高中数列知识大总结(绝对全)

第六章数列

・、考试要求

1.会根据数列前〃项写出一个通项公式，会运用通项讨论其性质（如单调性），能用函数观点认识数列。

2.了解递推公式的意义，会根据递推公式写出数列的前几项，会求形如。计1=b*+c型数列的通项公式。

3.理解等差数列的概念，会用其概念导出通项公式，了解等差中项的概念，能通过公式研究它的单调性。

4.会用倒序相加法推导前〃项和公式，掌握并能运用公式解决一些问题。

5.理解等比数列的概念并能运用它导出其通项公式，了解等比中项的概念，会通过通项公式研究它的单调性。

6.会用错位相减法推导等比数列前〃项和公式（分清4=1和的情形），并运用公式解决一些问题。

7.理解和运用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等求数列的前〃项和。

二、重难点击

本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前〃项和公式及运用，等差数列、等比数

列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求

和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

本章难点：对数列概念的理解，对公式理解和掌握对性质的运用，求和方法的运用，求通项的方法的运用，

以及思想方法的运用，是本章的难点。

三、命题展望

数列任然会以客观题考察等差数列与等比数列的通项公式和前〃项和公式及性质，在解答题中，会保持以前

的风格，理科注重数列与其它分支的综合能力的考察，文科则注重数列内部综合能力考察，在高考中，数列

常考常新，其主要原因是它作为--个特殊函数。使它可以与函数、不等式、解析几何、三角等综合起来，这

更体现了知识交叉命题原则得以贯彻；另一方面，因为数列研究的一些特殊方法（归纳一探索一验证）和数

学思想（函数与方程，分类与整合），会命判开放性、探索性强的问题，又因为数列与生产、生活的联系，使

数列应用题也倍受欢迎。

知识网络

第一课时数列

知识要点

一、数列的概念

1.数列是按一定顺序排列的一列数,记作外,出，。3……，简记｛%｝.

2.数列｛%｝的第〃项氏,与项数”的关系若用一个公式=/（〃）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3.数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图

像是一群孤立的点。

二、数列的表示方法

数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。

三、数列的分类

1.按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2.按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

3.从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

四、数列通项an与前n项和S„的关系

1.S„=a}+o2+«3+•-■+«„

/=1

S\n-1

2.an-

S"-n>2

课前热身

1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式为(C)

22・〃(71+1)n(n-1)

A.an-(M-1)B.an=n~—1C.an=--—D.011~-2-

2.在数列l,l,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，x的值为(D)

A.10B.11C.12D.13

3.数列｛%｝的通项公式为*=3〃2—28〃，则数列各项中最小项是（B）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

4.已知数列｛%｝是递增数列，其通项公式为a,,=n2+An,则实数4的取值范围是（—3,+oo）

-2n=1

5.数列｛怎｝的前n项和S“=〃2一4〃+1,,则an-

2/2-5n>2

典例精析

题型一归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的个通项公式

（1）7,77,777,7777,—

2

2468

(2)一,--,—,----,,,•

3153563

(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9-

解析：⑴将数列变形为77§7(103—1),…，§7。0”一1)

⑵分开观察，正负号由(—I)"”确定，分子是偶数2〃，分母是lx3,3x5,5x7,•••,(2n-l)x(2/i+1),

2n

故数列的通项公式可写成明=(-1)向

(2〃-1)(2n+1)

⑶将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,•••»可得数列的通项公式为

an=n+^.

"2

点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求

解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

S[(〃=1)

题型二应用an=<n'c求数列通项

S,I(n>2)

例2.已知数列｛«„｝的前n项和S,,,分别求其通项公式.

⑴S“=3”—2

1,

⑵S〃=d(%+2)2(%>0)

O

解析：⑴当"=耐,。1=5]=3'—2=1,

当〃之温4=S.一S,i=(3"—2)—(3'T一2)

=2.3-1

.1(«=1)

又％=1不适合上式，故.

(n>2)

当时%

⑵当〃=1时,卬=S|=-(a,+2)2,解得%=21,1,

8=-(«„+2)2+2)2

OO

所以他"-2)2-(%T+2)2=0

所以(a,,+。“_1)(。“一七一］-4)=0

又a“>0,所以a,=4,可知｛%｝为等差数列，公差为4

所以an=%+(〃一l)d=2+(〃-1)•4=4〃-2

3

。1=2也适合上式，故an=4n—2

S](n=1)

点拨：本例的关键是应用*求数列的通项，特别要注意验证的值是否满足

(«>2)

22"的一般性通项公式。

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列｛%｝的首项和递推关系，求其通项公式

11

⑴4=3，a^a+——

2n+n4n1-1

22

⑵％=1,a„>0,(72+l)an+l-nan+an-an+｛=0,

,1,

=al+i

⑶%=L«n+i2'

解析：⑴因为*+]=%+―；---，所以

4〃--1

1111、

an\-a„=一一-=T(7z--7-o,1)

+An-122n-lIn+1

…1/1、

所以a,一“I=—(----)

21213

an-an-\=~--------7)

22〃-32n-l

以上(〃一1)个式相加得

11、

a,,-a.=一(1-------)

“'22n-\

Rtl,14〃一3

即：an=1-------=------

4〃一24〃-2

2

⑵由(〃+1)«„+|+a„-a„+]-n-a,；=0

a

有[(〃+D%+i一〃%\n+y+%)=0

：,an+i+a„>0

+—〃*=0即：­=、

ann+1

a

.n_2n

..(in-----------•,—•q

%-2%

4

n-ln-211

—....i——

nn-12n

1

「•凡="

n

⑶方法一、设。〃+]+根=g(%+〃?)

11c1

%+1=2%-2优，又/川=2%+1

令—m=\,.tn=-2,于是a“+]=—a”+1

22

可化为

%+i-2=-(«„-2)

ci=2------

"2"T

方法二：•••。川=5%+1

1,11,、，

an=/""I+1=2(耳""2+D+1

=(3)%々+；+1=§)2(£-3+1)+g+1

=(——+(；)*+1

=2-d)"T=2--1

22"T

方法三：•••％+]=ga“+1,an+2^-all+i+1

两式相减，%+2-%+i-4,)

%+i_a.=(q_q>(；)"」=(；)“

5

相力n得：4“-%=k（一）2"!-------F

点拨：在递推关系中若%+1=*+/(〃),求明用累加法，若&"=/(〃),求明用累乘法，若%M=pan+q,

a„

求明用待定系数法或迭代法。

数学门诊

已知S“是数列｛%｝的前〃项和，且满足=3〃2a“+s“_J,其中%#0,〃=2,3,4…，又％=2,求数

列｛。“｝的通项公式。

错解：当“22时，由已知得-S._12=3〃26

又an=Sn-S.—工0,所以S“+S“T=3〃2

于是S“+2+S“+i=3(〃+1/两式相减得，

5,用一S“_]=6〃+3,即a,l+i+an=6n+3

于是。“+2+。,川=6〃+9所以两式相减得an+2-an=6

所以。1，。3，。5，一・成等差数列，公差为6,。2，。4，。6，一.，也成等差数列，公差为6,从而

。],。2，〃3，。4，。5，。6,…成等差数列，公差为6，

所以，a”=2+(〃-1)•6=6〃-4

正解：当〃22时，由已知得S,2—S,_12=3〃26又%=s“—s,i，o,

所以S“+S,i=3〃2

于是5“+i+5“=3(〃+1)2,两式相减得：5“+1-S7”=6〃+3,即a〃+]+。〃=6〃+3

于是〃“+2+。〃+]=6〃+9,所以。〃+2一。〃=6,又§2+5]=12,所以出=8

6

又。3+。2=15，所以。3=7

则〃=2k时

an-a2k=a2+（左一1）•6=6攵+2

=6・二+2=3〃+2

2

〃=2k+1时，an-a2M-a3+（左一1）•6

=6k+1=6•———-+1

2

=3〃-2

2（n=1）

an=<3zz+2（〃为偶数）

3〃-2（〃为大于1的奇数）

总结提高

1.给出数列的前儿项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一

2.由S“求a,B寸，要分〃=1和九22两种情况

3.数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最

小”等问题十分有效。

4.给出S“与的递推关系，要求a“，常用思路是：-是利用5“—S,i=%（〃22）转化为。，的

递推关系，再求其通项公式；二是转化为S,的递推关系，先求出S“与〃之间的关系，再求知。

课堂演练

3

1.若数列｛。“｝的前〃项的S“一3,那么这个数列的通项公式为（D）

A.a“=2x3"TB.an=3x2"C.a“=3〃+3D.aa=2x3”

3

解：〃=1时，«1=S|=—a,-3a,=6

33

心2"时，an=Sn-Sn_i=（-all-3）-（-a„_l-3）

%=3%T

an=at-3"-'=2x3"

2.已知数列｛a“｝满足q=0,an+l=—p=----（〃eN*）,则a2。=（B）

+1

7

A.0B.-V3C.V3D.—

2

解：。］=0,a

2看篙3

=64=0,

'V3.(-V3)+l

牝=4*二一百‘…’所以

。“+3=«„

020=43x6+2=a2=一后

3.定义一种运算“*"，对于”eN*满足以下运算性质：1*1=1,(〃+1)*1=3(n*1),贝ij,〃*1用含“

的代数式表示为：3"T

4.设为，。2,•••,%()从一1，0，1这三个整数中取值的数列，若生+。2+・一+&0=9且

(<21+1)-+(见+1)-----(。50+D~=107则a”a2,'••,a5Q中有0的个数为H

解：设有〃个0,则由(/+1)2+(42+1)2+・一+(牝0+1)2=107有

22

(a,-I---i-a50)+2(al+a2+…+a50+50=107,

aj+a；+,■,+%o~—39.

所以在…，。50中有39个1或T，

所以在外,。2,…,。50有11个0°

5.已知数列｛%｝满足%=1,

a„=3"T+a,-,(H>2),

⑴求的和。3

3"-1

⑵证明：a„=-----

"2

2

解：(1),：%=1,；.g=3+%=4a3=3+a2=13.

⑵证明：由已知a“一a,-=3"T有

8

M-1W2

〃〃〃T〃一】“-2=3+3-+--+3+1=-——-

+(g—〃])+《2

6.已知数列｛%｝中，环=(〃+2)-(得)"试问”取何值时，明取最大值？并求此最大值.

Q

解：因为也=---------=

a"(n+2).(—)"10/7+2

10

当且仅当〃=7时，色>=1,即他=%

%

所以当〃<7时&旦>1,即

an+]>anB|Ja-j>a6>a5>・•->〃]

当〃28时-，巴巴*<1an>an+i

a„

即。8>。9>。|0>…

故当〃二7或8时，。〃最大，

98

(%)max=%=。8=

课外练习

一、选择题

1.数列3,-5,7,-9,11,…的一个通项公式是(D)

A.%=(一1)"-(2〃+1)

B.a„=(-l),,+1-(2//-1)

C.a„=(-l)n-(2/7-1)

fl+,

D.an=(-l)-(2/1+1)

2.已知数列｛a.｝中q=2,

%+i=3a“+l,("eN*)则/的值为(A)

A.67B.22C.202D.201

3设%=」一+」一+…+」一，(〃GN*),则许+]与%的大小关系是(C)

"n+1n+22〃+1n+1"

A

-%+i>%B.怎+]=an

9

C.an+[<anD,不能确定

解：因为

111

Q”+i-=-------------1-------------------------

2〃+22〃+3n+1

11八

=-------------<0

2〃+32〃+2

<af

所以a〃+in选C.

1.若数列｛4“｝满足：*+1=♦

2凡一1

解：«,1+)

a=2al-1=—e

7217

Q[=2a>—1=-€0,一

327L2j

、6「1)

a.-2a.=—7eL—2,1J

%=2%T='，",

由此猜想：an+3=an

所以的()=“3x6+2=。2='，选B

二、填空题

-2,(〃=1)

5.已知数列｛%｝的前〃项和S“=〃2—4〃+L则a

2n-5,(n>2)

6.已知数列｛。〃｝中，4=2,。2=3,。“+2=3。〃+]-，%=区

解：

10

%+2-%+i=2(a“+1-%)

a2-ax=1

/.a3-a2=2(g—/)=2

aA-a^=2(%-%)=4

a5-a4=2(*-%)=8

a6-a5=2Q-%)=16

ai~a6=2(%一%)=32

cij—4=1+2+4+8+16+32

/.a7-65

7.已知数列｛%,｝的通项巴二年(〃eN*),则数列｛%｝的前30项中最大项和最小项分别是小。，a9

〃一,99---------

...附注t黑X—V98V99—V98

解：构造函数y=------；==1+--------

x-<99x-,\/99

由函数性质可知，函数在(—8,胸)上递减，且y<l

函数在(、须，+8)上递增且>>1

又廊e(9,10)

aa

W>\\>"12>…>“30>1>%>。2>…=解处题

>为

二%0最大，的最小

8.已知｛a“｝中，％=:，前〃项和S“与a”的关系是S“=〃(2〃-l)a“，求a”

解:由S”=〃(2〃-1)。“得

S.+i=(〃+1)(2〃+l)an+l

an+l=S”+i-S”

a.+i=(〃+1)(2〃+l)a,1+l-n(2n-l)an

2

(2n+3n)an+l-n(2n-l)an

a

.„+i_2n-l

an2〃+3

.〃_a,,*ai〃

■-an-----------------------------a\

an-]an-2an-3"l

2n—3,•In-5,2〃—7—.•・•・5I•3I■•1II•1II

2n+l2n-l2n-39753

1

-(2n+1)(2//-1)

1

4n2-1

11

9.在数列｛%｝中，an-an-1---------(neN")S“为前〃项和.⑴求证：｛%｝是以3为周期

2an-l

的周期函数

⑵求52010

%+1i__L

an

_]1j%T

J_%(an-1)-an

%T

=l+a„-l=a„

1,〜

%=—,a、=—1,4=2

S2Q]Q=(%+/+%)+(%+%+%)

HF(出005+々2006+。2007)

+(。2008+〃2009+”2010)

=670(%+出+%)=1005

C

10.设数列｛凡｝的前〃项和为S“，点(〃,j),

n

(〃eN*)均在函数y=3x—2的图像上，⑴求数列｛。“｝的通项公式

⑵设a=——,Tn是数列也，｝的前前n项和，求使得Tn<—对所有neN*都成立的最小正整数m.

20

解：⑴依题意得：

q

j=3〃-2,即S.=3〃2_2〃

n

当〃22时，％=S“-S"T

=(3〃2-2〃)—[3(〃一I)?—2(〃—D]

=6〃-5

当〃=1时，ax=S|=1=6x1—5

故。〃=6〃-5,(neN*)

⑵由⑴得：

12

3

b„

(6〃一5)(6n+1)

一L)

26n-56n+1

T„=Za

i=\$1一看)嗡成立，

111

-(1--)+•••+()

276〃-56n+1

1tn

当且仅当一4——，...“210

220

故满足要求的

6.2等差数列

知识要点等差数列的充要条件。

1.等差数列的概念3.等差中项：

如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差

若成等差数列，则〃称a与c的等差中项,

都等于同•个常数,这个数列就叫等差数列，这个常

数叫等差数列的公差,用d表示。且/,="£；a,"c成等差数列是2b=a+c的充

2.递推关系与通项公式2

要条件。

递推关系:an+i-an—d

通项公式：=%+(〃—l)d4.前〃项和公式

推广：a=a+{n-tn)d

nm(%+&“)〃〃(〃-l)d

工=----2----；S“=叫+2~~

变式：=an-(n-l)J;

n—\变式：

d=a'1~a,n+。"Sn+…+。”

n-m

2nn

由此联想到点5,)所在直线的斜率。/,、d/八/d、

=%+(71-1)-=<2„+(/1-1)•(--)；

特征：an=dn+(a}-d),

即：an=/(n)=kn+m,伏，加为常数)

akn+m,(k,m为常数)是数歹U{%}成

13

特征：S“=g〃2+（%-g）”,。4+。6+。8+。10+a12=120,

则。9-与％1的值为（C）

B|JS„=/（〃）=A”2+B〃

S^An2+Bn（A,6为常数）

ltA.14B.15C.16D.17

是数列｛。“｝成等差数列的充要条件。11,

解。9-铲11=a9一耳(“9+2d)

5.等差数列｛%｝的基本性质（其中血,〃,p,qeN*）2，,22120，/

=-(-4）二一圆=———=16

393835

⑴若机+n=p+q,则=4P+'反

3.等差数列｛。,｝的前〃项和为S“，当q,d变化时，

之，不成立。

（2）a“-am=（n-m）d若。2+。8+。”是一个定值，那么下列各数中也

是定值的是（A）

（3）2%=an_m+an+m

A.S[3B,S[5

（4）S,S-S,S-S仍成等差数列。

n2nn3n2nB.S20C.So

6.判断或证明一个数列是等差数列的方法：解：

①定义法：

a2+%+a“=3(%+6d)

。"+1一%="（常数）（〃€N*）=>｛%｝是等33

=/,2%=-(^i+/3)

差数列

②中项法：

为定值，。1+“13为定值，

2aa+a

n+\=nn+2（〃WN*）=｛。"｝是等差数

~(a+4]).13人

列...S_]_13J_,选人

132

③通项公式法：

4.计算机执行以下程序：

an=kn+b（3）为常数）n｛%｝是等差数

⑴初始值x=3,S=0

列⑵x=x+2

④前〃项和公式法：(3)S=S+X

（4）5>2010,则进行⑸，否则从⑵继续进行

S„=An2+Bn（A,B为常数）=>｛%｝是等

（5）打印为

差数列⑹停止

课前热身：那么，语句⑸打印出的数值为经

解：由题意知，程序每执行一次所得X的值形成个

1.等差数列｛%｝中，/+4+%=39,

数列卜“｝是等差数列，且首项为5,公差为2,相

+%+。8=33,贝必3+“6+。9=（B）

应S的值S恰为该数列的前n项和,根据题意得：

A.30B.27C.24D.21n

2.等差数列｛%｝中，S=5n+22010解得n>43

2

所以=5+(43-l)x2=89

14

〃工时，

5.设S“，7；分别为等差数列｛*｝与也,｝的前〃项5afl<0,

n>6时，an>0

和®=即拦，则&=11.•.当时，,=—S“=9〃-”2

bn2n-5T]9_5_当〃>6H寸，

解：=1%|+|。2|+…+|45|+|。6|+…+I。J

(%+%9)T9=—Q]-％一***-%+。6+%+,•,+

S19_2=+419

=S„-2S5

(9(仇+仇9)-9瓦+仇9=n2-9n-2x(-20)

2

=n2-9〃+40

_2。]0_al0_4x10+2_14

一2

-2^74-2x10-5―T,T9n-n(«<5)

""-[/z2-9//+40(zz>6)

典例精析

一、等差数列的判定与基本运算(2)：①证明：当〃22时，

例1：⑴已知数列｛%｝前〃项和S“-n2-9nS,i(s“-5)=(s〃-s,T)(s“-5)

①求证：｛%｝为等差数列；②记数列｛明｝的前〃项所以S,-S,i=g(Si—S“)

和为，，求T”的表达式。

⑵数列｛%｝中，S“是前”项和，当”22时,

所以|-L1是以'-=i为首项,2为公差的等差数列。

5„2=%(S“—1)①求证：.>是等差数列,

②：由①得

S,-L=_L+(〃-l)-d=1+(〃-1)・2

②设a=，求物,｝的前〃项和7；

2«+1S“S|

=2“一1

解：(1)：①证明：”=1时，4=S|=—8,

1

所以。

当“22时，2/1—1

%=S"-S“_|所以

=“2_9o-[(“-1)--9(/2_1)]

=2n-10―2〃+1-(2〃-1)(2〃+1)

-T)

也适合该式，，=2〃-10(〃wN*)

②，的表达式为:T”=4+%+…+么

2〃+1)

n

(12〃+1)

4~2〃+1

点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求

和公式。

15

二、公式的应用

Sn,且满足：。2。3=45,。[+。4=14,

例2：设等差数列｛«,,｝的首项%及公差d都为整数，

①求数列的通项公式:

前几项和为S”S

②设a=_!!_,一个新数列｛2｝,若｛4｝也

n+c

①若a”=0,SK=98,求数列｛4｝的通项公式

是等差数列，求非零常数c；

②若叫»6,a”>0,S<77,求所有可能的b.

14③求/(〃)=(〃GN*)的最大

(〃+25)6用

数列｛。“｝的通项公式

值

解：①

解：｛%｝为等差数列，q+4=0+“3=14

由SM=98,得2%+13d=14

又Qu=q+\0d=0又。2。。3=45,由d>0,a2<a3

解得d=-2,a]=20

—5,。3=9,d~~4,ci]—1

所以数列｛a,,｝的通项公式是：

/.an=1+(n-1)4=4〃-3

%=22-2n(nGN*)

数列｛a,,｝的通项公式为an=4n-3

②

②由①知：

$44772al+13d411

有，°n(n-l)-42

lll<>0a｝+lOd>0S„=〃•1+---------=2〃-n

n2

为261426

'2a,+13J<11©所以勿

〃+c〃+c

即<-2。]—20d<0(2)

所以，b2=-^—,

-2a,<-12③1+c2+c3+1

即d>」d

由①+②得一7d<l,因为也,｝为等差数列，所以如为，名成等差数

713

列，所以

又dGZ,

713

2b?二4+b3

10<a｝<12,a£Zg、i12115

2+c1+c3+c

所以4=11或%=12所以c=-Lc=0(舍去)

2

故所有可能的数｛a.｝的通项公式是：

故所求非零常数c=一,，自力“=2n

2

%=12-〃和％=13-〃(”€*)

b”

点拨:准确灵活运用等差数列的通项公式及前〃项③/(〃)=的最大值:

(〃+25)%

和公式，提高运算能力。

三、性质的应用

例3：已知等差数列｛。〃｝中，公差d>0前〃项和为

16

b.所以4]>a2>…〉外6〉0〉。17〉。18>

nGN*,/(n)

(〃+25)b向而施=«15-66•%7<0，仇6=%6•%7.%8〉0

2n_n

所以8>Sn>…>SpS14>S”，si5<si6

5+25)•2(〃+1)-/+26〃+25

69

又％5—~t/〉0>/8