高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

卜课前自主预习

1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设向量。=(为,y\),b=(xi,").

两个向量的数量积等于口［对应坐标的乘积的和,即

数量

积回_步％2+丫1丫2

两个

向量a_L5台叵］_苟％2+y1丫2=0

垂直

2.三个重要公式

向量的模公式：设4=(%|,%),则⑷=图％；+『；］

三

个

重两点间距离公式：若4(%1,力18(%2,y2),

要则罚=垦叵三叵五口

公

式

向量的夹角公式：设两非零向量

a=(41,y।),b=(久2,与力的夹角为仇

的%夕

则c°s'=齿铝⑹2+%2

自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和.()

(2)若“=(%”y\),方=(%2,”)，则台xi%2+yi>2=0.()

(3)若两个非零向量的夹角0满足cos^<0,则两向量的夹角6一

定是钝角.()

答案(1)X(2)J(3)X

2.做一做

(1)已知。，方为平面向量,a=(4,3),2a+r=(3,18),则。，♦的

夹角e的余弦值等于()

88

A-65B.-65

-1616

C-65D.~65

答案c

解析a=(4,3),2a+b=(3』8),

,工人»ab4X(-5)+3X12

则b=(-5,12),夹角0的余弦值。。$6=区面=5*I

16

(2)(教材改编P107T1)若向量a=(3,m),Z>=(2』)，ab=O,则实

数m的值为.

答案一6

解析由题意可得6+机=0,解得机=-6.

(3)已知a=(l,回♦=(一2,0),则|“+"=.

答案2

解析a+b=(-l,小)，|a+b|=^/(―1)2+(^3)2=2.

卜课堂互动探究

探究1平面向量数量积的坐标表示

例1已知向量。与早同向,5=(1,2),0b=10,求:

(1)向量”的坐标；

(2)若c=(2,—1),求(a,c)也

解⑴与方同向，且，=(1,2),

，4=肪=(2,2A)(A>0).

又二。力=10,.•.2+4410,

.二2=2,.=a=(2,4)・

(2)Va-c=2X2+(-l)X4=0,

(acyb=Ob=O.

［条件探究］若将例1改为。与方反向，6=(1,2),ab=-W,

求：

(1)向量。的坐标；

(2)若c=(2,—1),求(a,c)A.

解⑴♦.［与方反向,且，=(1,2),

...设“=%仇2<0),22),

又。小=一10,.•.2+4%=—10,

「.2=-2,.*.</=(—2,-4).

(2)Va-c=2X(-2)+(-l)X(-4)=-4+4=0,

；.(a,c>b=0,b=0.

拓展提升

数量积坐标运算的两条途径

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性

质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行

数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计

算.

【跟踪训练1】向量a=(l,-1),b=(-l,2),则(2。+6)崎=

()

A.-1B.0

C.1D.2

答案C

解析a=(l,-1),b=(~l,2),；.(2a+ft)-a=(l,0)-(1,-1)=1.

探究2向量的模的问题

例2(1)若向量a=(2x—1,31%),b=(l~x,2x~1),则|“一臼的

最小值为;

(2)若向量。的始点为A(—2,4),终点为3(2,1),求:

①向量G的模；

②与a平行的单位向量的坐标；

③与。垂直的单位向量的坐标.

解析(1):4=(2%—1,3—％),6=(1—%,21—1),

=

：・a—b(2x—1,3—x)—(1—xf2x-1)=(3%-2,4—3%),

/.\a-b\=N(31一2)2+(4-3x)2

=:18。-36%+20

=.18(Liy+2,

二.当％=1时，|a—加取最小值为啦.

-A

(2)@a=AB=(2,1)-(-2,4)=(4,—3),

•**|«|=A/42+(-3)2=5.

②与a平行的单位向量是啮=±|(4,—3),

即坐标为传-D或V，1)

③设与a垂直的单位向量为e=(相，n),则a-e=4机—3〃=0,二.

m_3

n4'

又,.,|e|=l,m2+n2=l.

(3f3

解得r4或r4

n=5〔"=一彳

答案（1）也（2）见解析

拓展提升

求向量的模的两种基本策略

（1）字母表示下的运算：

利用⑷2=层，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.

(2)坐标表示下的运算：

若G=(%,y),则04=/=同2=/+产，于是有⑷=N12+y2.

【跟踪训练2】设x£R,向量“=(%/)，6=(1,-2),且a_L

b,则|a+臼=()

A.y[5B.回

C.2小D.10

答案B

解析由“_1_瓦可得。力=0,即x-2=0,解得％=2,所以。+

8=(3,-1),故|4+团=[32+(—1)2=也.故选B.

探究3向量垂直的坐标表示

例3已知三个点4(2,1),8(3,2),。(一1,4).

—►-►

⑴求证：AB1AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD

两对角线所夹锐角的余弦值.

解⑴证明：[42,1),8(3,2),£)(-1,4),

-A-►

"3=(1,1),AD=(-3,3).

-►—>-A-A

又二■AO=1X(—3)+1X3=0,ABLAD.

—>―►

(2)VAB±AD,四边形A3C。为矩形，

―►-►

：.AB=DC,设C点坐标为(%,y),

则(l,l)=(x+l,y—4).

二.C点坐标为(0,5).

由于AC=(—2,4),3。=(一4,2).

—►—►—►-►

.,.ACBD=8+8=16,\AC\=2y[5,\BD\=2y[5.

―►-►

设AC与的夹角为e,

—►―►

则coseA=CgB^D=^16W4>0,可得AfC与f&)夹角的余弦值为青4

ff2U3□

\AC\\BD\

4

二.矩形两条对角线所夹锐角的余弦值为亍

拓展提升

用向量数量积的坐标表示解决垂直问题

利用坐标表示是把垂直条件代数化.因此判定方法更简捷、运算

更直接，体现了向量问题代数化的思想.

【跟踪训练3】已知在△45C中，A(2,-1),3(3,2),。(一3,

—>

-1),4。为边上的高，求|AQ|与点。的坐标.

—►—►

解设。点坐标为(%,y),则49=(%—2,y+1),BC=(-6,一

3),BD=(x—3,y~2).

在直线3c上，

―►—►—►-►

即3。与3c共线，.•.存在实数2,使

即(%—3,y—2)=2(—6,—3).

x—3=-62,

・V

y-2=-32,

：.x-3=2(y-2-),即％—2y+l=0.①

又；ADLBC,：.ADBC=O,

即(%—2,y+l>(—6,-3)=0.

-6(%—2)—3(y+1)=0.

即2x+y-3=0.②

]%=1,

由①②可得,=]/.D(l,l).

—►

/.|A。尸d(1—2)2+(1+1)2=小,

―►

即以。|=小，点。的坐标为(1,1).

探究4平面向量的夹角问题

例4已知△4BC顶点的坐标分别为A(3,4),5(0,0),C(c,0),

⑴若c=5,求sinA的值;

(2)若NA是钝角，求c的取值范围.

解AB=(-3,-4),AC=(c-3,-4).

(1)若c=5,则AC=(2,-4).

.,/二二\ACA3也

..cosA=cos(AC,AB)-----------=%.

ff5

\AC\\AB\

'：ZA是△ABC的内角，

故sinA=^/l—cos2A-•

(2)若NA为钝角，

则ACAB<0且AC,AB不反向共线.

25

由ACA3<0,得一3匕-3)+16<0,即c>于

显然此时AC,A8不共线，故当NA为钝角时，c>y.

拓展提升

求平面向量夹角的步骤

若u=(x1,yi),b=(xi,>2),

(1)求出a-b=x\X2+y\y2；

(2)求出⑷=山彳+,,\b\=W彳+货;

(3)代入公式：cosO=j^j(。是a与，的夹角).

【跟踪训练4】已知平面向量。=(3,4),Z>=(9,x),c=(4,y),

且a〃b,a_Lc.

(1)求b与c；

(2)若机=2a—b,n=a+c,求向量机，〃的夹角的大小.

角星(l)'：a//b,：.3x=4X9,：.x=12.

'：a±c,.\3X4+4^=0,

「.y=-3,.\b=(9,12),c=(4,一3).

(2)机=2“一方=(6,8)—(9,12)=(—3,-4),

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).

设机，〃的夹角为0,

画A_mri__3X7+(_4){]__25__啦

\m\\n\-^(-3)2+(-4)^^72+12-25^2-2-

V^G[0,兀],竽，即机，〃的夹角为竽

I海龈升I

1.平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题

向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数

化，并将数与形紧密结合起来.本节主要应用有：

(1)求两点间的距离(求向量的模).

(2)求两向量的夹角.

(3)证明两向量垂直.

2.解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以

b

及同步|,再由cos0=j^j而求出COS0,也可由坐标表示COS0=

x\xz+y\y2

'君+W•、城+义直接求出cos。.由三角函数值cos。求角6时，应注意

角。的取值范围是OWOWTT.

(2)由于OWeWir,利用cosO=Lj而来判断角。时一，要注意cos6<0

有两种情况：一是。是钝角，二是。=兀；cos6>0也有两种情况：一

是夕是锐角，二是夕=0.

卜课堂达标自测

1.若。=（2,—3）,b=（x,2x）,且3a/=4,贝I]%等于（）

A.3B.7

C.—gD.13

答案C

解析3a-b—3（2x—6x）=—12x=4,.,.%=一；.故选C.

2.已知向量。=（0,一2小），b=（l,小），则向量a在b方向上

的投影为（）

A.小B.3

C.—y[3D.13

答案D

解析向量a在b方向上的投影为需=。=一3.故选D.

1例2

3.已知Q=(1,2),8=(犬,4),且Q力=10,则|〃一臼=.

答案于

解析由题意，得a•办=X+8=10,...％=2,...a—，=(—1,—2),

\a-b\=y[5.

4.设向量。与〜的夹角为/且。=(3,3),28一“=(—1,1),则

COS0—.

宏安女叵

口木10

解析25—。=25—(3,3)=(—1,1),

A2^=(-1,1)+(3,3)=(2,4),.,.&=(1,2).

abg,»(1:2)__9___3^10

cos〃一丽-732+gS+22-可丁10-

5.已知平面向量a=(l,x),b=(2%+3,-x),%£R.

(1)若。_1力，求％的值；

(2)若a〃办,求|。一Z>|.

解(1)若a±b,

则a-A=(l,%>(2%+3,—%)=1X(2%+3)+%(—%)=0,即JC2—2%

—3=0,解得％=—1或%=3.

(2)若a〃仇则1义(一%)—%(2%+3)=0,

即x(2%+4)=0,解得％=0或%=—2.

当％=0时，a=(l,0),b=(3,0),

a—^=(—2,0),\a~b\=2.

当％=—2时，a=(l,—2),方=(-1,2),

a—b—(2,—4),\a—b\—^/4+16—2y/5.

综上，』一例=2或2小.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.已知⑷=1,8=(0,2),且。0=1,则向量。与b夹角的大小

为()

71-兀

A-6B-4

C.鼻D.

答案C

解析V|a|=l,方=(0,2),且。》=1,

./小ab11

..cos〈a，b)一同向一］义疝才

二.向量a与方夹角的大小为全故选C.

2.已知平面向量a=(2,4),：=(一1,2),若c=a—(a®l,则|c|

等于()

A.4啦B.2^5

C.8D.8也

答案D

解析易得。力=2*(—1)+4*2=6,所以。=(2,4)—6(—1,2)

=(8,-8),所以同=寸82+(—8)2=队/1

3.已知向量a=(小，1),b是不平行于％轴的单位向量，且a0

二5,则6=()

答案B

解析设b=(x,y),其中yWO,则a-A=小%+>=小.由

N+9=i,x=i

即"=&室|.故选B.

y/3x+y=y/3,解得＜小

,yWO,、尸2,

4.已知向量a=(l,2),4=(2,—3),若向量c满足(c+a)〃方，c

_L(a+b),则c等于()

答案D

解析设c=(x,y),则c+a=(l+x,2+y),a+b=(3,-1),由

2(2+y)+3(x+l)=0,

已知可得＜

3%—y=O,

f7

%=一§,

解得j7即c=«，—?

5.已知4-2,1),3(6,-3),5(0,5),则△A3C的形状是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

答案A

解析根据已知，有A3=(8,-4),AC=(2,4),BC=(—6,8),

因为A»AC=8X2+(-4)X4=0,

—►-►

所以4BJ_AC,即N84C=90°.

故△ABC为直角三角形.

二、填空题

6.已知向量。=(1,2),8=(—2,—4),\c\=y[5,若(a+8)・c=|,

则。与C的夹角为.

答案号

解析设c=(x,y),*/«+/>=(-1,—2),

且［0=巾，匕|=小，(a+5>c=|,

/.(—1,—2)-(x,j)=|..\—x—2y=y

.".x~\-2y——2，

设a与c的夹角为0,

.z.acx+2yj_

••cos。—⑷匕「由.后一一亍

2兀

•・・0We<7t,A0=y.

7.已知闷=3,步|=4,且(a+26)1)24,则a与。夹角6的

范围是.

答案［o,I

解析V(a+2ft)-(2a-b)=2a2-ab+4ab-2b2=2X9+

31al网cos(a,b)—2X16

=-14+3X3X4cos{a,b)24,

Acos(a,b)

又..冶=(a,b)G［0,兀］

.\c兀

：.8=〈a,b〉e0,.

8.已知a=(l,3),方=(2+九1),且a与办的夹角为锐角，则实

数2的取值范围是.

答案4>一5且2力一上

解析因a与方的夹角为锐角，则cos(a,b)>0,且cos〈a,

b)Wl,即。•方=2+2+3>0,且bWZra,则力>—5且2W—七.

三'解答题

9.已知A(l,2),8(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四

边形的形状.

­►-►

解因为48=(4,0)—(1,2)=(3,-2),DC=(8,6)-(5,8)=(3,一

2),

—►—►

所以4B=QC,所以四边形ABC。是平行四边形.

-►

因为4。=(5,8)—(1,2)=(4,6),

—►—►

所以ABAQ=3X4+(—2)X6=0,

—►—■►

所以A8LAQ,所以四边形A3CO是矩形.

-►—A—►—►

因为|45|=回，|AQ|=2，H,\AB\^\AD\,

所以四边形A3CZ)不是正方形.

综上，四边形48CQ是矩形.

10.设平面向量a=(cosa,sina)(0Wa<2兀)，b——坐)，且。

与力不共线.

(1)求证：向量a+)与。一8垂直；

(2)若两个向量小a+5与a~\13b的模相等，求角a.

解(1)证明：由题意，知a+》=，osa—sina+空a-b=

(,1,血

|cosa十sina—N

13

V(a+Z>)-(a—Z>)=cos2a—4+sin2«—4=0,

(a+A)J_(a—b).

(2)|a|=l,\b\=l,

由题意知(小a+A)?=(a—事b¥，

1、区

化简得a•方=0,—2cosa+sinct_0,

..tana—3.

JI7兀

0Wav2ji,・・仪=5或♦==6.

B级：能力提升练

1.如图，在矩形ABC