高中数学必修5 第一章 解三角形(A卷)

高中数学必修5第一章解三角形（A卷）试卷

一、选择题（共17题；共51分）

1.在锐角△一矮。中，角48所对的边长分别为a、b.若2asinB=V?b,则角A等于（）

71

A.一

12

71

B.—

6

71

c.一

4

71

D.—

3

【答案】D

【考点】正弦定理

【解析】由正弦定理得,

sinAsinB'

sin4=—.又△as。是锐角三角形，•.・H=2.

23

江

2•在中，/48。=二，AB=yj2,BC=3,则sinNBAC等于（）

【答案】C

【考点】正弦定理，余弦定理

第1页共18页

【解析】在△as。中，由余弦定理得

AC2=BA2+BC2~IBABCcosZ.ABC

=（V2）2+32-2X72x3cos—=5.

Be4C

AC=0r，由正弦定理-------------=--------------

sinZ-BACsin/一曲C

3.在△a3C中，已知一4=J5.C，z8=30°,则NA等于（）

A.45°

B.15°

C.45°或135°

D.15。或105°

【答案】D

【考点】正弦定理

【解析】•-=y/2AC，Z8=30。，

ABAC

由正弦定理------=-------,

sinCsinB

JC

-sinC,.lg-sin^_^2

CACACT-

.,.由CW（0,150°）,可得C=45。或135。，

A=180--B-C=105°或15。.故选D.

4.在中，A,8,C的对边分别为a,b,c,a:b:c=3:3:5,则4sm一1-5111々等于（）

sinC

1

A.一一

5

7

B.——

3

3

c.

第2页共18页

D.不是常数

【答案】C

【考点】正弦定理

33

2sin.4-sinB2a-blab2X-故选c

【解析】根据正弦定理，------------------=--------=--------55-

sinCcc

5.已知钝角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是（）

A.l<x<5

B.亚VX<

c1<x<括或<A<5

D.l<x<亚

【答案】C

【考点】余弦定理

3<X<2+35

【解析】当为最大边时,

x.、r、''<X<

广>2,+3二

3-2<x<3.

当3为最大边时，」，，

3*>广+2\

--3

l<x<.

；.x的取值范围是i<工<Jg或<V<5

6.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为

30°,45°,且48两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为（）

A.(30+30V3)m

B.(3O+150)m

c.(15+30』)m

D(15+15J3)m

【答案】A

第3页共18页

【考点】正弦定理,解斜三角形应用举例

【解析】在△上15中，NPAB=30°,ZAPB=15°,AB=60,

sin15°=sin(45°—30°)=sin45°cos30°—cos45°sin30°

24

PB.IB

由正弦定理，得--------

sin30ssin15°

1x60

所以尸3=-i——产=30(>/6+72).

-4-

s

所以建筑物的高度为pgsin45=30(76+J5)x坐=(30+30-)

7.在△aS。中，角A，B,C所对的边分别是a,b,c,并且。=1,b=出,4=30。，则c的值为（）

A.2

B.1

C.1或2

D.或2

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,

即l=3+c2—3c,解得c=l或2.

8.已知△aBC的周长为、/区+1，且sinA+sin8=J^sinC.若△<3。的面积为sinC,则角C的

6

大小为（）

A.3O°

B.6O°

C.90°

D.120°

【答案】B

【考点】正弦定理，余弦定理

|a+b+c=0+1.

【解析】由己知条件可得

|4+6="Jlc,

第4页共18页

c+c=+1>c=1,

>/2V2•,-a+仁鱼，

~311

由二角形的面积得一absinC——sinC,

26

1

••ab---.

3

a2+b2-c2(n+Z)):-lab-c:

cosC=------------------------=--------------------------------------

lablab

：.C=60°.

9.设△_T3。的内角A，B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则八ARC"的形状

为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】B

【考点】正弦定理，判断三角形形状

【解析】因为bcosC+ccos8=asinA,所以sin8cosc+sinCcosB=sinAsinA,又sin8cosc+sinCcosB=sin(8+C)

,~.

=sinA.联立两式得sinA=sinAsinA.由于AW(0,n),sinAwO,所以sinA=l,H=—.选B.

7

1°•在△一LSC中，已知AB=7,BC=5,AC=6,则万•比等于()

A.19

B.-14

C.-18

D.-19

【答案】D

【考点】余弦定理，解三角形综合应用

【解析】AABC三边分别为a,b,c,则。=5,b=6,c=7,

n25+49-3619

cosB--------------------------=—>

2x5x735

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设向量方与前的夹角为a,则cosa=一^：

.二万.丽W丽南cosa=7x5x(T)=-19一

11•在△H3C中，〃十”一「二”，sinJ-sin5=-，则△.必。一定是()

(i+b—c4

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】A

【考点】正弦定理，余弦定理，判断三角形形状

,i3_3

【解析】由-_____-____--=c，^a3+b3—c3=(a+b—c)c2^a3+b3—c2(a+b)=0=^a+b)(a2+b2—ab-c2)

a+b-c

=0.

o+b>0,

o2+b2—c2—Qb=0.(l),由余弦定理⑴式可化为

a2+b2^(a2+b2-2abcosC)—ab=0,

得COSC=一，C—60°.

abc

由正弦定理------=-------=---------

sinAsinBsin60-

.“sin6CT.bsin6CT

得sinA=------------sinz?=-------------

cc

222

sinT-sinB="b(sin、60);三,.../_=】,ab=c,将ab=c2代入⑴式得，a+t—

14

20b=0,

222

即(a—b)2=0,a=b.又：ab=c,/.a=cfc=a=b,

・•.△ABC是等边三角形.

12.在△aSC中，已知A：8=1:2,NACB的平分线CD把三角形分成面积为3:2的两部分，则cosA

等于()

1

A.一

3

1

B.一

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c.—

4

D.O

【答案】C

【考点】正弦定理,解斜三角形应用举例

【解析】如图，=-=—,

S：,Rrn2DB

设AD=3k,BD=2k(k>0),Z1=Z2,B=2A,

ACD3k三

在△HBC中，由正弦定理得-----——①

CD2k

在△ABCD中，由正弦定理得-----

sin3sinZ2sinZl

即CD②，

2sinJcossin/I

由①②得，2cosJ=—>即cos.4=—

4

13.在△<3C中，a=15,fa=10,4=60。，则cosB等于（）

A一些

B2/

c._k

D.1

【答案】D

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【考点】正弦定理

ab1510

【解析】由正弦定理得----------------即----------=-------

sinAsin5sin60'sin5

b<o,B<A,故角B为锐角，；.cosB=—sin~B=----'故选D.

14.已知三角形的三边长分别为a,b,+，则三角形的最大内角是（）

A.1350

B.12O。

C.60°

D.90°

【答案】B

【考点】余弦定理

【解析］《a,+a/+6"2+a/+b'

则长为八］+的边所对的角最大•

“4十—工田+b*—(a，+6,+ab)

由余弦定理，得cosa=--------------------

lab

所以三角形的最大内角是120°.

15.若△a3C’的三边分别为a，b,c,且满足b2=ac，2b=a+c,则此三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】D

【考点】判断三角形形状

【解析】:2b=a+c,442=（o+c）2,

又「b2=ac,（a—c）2=0..*.a=c.

2b=a+c=2a..\b=a,BPa=b=c.

故此三角形为等边三角形.

16.如图所示，当甲船位于Z处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船

立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30。相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东（9+30。）

角的方向沿直线前往B处营救，则sim5的值为（）

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4『去

“

叵

7

A立

2

立

BC.

2

》

"

14

【答案】A

【考点】正弦定理，余弦定理,解斜三角形应用举例

【解析】在△一耳C中，AC=10海里，

AB=20海里，NCAB=120。.根据余弦定理得

BC2=AC2+AB2-2ACAB-COS^CAB=100+400+200=700,

5C=loV7海里•

BCAB

根据正弦定理得

sinZC15sinAACB

17.已知a,b,c分别为三个内角A，B,C的对边，若a=2,c=asinC—ccosA且△_T3C'

的面积为贝Ua,b,c的值分别为（）

A.b=c=2

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B.b=G=20

c.b=3：c=4

【答案】A

【考点】解三角形综合应用

【解析】的面积S=WbcsinU=J5

故bc=4,

而a2=b2+c2—2bccosA,

故按+C2=8,解得b=c=2.

二、解答题(共5题；共49分)

18.在△-45c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA—，^sinA)cos8=0.

⑴.则角8的大小()

A.—

6

7T

B.—

4

7T

c.—

3

71

D.—

■>

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】由题意得

—cos(/A4-B)+(cos/A—^3sinXl)cosB=0,

sinAsinB-J^siMcos8=0,

sirb4(sin8—^/^cos8)=0.

5=0,

•「sin/UO,/.sinB—^3COS

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l7T

即tan8=弋3，，>8=—.

(2).若a+c=l,则b的取值范围为()

A.5>1

7

c.b>1

D.3<1

【答案】B

【考点】余弦定理

【解析】由余弦定理得b2=02+c2-2GCCOS8.

1

・「

a+c=l9cosB=—,

b2=3(a~—)2+—.

24

1

又0<a<l,—<b2<l,

4

1

—<b<l.

19.在△4RC中，已知------=----------------,且cos(4—8)+cosC=l—cos2c.

asin5—sinA

⑴厕AABC的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】B

【考点】正弦定理，判断三角形形状

a+b_sin3

【解析】；

asin5-sinA

a+bb

----------,b2-a2=ab.

b-a

■/cos(4—B)+cosC=l—cos2C,

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cos(4—8)—cos(A+B)=2sin2C.

/.cosAcosB+s\nAs\nB-cosAcosB+s\nAs\nB=2s\n2C.

2sin/4sinB=2sin2C.

sin4sinB=sin2c.

ab=c2-'.b2—a2=c2,

即a2+c2=b2.

・•.△ABC为直角三角形.

a+c

⑵.则------的取值范围为()

b

A(0：在)

B(0/]

c(L0]

DC

【答案】c

【考点】正弦定理，判断三角形形状

【解析】由⑴知△asc中，B=4,

7T

A+C=—，sinC=cos4.

a+csinJ+sinC

bsin3

sinH+sinC

=.JT=sinA+cos4

sin—7

a+C-Wsin(J+—)•

b4

TVR.R3H

•'0<A<―,•••-*.T+-•二---.

2444

•■<sin(J+—)1-

24

•.1<V2sin(J+-)-:；V2，

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QIC

即的取值范围为（L冉

b

7T

20.如图，△ABC中，B=—,BC=2,点。在边AB上，AD=DCDE_LAC,E为垂足.

o

⑴.若△BCD的面积为贵则CD的长为（）

c2J10；回

D2710-273

【答案】B

【考点】余弦定理,解斜三角形应用举例

【解析】由题意得S_BCD=

ZT

又BC=2,sinB=7」.得BD=二

由余弦定理得CD=ylBC:~BD:-IBCBDcosB

")尸

+(―)*-2x2x—cosB=-——

、3’33

后

所以边CD的长为.

第13页共18页

(2).若DE=,则角A的大小为(

7F

A.—

6

7T

B.—

4

7T

c.—

7T

D.—

【答案】B

【考点】正弦定理,解斜三角形应用举例

【解析】方法一因为CD=AD="DE

sinA2sinA

BCCD

由正弦定理-------------=-------BDC=2A,

sinZ.BDCsinB

得V6

sin2J2sinJsin60'

解得cosA=____,A=—.

24

，丁

所以角A的大小为一.

4

2AE

方法二由正弦定理得------=-------

sinAsinB

得AE-s'mA=s\nB=

DE

又----=tanA=

AE

贝ljAE-s\nA=DEcosA=

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得cosA=_Z.,A=一.

24

，丁

所以角A的大小为一.

4

21.如图所示，为了测量对岸地面上48两点间的距离,某人在河岸边上选取了c,。两点，使得CDLA8,

JI3

且C0=500m,现测得NBCD=a,ZBDC=6,ZACD=—,其中cosa=——,tan6=2.参考数据：

35

-73^1.732.

____立

CD

(l).sinzCBD的值为()

B正

【答案】A

【考点】解斜三角形应用举例

【解析】:cosa=三，a为锐角,4

sina=­.

/tan0=2,6为锐角,

1

sinZCBD=sin(a+6)=sinacos6+cosasin6=

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（2）.48两点间的距离约为（)

A.IOOm

B.120m

C.200m

D.220m

【答案】B

【考点】解斜三角形应用举例

BC_CD

【解析】在△BCD中，由

sin(3sinNCBD

CD2^00

BC=sin0————=1x=500(m)

sinZC8D在独

♦

口"、道31436-4

sin/ACB=Sin(_一夕)=—x——一X一

J—110

由AB1.CD,NACD=—,得4=—.

36

BC

在△_必。中，由------------

sin/HCBsinA

"BC_3遣-4、500

得AB=sm10-丁=3004一400.

故A,B两点间的距离约为120m.

h]

22.已知函数/（x）=7-sin2x-cos2x--,xER.

⑴.当：vw[0：用时，则函数/（X）的单调增区间为（）

A[0：＜]

3

5/T、

Br[―=

o

“0,令U件㈤