高中数学用构造法解题

高中数学用构造法解题

一、构造函数

例1、(1)在实数范围内解(X2-X+1)5-X5+4X2-8X+4=0。

(2)解不等式X。+积+2)+(x+1)(1+J(x+1)2+2)》。

分析：方程与不等式都是高次的，展开求解不现实，分别作

适当变形，然后构造函数，再利用函数的单调性和奇偶性解

题。

解析：(1)原方程变形为(X2-X+1>+4(X2-X+1)=X5+4X。

设函数f(t)=t5+4t,上述方程即为f(x2-x+l)=f(x)。

由于f(t)在teR上是单调增函数，故若则必有tif

成立。因此X?-X+1=X,即X=l,故原方程有唯一解X=l。

(2)设f(x)=x(l+而71),xeR,易证f(x)在区间［0，+8］上为增

函数。

-x(l+Jx?+2)=-f(x)9

二f(X)为奇函数，从而f(X)在区间(8+8)上为增函数，

二原不等式可化为f(x)+f(x+l)>0,即f(x+1)>-f(x)=f(-x),即

2o

二、构造一元二次方程

例2、已知AABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且

tanAtanC=2+73,求A、B、C的大小。

分析：由根与系数的关系来构造一元二次方程是最常见的思

路。

{_tanA+tanC

解析：由题知tanAtanC=2+百，联想到3n+1-tanAtanC,由

R—冗ar*_2汽

A、B、C成等差数列，得一T十故tanA+tanC=3+百。

tanAstanC是方程X。-(3+/)x+2+^3=0的两根,得

X]=l,X2=2+6。当A<C时，tanA=l,得人=彳田=丁©=返、当

「一开R_nA_5

A>C时，tanC=l,得,=彳，B=T,人=运\

三、构造数列

2

例3、已知(醐(n=L2,3,…)，求满足

|"°)7

£(0)+219的正整数n的取值范围。

f(x)=---,f(0)=---

解析：nl+1(x)'n"1+:(0)

21FM

T

1+%(0)1+^(0)

2&_©+2]

fn(0)+2=

1+:(0)1+:(0)

F，

\(0)+22\,1(0)+2

A(0)-1।।Ml।11

因此可知数列£(。)+2।是以%(0)+2尸4为首项,以，为公比的等

比数列。

“K。)_1卜

£(0)+2『4rW。

_L<1

2n+19,得n23。所求Cl的取值范围是nA3。

四、构造几何图形

例4、试证:对任何a>0,b>（U>0,都有

______________________________1_11

222222

Va-ab+b+7b-bc+c>Va+ac+c,当有仅当丁丁展时等号成

立。

解析：观察题目特点，从庐事寿二庐右舌^7联想到

余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三

角形，利用几何图形进行证明。

根据题意构造图形（如上图），其中AB=a,BC=c,

BD=b,ZABD=ZDBC=60°,由余弦定理得：

AD=%/a2+b2-ab,DC=7b2+c2-be,AC=+c2+ac

在AADC中，AD+DC>AC,则

222222

7a+b-ab+7b+c-be>^/a+c+aco但当A、D、C三点共线

时等号成立，此时，SAABC=^AABD+$ACBD,即

—acsin120°=—absin60°+-bcsn60°

222

—1=—1+_1

ac=ab+be,即bac

例5、设关于6的方程后cos+sine+a=0在区间（0,2万）内有相

异的两个实根"求实数a的取值范围。

分析：运用数形结合思想，将代数问题构造平面图形后，用

平面解析几何的有关知识解题。

解析：设x=c。se,y=sine,则由题设知，直线1：&+y+a=0与圆

x?+/=1有两个不同的交点A(cosa,sina)和B(cos£,sin#)。