高中数学数列知识点题型

第六章

数列

目录

第一节数列的概念与简单表示..............................................................1

考点一由a〃与S,的关系求通项a“或者求S,..................................................................................................1

考点二利用数列的周期性单调性求解...................................................2

第二节两个数列的性质及其应用...........................................................2

(1)等差、等比数列｛an｝的常用性质......................................................3

(2)判.等差数列的常用方法............................................................3

(3)判断等比数列的常用方法...........................................................3

(4)等差数列基本应用.................................................................3

考点一等差数列的基本运算......................................................3

考点二等差数列的判定和证明....................................................4

考点三等差数列的性质和应用....................................................4

课后作业........................................................................5

(5)等比数列的基本应用...............................................................6

考点一等比数列的基本运算......................................................6

考点二等比数列的判定与证明....................................................6

考点三等比数列的性质......................................................7

课后作业........................................................................7

第三节数列求an的方法...................................................................9

考点一公式法..................................................................9

考点二累加法................................................................10

考点三累乘法..............................................................10

考点四待定系数法.........................................................11

考点五倒数法..............................................................12

考点六由sn求an(作差法).....................................................13

考点七取对数法...............................................错误!未定义书签。

第四节数列求和.........................................................................14

考点一分组转化法求和..........................................................14

考点二裂项相消法求和..........................................................15

考点三错位相减法..............................................................16

考点四倒序相加法(标志：出现二项式、三角函数、对数)..........................17

考点五数列的放缩和其他方法....................................................18

第一节数列的概念与简单表示

1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

有限数列：项数有限个;

(1)按照项数有限和无限分：

无限数列：项数无限个;

「递增数列:Qn+1>a”,

递减数列:a”+Ka”,

⑵按单调性来分：〈

常数列：a〃+i=a“=a常数),

、摆动数列.

考点一由4与S的关系求通项a〃或者求S

1.已知Sn求an的3个步骤

(1)先利用31=51求出感；

(2)用n-\替换$中的〃得到一个新的关系，利用a〃=S-Si(〃22)求出当时&的表达式;

(3)注意检验n=l时的表达式是否可以与的表达式合并.

2.Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用a=£—S,T(〃22)转化为只含S,ST的关系式，再求解.

(2)利用S,-ST=a“(〃N2)转化为只含a“，ar的关系式，再求解.

3,实践演练

1、已知数列｛4｝的前九项和S”=〃2—48〃.

(1)求数列的通项公式；(2)求5.的最大或最小值.

2、设数列｛a｝满足a+3a2+…+(2〃-I)a〃=2",则为=.

3、已知数列｛叫的前〃项和是5“，%=-1,且。卅=5£+1,则数列的通项公式可

4、已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=2,a,/%]=2(S“+D(〃eN)则可=,

5、数列｛an｝的前n项和Sn=2n2—3n(n£N*),若p—q=5,则ap—aq=()

考点二利用数列的周期性单调性求解

1,利用周期性求解

3

1、数列｛a｝满足&+]=&蒲，则数列的第2019项为

2an—1,-<an<l,

2、已知数列｛&｝满足&+产.,若曰=],则色。”

2,利用单调性求解

1、已知数列仿“｝满足2s,=4a“一1,当力GN*时，｛(logzaM+4logzaj是递增数列，则实数4的取值

范围是.

2、已知数列EJ的通项公式为a〃=(〃+2)•则当a取得最大值时，n=.

第二节两个数列的性质及其应用

等差数列等比数列

通项公式品=&+(/?-1)d

2

S尸=m+〃(〃T)d①qWl,S=q(l-q")=4-。“夕:②。=1,S=na\

前〃项和n

22I-q1-q

(1)等差、等比数列｛an｝的常用性质

等差数列等比数列

-

⑴通项公式的推广：品=&+(〃一勿)d(〃，〃/£N*).

(1)通项公式的推广：&=a•£—

(2)〃/+〃=夕+q,&+a〃=&+aQ.

加WN*).

(3)Sn,Sin—Sn,…成等差数列，公差为4

(2)若n=p+q,则&&=囱冬；

(4)ak,&+肥a+2松…是等差数列，公差为加d

若2s=p+r,则aa=ay其中加，

⑸若｛2｝,伉｝是等差数列，则｛0为+也｝也是等差数列.PrS

性质

〃，p,q,s,rWN*.

俗)若｛&｝是等差数列，贝也成等差数列，其首项与

(3)ak,ak+m,a+2"，…仍是等比数

｛劣｝首项相同，公差是匕“｝公差的;.列,公比为dkk,庐N*).

乙

(2)判.等差数列的常用方法

①定义法：a+1—@“="(常数)(〃6")={&}是等差数列

②通项公式法：an=pn+q(p,〃为常数，〃£N*)=｛&｝,是等差数列

③中项公式法：2%+i=&+a+2(〃£N1)={4}是等差数列

④前〃项和公式法S.=An+Bn{A,6为常数,〃eN*)0{&}是等差数列

(3)判断等比数列的常用方法

①定义法：也=Q(q是不为0的常数，〃£"):=｛a｝是等比数列；

°n

②通项公式法：a产c/(c,。均是不为0的常数，"GNBoD是等比数列；

③中项公式法：Q；+i=a〃•劣+2(&•&+i•a+270,〃£2)={a}是等比数列

(4)等差数列基本应用

考点一等差数列的基本运算

1、记£为等差数列历“｝的前〃项和，若3S=S+S,a=2,则25=()

A.112B.-10

C.10D.12

2、已知等差数列｛4｝的前〃项和为Sn,若4=4,Si=22,a=28,则〃=()

A.3B.7

C.9D.10

3、已知等差数列｛&,｝的前〃项和为S”且&+a5=10,6=16,则数列E,｝的公差为()

3

A.1B.2

C.3D.4

4、已知等差数列｛a｝的前〃项和为S“且a•念=12,&=0.若a>0,则So=()

A.420B.340

C,-420D.-340

考点二等差数列的判定和证明

1、已知数列｛a“｝的前〃项和为$且满足a,,+2$•S"-i=0(〃22),ai=1.

(1)求证：｛3是等差数列.

(2)求&的表达式.

2、已知数列EJ的前〃项和$=d万+加(aZ?£R)且a=3,a6=ll,则S等于。

3、已知数列｛aj中，&=2,a“=2一」一(〃》2,〃GN*),设4=一二(〃CN*).求证：数列｛4｝是等

an-\品一1

差数列.

考点三等差数列的性质和应用

考法(一)等差数列项的性质

1、已知在等差数列｛a｝中，1+口=4,则log2(2a・2a....2ao)=()

A.10B.20

C.40D.2+log25

2、设S“北分别是等差数列EJ,出｝的前〃项和，若会=2瓯则擀=()

A.2B.3

C.4D.6

3、在等差数列｛品｝中，若a=-5,55=—9,则4=()

A.-12B.-13

C.12D.13

4

考法（二）等差数列前〃项和的性质

1、设等差数列｛87｝的前〃项和为S,若W=9,S>=36,则田+国十曲等于（）

A.63B.45

C.36D.27

2、设等差数列｛a｝的前〃项和为S”，已知前6项和为36,最后6项的和为180,S〃=324（〃>6）,则

数列｛a｝的项数为.

课后作业

1.在数列｛4｝中，ai=2,&汁1=a+2,S为｛8｝的前〃项和，则So等于（）

A.90B.100

C.110D.130

2.已知等差数列｛a,｝的前〃项和为S”a3=3,生=5,则S的值是（）

A.30B.29

C.28D.27

3.在数列｛a〃｝中，a〃=28—5〃，S为数列｛&｝的前〃项和，当£最大时，〃=（)

A.2B.3

C.5D.6

且a=—2〃+1,则数列｛-

4.设数列｛a｝的前刀项和为S,的前11项和为（)

A.一45B.-50

C.-55D.-66

5.已知等差数列｛曲｝的前〃项和为S”且W=50,So=2OO,则ao+前的值为（）

A.20B.40

C.60D.80

6.等差数列｛4｝的各项均不为零，其前〃项和为W.若若+1=a+2+劣，则瓯+】=（）

A.4/1+2B.4〃

C.2/?+1D.2/7

7.已知等差数列5,3y,则前〃项和$=.

8.已知｛a｝为等差数列，S为其前〃项和.若4=6,勿+条=0,则友=.

9.等差数列｛品｝中，已知.>0,a+4<0,则｛a｝的前刀项和S,的最大值为.

10.在等差数列｛a｝中，公差d=；,前100项的和Soo=45,则a+&+a5H-^^=

11.记S为等差数列｛a7｝的前〃项和，已知&=-7,星=-15.

⑴求｛&｝的通项公式；

（2）求S,，并求S的最小值.

5

(5)等比数列的基本应用

考点一等比数列的基本运算

5

1.已知等比数列｛aj单调递减，若a3=l,a2+a!=-,则&=()

A.2B.4

C.啦D.272

2.(2019•长春质检)已知等比数列｛a,,｝的各项均为正数，其前〃项和为S”若a=2,S=6d,

则35=()

A.4B.10

C.16D.32

3.等比数列｛a｝的各项均为实数，其前〃项和为S.已知£=[,&=竽，则a=.

4、等比数列｛an｝中，al=l,a5=4a3.

(1)求｛&｝的通项公式；

(2)记S为｛4｝的前力项和.若£=63,求加

考点二等比数列的判定与证明

1、已知数列｛品｝的前力项和为S”ai=l,SrH=4a〃+2(/?WN*),若/?〃=&+】一求证：｛4｝是等比

数列.

2、数列｛4｝的前〃项和为£=2&-2",证明：3+L2&｝是等比数列.

6

考点三等比数列的性质

考法（一）等比数列项的性质

3、在等比数列｛a｝中，a3,加是方程f+6x+2=0的根，则生曳的值为（）

A.B.-y[2

C.小D.-y[2或啦

2、在等比数列｛品｝中，a„>0,&+&H---F&=4,&我…a=16,则----的值为（）

31323s

A.2B.4

C.8D.16

考法（二）等比数列前〃项和的性质

1、各项均为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为S”若S=2,S〃=14,则S〃等于（）

A.80B.30

C.26D.16

课后作业

1.（2019•合肥模拟）已知各项均为正数的等比数列｛a,｝满足必念=16,念=2,则公比。=（）

5

4B-

A.2

1

C.2D.~

2.（2019•辽宁五校协作体联考）已知各项均为正数的等比数列｛2｝中，a与"的等比中项为2镜,

则10g2a+10g2&l的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

3.在等比数列｛G7｝中，32a3al=8,由=8,则a】=（）

A.1B.±1

C.2D.±2

4.（2018•贵阳适应性考试）已知等比数列｛a,,｝的前〃项和为$,且a2a=8（a,-2）,则S必

=()

7

5.在等比数列｛&｝中，ai+a+a5=21,az+ai+a6=42,则5)=()

A.255B.256

C.511D.512

6.已知递增的等比数列｛a｝的公比为公其前〃项和$<0,则()

A.ai<0,0<9<1B.aXO,0>1

C.ai>0,0<^<1D.ai>0,<?>1

7.设｛a｝是公比为正数的等比数列，若团=1,a5=16,则数列｛a｝的前7项和为.

8.在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为.

9.(2018•江西师范大学附属中学期中)若等比数列｛a,,｝满足a2a产as,&=8,则数列｛&｝的前A项

和S“=.

10.已知等比数列｛%｝为递减数列，且房=".2(&+&+2)=5%+|,则数列｛&｝的通项公式a尸

11.已知数列｛a｝满足&=1,如尸2(叶1)&.设

(1)求b\,bi,&;

⑵判断数列伉｝是否为等比数列，并说明理由;

(3)求｛劣｝的通项公式.

8

第三节数列求an的方法

一、几种数列常用求an的方法

1、公式法

2、累加法

3、累乘法

4、待定系数法、同除法、拆项和项法

5、倒数法

6、由sn求an（作差法）

7、取对数法

考点一公式法

已知数列为等差数列或等比数列时用。

1、等差数列｛4｝中，a5=3,的=24.求数列｛%｝的通项公式;

3

2、设｛4｝是等比数列，。1=1,%.求｛q｝的通项公式;

9

考点二累加法：数列｛an｝满足an—an—l=f(n)

1、已知数列｛a.｝满足国=1,a.=3~+&门(启2),求其通项公式为

2、已知数列｛4｝满足。,用=氏+2〃+1,4=1,求数列｛%｝的通项公式。

考点三累乘法数列｛4｝满足昆=“力

3n—4

1、已知数列｛4｝中，ai=3,a=----询-(a田0,n22),求其通项公式

n3/?—1

2、已知数列｛4｝满足%>=2(=+1)5"q=3,求数列｛4｝的通项公式。

10

考点四待定系数法a类、an+i=kan+bb类all+｝=qan+f(n)

a类'4+[=ka“+b

1、已知数列｛4｝中，若q=2,a“+]=3a“+2(，21),则该数列的通项公式4=()

2a+3a+m

2、已知数列｛4｝满足递推关系，an+i=""t(neN^,又q=l.当〃2=1时，求数列｛4｝

4+1

的通项公式。

b类an+i=qa„+f(n)

分析：通过凑配可转化为。用+4/(〃)=%[。“+4/(")]；

解题基本步骤：

1、确定f(n)

2、设等比数列｛4+4/(〃)｝,公比为4

3、列出关系式4+1+4/(〃)=+4/(〃)]

4、比较系数求4,冬

5、解得数列+4/(〃)｝的通项公式

II

6、解得数列&｝的通项公式

1、已知数列｛4｝满足4+|=2a“+4-3"T,4=1,求数列｛a,,｝的通项公式。

解法一：设。,用+43"=4(4+九3"-1),比较系数得4=-4,4=2,

解法二：两边同时除以3e得：智=2・之+?，下面解法略

3"+|33"32

考点五倒数法all+｝="

P4+q

2a

1、已知数列｛&｝满足：a，=l,。,用=—:n(nGN*),则数列｛aj的通项公式为()

氏+2

B

Q-。"不C.D.«„=-

1、已知数列｛%｝(〃eN*)中，4=1，4用=量1•，求数列｛%｝的通项公式。

2、已知数列｛勺｝中卬=1且a“+|=—仁(nsTV).,求数列的通项公式。

氏+1

12

考点六由sn求an（作差法）

数列｛«„｝满足q+34+3?%+…+3"一％"=],

1、()

111n

A.B.----C.—D.—

3・2"T2.3-1r2〃3〃

2、已知数列｛〃“｝满足方十才---*赤=〃+1，n£N*,则数列=

13

第四节数列求和

一、几种数列求和的常用方法

1、公式法

2、分组求和法

3、裂项相消法

4、错位相减法

5、倒序相加法

6、数列放缩和其他特殊方法

考点一分组转化法求和

1、已知数列｛a｝的前〃项和$=空，776N-.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)设6"=2a”+(-1)"a”，求数列｛〃｝的前2〃项和.

2.已知数列他“｝是公比为2的等比数列，且4，4+1，4成等差数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记d=an+log2an+i,求数列｛仇｝的前〃项和T..

3.已知数列｛4｝的前”项和5“满足：2Sn=l-an.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设数列｛2｝满足么=4+2〃-1,求数列仇的前〃项和7；

14

]&+2,刀是奇数，

4、已知数列｛4｝中，ai=a2=l,a，+2=L曰佃以则数列｛&｝的前20项和为（）

[2ant〃是偶数，

A.1121B.1122

C.1123D.1124

考点二裂项相消法求和

常见的拆项公式

111

1n〃+17⑵(2/?-1)(2/?+1)=2(2/7-1-2/2+1

⑶赤京4代一近⑷(2,,-l)(2^l-l)=2,,-l-2A,+l-r

1、已知函数F（x）=x"的图象过点（4,2）,令4=/（〃+[）+/（〃）,刀WN*.记数列｛&）的前刀项和为S”

则S019=()

A.^/2018-1B.^/2019-1

C.^/2020-1D.^/2020+1

2、在等差数列｛%｝中,"麴+a‘=6,"=8,则数列心4的前〃项和为（）

n+1n

A"+2B，n+2

15

n2n

C.D.

n+1^+T

3、已知等差数列｛4｝满足庚=7,热+济=26.

(1)求等差数列｛品｝的通项公式；

(2)设以=一匚，〃CN*,求数列｛4,｝的前"项和T„.

1

4、各项均为正数的等比数列｛&｝中，切=8,且24，曲3&成等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝满足b„=-r^—,求｛4｝的前"项和S.

nlog2a„

考点三错位相减法

1、已知｛a,,｝是各项均为正数的等比数列，且ai+az=6,aia2=a3.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)｛4｝为各项非零的等差数列，其前"项和为$.已知&“+\=b“b,z,求数列的前〃项和T,,.

16

2.已知｛a,,｝为等差数列，前〃项和为S(〃eN*),｛4｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,&+

匕i=12,6)——2a］，Si=116」.

⑴求｛&｝和伉｝的通项公式；

(2)求数列｛的也｝的前n项和(〃GN*).

3、已知数列｛aj的前〃项和S,=2，，+'-2,记b产a„S„(nWN*).

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前力项和T„.

考点四倒序相加法(标志：出现二项式、三角函数、对数)

'71、,2式、2018^V

1.已知函数/(x)=cosx+ln—eJ,若/・+/

TC-X.2019,<2019,2019)

1009(。+人)山乃(。>0,〃>0),则一+1的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

17

2.设〃为满足不等式G+C+2屐+•••+〃C：'<2008的最大正整数，则〃的值为（）.

A.11B.10C.9D.8

+g，则/12、2018

3.已知函数/(x)=x+3sin+f+・,•+/()

20192019,2019

A.2018B.2019

C.4036I).4038

4,f2A

4.设y（x）=+f—+f)

4*+2(n)

A.4B.5C.6D.10

1

5.设函数/(x)=—~7=,利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得

2+V2

/(-5)+/(-4)+…+/(O)+…+/(5)+/(6)=

考点五数列的放缩和其他方法

放缩法的注意问题以及解题策略:

1.对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和,

则可考虑使用放缩法证明不等式。而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩,

把原数列变为可求和、易求和的数列.

2、明确放缩的方向：是放大还是缩小。若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小。

3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。

4.常见的放缩方法有：增加（减少）某些项；增大（减少）分子（分母）；增大（减小）被开方数;

增大（减小）底数（指数）；利用不等式的性质或重要不等式；利用函数的单调性等.

5,放缩法的常见技巧及常见的放缩式:

(1)^t>O,a+t>a,a—t<a

(2)1<>/n,2-Jn>Vn+Vw-l,V«+l-1>y/n-1.1)>-n

11111

------=------<-2<

nn+\〃(〃+1)n〃(〃一1)n—\n

2212

(4)2(Vn+l-yfn)==2(V«-y/n