3

/u0

mlIP

ini'

m/Im1

3、平行平面的传递性：>=>a〃/;

6〃八

线面垂直的性质定理：））;

4、,nS〃/；

向量法：可是a的法向量

5、>naI］。.

且wz也是£的法向量

（三）证线线平行

dllp

-八YEI〃m

1平行公理：2面面平行的性质定理：dcr=l〃加;

mlIn

。cr=m

dn/3=l

3线面平行的性质定理：mud>=>〃〃〃；

ml10

zia'

4线面垂直的性质定理:>=>/〃"2

m_Ld

（四）证线面垂直

Ila

I-Lb

\/muex,

1定义法：>n/J_a；2判定定理：aud>=>/±5

1A.m

bud

acb=P

51/?

3、面面垂直的性质定理：尸;

mud

mVI

mua

nua

a11p

4、面面平行的性质定理:>=>/_!_/?；5向量法：mcn=P>=/J_a.

I_La

1・m=0

/•n=0

（五）证面面垂直

/u3

1、定义法：二面角=90nd_L尸；2、判定定理:>=aJL/?；

11/3

而是。的法向量、

3、面面平行性质：°°=丫10；4、向量法：〃是夕的法向量>=>a_L£.

"aj——

fn•n=0

三、求异面直线所成的角方法

1儿何法步骤：一作、二证、三算（即作出平面角，证明这个角是异面直线所成

的角，解这个角所在的三角形）；

2向量法：m、n是两条异面直线，则带公式cos<m,）?〉=省斗.

网忖

四、求线面角方法

1儿何法步骤：一作、二证、三算（即作出斜线在平面内的射影，证线面角即为

斜线与在该面内射影所成的角，解该角所在的直角三角形）；

2、向量法：求面的法向量G和这条斜线向量丽,带公式cos<而）>=丝冷，

网卜|

设线面角为。，则sin，=kos<A8,〃〉|；

3、立平斜公式法：cos%=cos%.cos。平.

五、求面面角的方法

1、儿何法步骤：一作、二证、三算（即从其中一个面二内一点A引另一个平面

力的垂线，垂足为P,过P作公共棱的垂线交于E连接AF,则证ZAF尸即为二

面角的平面角，解44五P所在的直角三角形，这个作图过程就是三垂线定理法）;

2、射影三角形：cos6=包9；3、向量法：求平面a的法向量]和平面夕的法

S谕

向量而，带公式cos〈加3>=笔，二面角是锐角还是钝角由具体图像观察得到.

\m\\n\

圆锥曲线部分

弦长公式：（方法：联立方程，韦达定理，弦长公式）

=Ja+J）［（y+%）2_4）通］

中点弦问题：（方法带点相减法）椭圆中有"8=-5；双曲线中有：以8=卒。

"o

双曲线结论有：等轴双曲线有渐近线），=土x,e=近;焦点到渐近线的距离=短

半轴长b。

抛物线中过焦点弦有：必必二-"；弦长|AB|=X[+々+〃。

曲线椭圆双曲线抛物线

第一

附|+|P"|=2a>国段=2C仍用-|P周|=2a＜忻用=2C

定义

第二IPFI

定义J_L=c(e>0)

dprl

0<e<le〉le=l

准

呈22

-—yy=