高中数学单元练习导数及其应用

探究开放题预测

预测角度1

利用导数的几何意义

1.已知抛物线y=-/+2,过其上一点P引抛物线的切线1,使1与两坐标轴在第一象限围成

的面积最小，求1的方程。

［解题思路］设法用某个变量(如P点横坐标)去表示三角形的面积S,在利用函数关系式

求最值就可以解决问题。

［解答］设P点坐标为(X°,-X2°,+2).

•；y，=-2x,...过P点的切线方程为：

y-(-x)+2)=-2x()(x-xo)①

令x=0得y=x2o-x2o+2=x'o+2>0

y=0得*=*。+上显=显出

242x0

卑2(X20+2)(X0>0)

22x0

_1xj+4君+4

4xo

S'=-(3X2O+4-4-)令S，=o得Xo=在

4舄3

又•.•(KxoC巫时,SXO;J<x时Q>0.

33

当Xo=当时，S最小。

把x产当代入①得1的方程为：

2Rx+3y-8=O.

2.由原点O向三次曲线y=x3-3ax2(aWO)引切线，切于点R(x1(yi)(OR两点不重合)，

再由P1引此曲线的切线,切于点P2(X2»2)

(P|,P2不重合)。如此继续下去，得到点列｛Pn(Xn,yn)｝

⑴求X1；

⑵求X“与Xm满足的关系式;

(3)若a>0,试判断x“与a的大小关系并说明理由

［解题思路］利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到七、Xm的递推关系，

通过递推关系求出｛xn｝的通项公式，最后按n为奇数和偶数两种情况的讨论可得x.与a的

大小关系。

［解答］(1)由y=x-3ax2,得y'=3xJ6ax

过曲线上点R(xi,y。的切线Li的斜率为3x2「6axi.

.,.Li的方程为y-(x3i-3ax2i)=(3x2i-6axi)(x-xi).

322

又•.'Li过原点,故有：-(x-3axt)=-Xi(3x-6axi)

,*.2x3i=3ax-i,.*.Xi=—a

2

(2)过曲线上的点P„-i(x„*i,y„H)的切线方程是y-(x)”-3ax，i)=(3x；+「6axn+i)(x-Xn+i)

VLn+1过曲线上点Pn(x„,y„).

3222

故Xn-3axn-(x^l,-3axn+l)=(3xnH-6aXnd)(Xn-Xn.l).

33222

B|JXn-Xn+i-3a(Xn-Xn+1)=(3xnn_6aXn+l)(X,-Xn-1).

*/Xn-XnH^O,

••X"u+XnXn+l+X~n+I-3a(Xn+Xn+】)-3xn+1-6aXnT.

X；+XnXn「2xl「3a(Xn+Xnn)=0

(Xn-Xn+1)(Xn+2xn+l-3a)=0.

Xn+2xn*l=3a.

⑶由(2)得Xn+l=-工而+上4

22

.1z、

..xn+i-a=--(xn-a)

故数列｛Xn-a｝是以xra=；a为首数，公比为的等比数列。

.\xn-a=—(-—)n-1

22

当n为偶数时，xn-a=-a(-g)nvO.二x“〈a

当n为奇数时，xn-a=-a(-g)n>0.x“>a.

预测角度2

利用导数探讨函数的单调性

1.己知mGR,研究函数f(x)="〉+3("；+l)-的单调区间

ex

［解题思路］先求f'(x),再令f'(x)>0和f(x)<0可解得函数的递增区间和递减区间。

小，、12mx+3(6+1)-［mx2+3(/??+1)x+3m+6'

tM=-----------------------------------------------------

［解答］,“)

_-mx1-(m+3)x-3

—

记g(x)=-mx2-(m+3)x-3

・・・ex>0,只需g(x)的正负即可。

(1)当m=0时，g(x)=-3x-3.

当g(x)>0时,x<-l,f9(x)>0

当g(x)<0时;x>-i,r(x)<o

・・・当m=0时，f'(x)的增区间为(-8,-1),减区间为(-1,+8)。

(2)当m#0时,g(x)有两个根：xi=--,x=-l.

m2

①当m<0时，x»X2,在区间(Q,-1)u(-3,+8)上，g(x)〉O,即广(x)〈0.

m

.•.f(x)在(-8,-1)U(-3,+8)上是增函数。

m

在区间(-1,--)上，g(x)<0,EPf9(X)<0.

m

.••f(x)在(-1,-A)上是减函数。

in

②当0<m<3时，Xi<X2.在区间(4,-2)u(-1,+8)上g(x)<0,即f，(x)〈O.

m

二函数f(x)在(-8,-3)U(-1,+8)上是减函数，在区间(-2，-1)上，g(x)>0,f'(x)>0.

mm

r.f(x)在(-3,t)上是增函数。

m

③m=3时，X］=x2.

在区间(-8,-i)u(-1,+8)±g(x)<o,r(x)<0o

•.•f(x)在x=T处连续。.,.f(x)在(-8,+oo)上是减函数。

当m>3时xi〉X2。在区间(-8,-1)u(-—,+8)上，g(x)<0,f9(x)<0o

m

.・・f(x)在(-8,-1)U(--,+8)上是减函数。

tn

在区间(-1,--)上，g(x)>0,即f，(x)>0.

in

...f(x)在(-1,-A)上是增函数。

tn

2.已知函数f(x)=/+”3-21£x2+2ax在x=l处取极值,且函数g(x)=广+人_j2s

432432

在区间(a-6,2a-3)内是减函数，求a的取值范围。

［解答］f9(x)=x3-bxJ-(2+a)x+2a

由r(l)=O#b=l-a.

/.f'(x)=x3+(l-a)x2-(2+a)x+2a

=(x-l)(x+2)(x-a)

若a=1时封(x)=(x-1)2(x+2).xG(-2,1)

f'(x)>0xe(l,+o0),f(x)>0.

Ax=l不是极值点。

又b=l-a.g"(x)=x3+(l-a)x2-(a-l)x-a=(x-a)(x2+x+l).当x<a时,g'(x)<0,

；・g(x)在(-8,a)上递减,:.(a-6,2a-3)c(-°°,a)

・'a-6<2a-3Wa,-3<aW3.

综合，得a的范围为(-3,1)U(1,3)o

3.已知f(x)=ax，bx、cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B

的坐标为(2,0),且£&)在b1,0］和［4,5］上有相同的单调性,在［0,2］和［4,5］上有

相反的单调性。

(1)求C的值；

(2)在函数f(x)的图像上是否存在一点M(x。,y0)使得f(x)在点M处的切线斜率为3b?若

存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

［解题思路］根据题设条件作出f(x)的图像知,f(x)有两个极值点，一个为x=0,另一个极值

点在［2,4］之间，借助这个结论可判定在点M处的切线的斜率能否等于3b,

［解答］⑴由题意可知f(x)在［T,0］和［0,2］上具有相反的单调性。...x=0是f(x)的一

个极值点，故f'(0)=0。即3ax2+2bx+c=0有一个解为x=0/.c=0»

(2)•.•f(x)交x轴于点B(2,0)。

，8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).

令f*(x)=0,则3ax2+2bx=0,xi=O,X2=—

3。

・・・f(x)在［0,2］和［4,5］上具有相反的单调

.•.2W-之W4,，-6W2W-3。

3〃a

2

假设存在点M(x0>y。),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f，(x0)=3b。即3ax«+2bxo-3b=0o

(2b)2-4x3ax(-3b)=4b2+36ab=4ab(-+9)

a

•.•又-6W，W-3,...△<().

.•.不存在点M(xo,yo),使得f(x)在点M处的切线斜率为3bo

4.已知函数f=+；(b-1)x2+cx(b,c为常数)

(1)若f(X)在Xd(-8,X|)及XG(X2+00)上单调递增，且在Xd(X|,X2)上单调递减，又

满足0<X2-X］<l.求证b2<2(b+2c).

⑵在(1)的条件下,若t〉xl,试比较系+bt+c与％的大小,并加以证明。

［解题思路］由f(x)的单调性可知XI、X2是f'(x)=0的两根，<X2-X<1可证明(1),(2)可

用作差比较法。

［解答］,.,f(x)在x6(-8,X1)及xd(x2,+°°)上单调递增，且在(X|,x2)上单调递

减，...X=X1或X=X2是函数f(x)的极值点，即f)(xj=o,f'(X2)=0。

Vf'(x)=x+(b-l)x+c.

，X|、X2是方程x2+(b-l)x+c=0的两根,得

,+“2=1-"又・・・0&2七1<1,

［X19X2=C

/.(X2_xi)2<l,即(xi+xz)2_4XIX2<1.

A(l-b)-4c<l.Ab2<2(b+2c)

(2)由(1)有b=l-(xi+x2)•c=xiX2.

22

(t+bt+c)-xi=t+［l-(xi+x2)］t+xix2-xi=(t-xi)(t-x2+l).

Vt>xi,X2-xi<l

t-Xi>0,Xi<Xi+l<t+l

/.(t-xi)(t-X2+l)>0

t2+bt+c>Xi.

预测角度3

利用导数求函数的极值和最值

1.已知函数f(x)=ax：'+cx+d(a二0)是R上奇函数，当x=T时,f(x)取得极值2。

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若对于Xi、1］,不等式If(xj-f(X2)Wm,求m的最小值。

［解题思路］由题设条件易求得a、b、c的值。因此由f，(x)〉O和f，(x)〈O可求f(x)的单调

区间。

(2)若对于任意Xi、x2e［-l,1］,不等式If(xi)-f(X2)IWm恒成立,BPlf(xi)-f(x2)I是函

数f(x)的最大值和最小值之差的绝对值。因此，这一问主要是f(x)在［-1,1］上的最大值和

最小值。

［解答］⑴由f(-x)=-f(x)x£R,I.f(0)=0即d=0.

f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c.

由题设f(-1)=2为f(x)的极值,必有f，(-1)=0。

../a+c=-2解得2=1“=-3。

f(x)=x1-3x.f'(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1).

令f，(x)>0,解得x>l或x<T.

f(x)<0,解得1—<X<1.

・・・f(x)在(-8,-1)u(1,+oo)上单调递增。

f(x)在(-1,1)上单调递减。

(2)用(1)知；f(x)=x~3x在[T,1],恒有|x(xi)-f3)IWM-N=2-(-2)=4.

2.设函数f(x)是定义在[-1,0]U[0,1]上奇函数，当xd[-l,0]时，f(x)=2ax+g(a为

实数)

(1)当xG(0,1)时，求f(x)的解析式；

⑵若a>-l,试判断f(x)在［0,1］上的单调性；

(3)是否存在a,使得当xd(0,1)时，f(x)有最大值-6。

［解题思路］(D利用函数f(x)的奇偶性可求得xG(0,1)时，f(x)的解析式；(2)可用

导数法判断；(3)分a>-l和aWT两种情况讨论f(x)的最大值。

［解答］⑴设xW(0,1),则-xW［-L0］,f(-x)=-2ax+4.

•.,f(x)是奇函数，，f(x)=2ax・；，x£(0,Do

(2)"x)=2a+，2(a+l),

XX

Va>-1;xe(o,l),321

.•.a+2_>0,即r(X)>0.

.•.f(x)在(0,1)上是单调递增的。

(3)当a>T时，f(x)在(0,1)单调递增，fmax(x)=f(1)=-6。.•.a=-1(不合题意舍去)

2

当XG(-8,3卜；)时，p(x)>0

xG(3J--,+8)时，f'(x)>0

时，f(x)有最大值f(3口)。

)=-6na=-2VI.此时x=^e(0,1)。

存在a=-2拉，使f(x)在(0,1)上有最大值-6。

3.已知f(x)=-x'+ax,其中aWR,g(x)=-;JJ,且f(x)<g(x)在(0,1)上恒成立，求实数a

的取值范围。

［解题思路］设F(x)=f(x)-g(x)。由f(x思g(x)在(0,1)上恒成立,即F(x”0在(0,1)

上恒成立，oF(min)<0o或用分离参数法。

3

［解答］设F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+-—。

2

Vf(x)<g(x)在(0,1)上恒立=F(x)<0在(0,1)上的最小值。

3

・・・a〈x2-工〉，这样，要求a的取值范围，使得上式在区间(0,1)上恒成立，只需求函数

2

3

h(x)=x2-Lx3在(0,1)上的最小值。

2

•・•h'(x)=2x-'=g♦二1)(4立+»

由h，(x)=0(24-1)(4X+24+1)=0.

：4X+24+1>0,，x=L

4

又；xG(0,')时，h，(x)v0,xe(L1)时,h'(x)>0.

44

；・xJ时,h(x)有最小值

4416

*/3

16

考点高分解题综合训练

1已知函数f(x)在x=l处的导数为1,贝him""⑴等于()］

X—o2x

A.-B.1C.2D.-

24

答案：A解析：(x)=lim〃l+xWa)=Lim川+一)一了⑴二c1)=L1=1

Axfo2x2A.r->0Ax222

2函数y=xsinx+cosx在下列咖个区间内是增函数()

A.(0,Ji)B.

C.(y,m)D.

答案：D解析：y'=sinx+cosx-sinx=xcosx,xG(-n,-1)时，y'>0.

3已知函数f(x)=@上皿在(1,+8)上为减函数，则a的取值范围为()

X

A.0<a<-B.0<aWeC.D.aWe

e

答案：C解析：f，(x)=--""J"'<0在^(］+—)上恒成立,故xe(l,+oo)时，lnx>lln£恒成

立,

・・、ee-、

•X>——WI,.",a2c.

aa

4函数y=2/-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分别是()

A.5,-15B.5,-4

C.-4,-15D.5,-16

答案：A解析：f'(x)=6x?-6x-12,令f'(x)=0即6X2-6-X-12=0.X2-X-2=0x=2或x=-I,(舍)，

...当x=2时,y-=-15,x=0时，y=5时,y=-4,最大值为5,最小值为-15.

5设f(x)、g(x)分别是定义在(-8,o)u(O,+8)上的奇函数和偶函数，当x<0时f，(x)g(x)+

f(x)g，(x)=0且g(3)=0,则不等式f(x)•g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-8,-3)u(3,+8)D.(-8,-3)u(0,3)

答案：D解析：f(x>g(x)是定义域上的奇函数.

又x<0时，

f'(x)g(x)+f(x)g,(x)=[f(x)-g(x)]'>0.

•••g(3)=O.

f(3>g(3)=0,又f(m)g(x)在定义域上单调递增.

，f(x>g(x)<0的解集为(-~-3)U(0,3).

6函数f(x)=x--2x+3的图像在x=l处的切线与圆x、y2=8的位置关系是()

A.相切B.相交且过圆心

C.相交但不过圆心D.相离

答案：C解析：(x)=3x2-2.f'⑴=1,...切线方程为y=x+l,点(0,0)到切线距离

7函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是.

答案：(0」)解析：令f'(x)=lnx+l<0,得xW(02).

ee

8曲线y*#与y=*2在交点处的切线夹角是—

y=2--x

।2解得交点坐标为(2,0).

答案：-解析:联立3

4y=—x-2

4

又••・3力，』(¥")，=#.

...两函数在x=2处导数分别为-2、3.

kj=-2,k?=3.tan。=1&~-1=I--—―1=1

l+W1+3(-2)

可求得生.

4

9已知函数f(x)=mx'+mx'Bx在R上的增函数，求实数m的取值范围。

答案：解：f'(x)=3mx2+2mx+3.

(1)当m=0时,f'(x)=3>0,

，f(x)在R上为境函数.

⑵①当m<0时,f'(x)开口向下△<(),

说明存在区间使f'(x)vO.

时,f'(x)在R上不是增函数.

②当0<m<9时，f'(x)开口向上且△<(),说明f'(x)恒大于0,...Ocmvg时，f'(x)在R上是

增函数.

③m=9时f(x)=9x3+9x?+3=9(x+y由函数y=x3的单调性可知m=9,f(x)在R上台阶增函数.

④当m>9时，f'(x)开口向上且△>(),说明存在砸锅间使f，(x)v0,0

；.m<9,f(x)在R上不是增函数.

综上怕述，所求m的取值范围是［0,9J.

10求函数f(x)=®-m(x+l)在［4，3］上的最大值和最小值。

答案：解：f(x)=

(xlnx)/(x+l)xlnx1

(x+1)*2x+1

_(lnx4-l)(x+l)-jclnx1

(x+l)2x+1

Inx

*+1)2

令r(X)=O既」^y=0,...X=L

(x+l)2

/.当x=i时可得r(x)<o,

当lvxW3时，f(x)>0

・・・当x=l时可得f(x)的极小值f(l)=ln2

3

-In3-ln4.

・・・f(3)=4

j_13

f(2)=-3]n2-ln2=-lIn2-(ln3-ln2)

21

=-|ln2-ln3=f(2),VIn2<ln3,Af(1)<f(3).

3

・・・f(x)的最大值为f(x)的最大值为f(3)=4In3-ln4.

11函数f(x)=q/—a/+x+l在x=xi,及x=X2处有极值，J11<UW5.

3x2

(1)求a的取值范围；

答案：由题设知f'(x)=ax2-2ax+l二根为xl、x2,

1

—x

且x1+x2=2,x1x2=a,V1<——<5,xl,x2同号，

巧

Xxl+x2=2>0,；・xLx2同为正数,由1<W5得xkx2W5xl,又,.,x2=2-xl,，xl<2・xlW5xl

同

整理得1Kx［<1,,」=同工2，•'」=肛(2一Q)

3aa

2J_

1

=-c'-2、1)=_(X1_］)2+1.由xie［3,l］

(2)当a取最大值时，存在tWR,使x£［l,mJ(m>l)时，f(t-x)〈蓑工-：恒成立，试

求m的最大值。

答案：当a=(时，f'(x)=|x2-yx+l,

918

；.r(t-x)=|(t-x)2y(t-x)+l,

：r(t-x)W些x-3,即2(t-x)2--(t-x)+1w至X-±,整理得x2-2(t+1)WO,该式在xe(1,m)上

恒成立.

把x=l,x=m,代和上式得

l-2(r+l)2+(Z-l)2<0,

<0<r<4.

m2-2(t+l)m+(t-l)2<0,

•♦t+1-2工4掰4f+1+2-

...当t=4时，m有最大值9.

12已知函数f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在［-8,0］上单调递减，在［0,6］上单调递增，且方程

f(x)=O有3个实根:m、n、lo

(1)求f(4)的取值范围。

答案：f'(x)=-3x2-2bx-5c

，f(x)在(-8,0)上单调递增，且在［0,6］上单调递增.

.•.当x=0时，f(x)取最小值。

.•.f(0)=0即c=0

.,.f(x)=-x3-2bx=0

.,.f(x)=-l-b-2d=0nd=-等.

；f(x)=3x2-2bx=0的两个根为x1=0,x2=—>b,即b<-9.

3

=-63-15>-63-15•(-9)=72。

故f(4)的取值范围是［72,+8］.

(2)n?Ymn+i?是否有最小值？若有，求出最小值，若没有，请说明理由。

答案：由于m、n、1是方程f(x)=O的三个根，所以设

f(x)="(x-tn)(x-n)(x-1)=-x3+(m+n+l)x2-(m+n+mn)x+mn.与f(x)=-x3-bx2-2d

-6=机+〃+1,

比较系数得40=加+〃+mn,

-2d=mn.

m2-4mn+n2(m+n)

2-6mn=(-b-l)2-6(-2d)=b2+2b+1+12-(-^-)=(ft-2)2-9>(-9-2)2-9=112.

即n/dinn+i?有最小值112.

13一艘渔艇偏激在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇3房km处的海岸渔站，如果送信人

步行每小时5km,船速每小时4km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？

答案：解：如图所示，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，设D为海岸线上一点，CD=x，只需

将时间t表示为x的函数，即可确定登岸的位置.

VAB=9,AC=3病，BC=JAC2-4B2=15.由A到C所需要时间为t,

贝ljt=1x+，J(15-X)2+81(04X415)

54

At.=X_15-^——令p=o,解得x=3.

5J(15-X)2+8］

在x2(0,3),ti<0;x2(3,15)时,t'>0.

在x=3附近，1由负到正，因此在x=3处取得极小值，又t(0)=返/(15)=3,《3)=竺