高中数学高中数学单元试卷：第4章 圆与方程(03)(含解析)

高中数学高中数学单元试卷：第4章圆与方程（03）

一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）

1.若函数科:磁=-3靖’的图象在窜，=脆处的切线事与圆烈：•/也/=1相离，则点置盛麴与圆C

点

的位置关系是（）

A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定

2.已知圆/+y2="在曲线团+|川=4的内部，则半径「的范围是（）

A.0<r<2B.0<r<V2C.0<r<2>/2D.0<r<4

3.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆2>+于=i都相切，则双曲

线C的离心率是（）

A.6或乎B.2或6C.管或2D.等或手

4.点尸是圆C：（x-3尸+（y+4>=4上的动点，点。为坐标原点，则|OP|的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

5.已知曲线Ci：/+y?_4y+3=0与y轴交于A,8两点，P为C2：x-y-1=0上任意一点，

则|P*+|PB|的最小值为（）

A.2B.2V5C.2V2D.4

6.已知P（x,y）是直线融针朴般#可=顺柒静唠上一动点，PA,PB是圆C：:守一颗=电的两条切

线，A、B是切点,若四边形PAC3的最小面积是2,则覆的值为

A.3B.-C.2内D.2

兽

7.设机，〃为正实数，若直线（巾+1）芯+5+1万—4=0与圆好+、一24%-4）/+4=0相切，则

mn（）

A.有最小值1+低，无最大值

B.有最小值3-2低，最大值3+2在

C.有最大值3+2V2,无最小值

D.有最小值3+2低，无最大值

8.在平面直角坐标系xOy中，以点（0,1）为圆心，且与直线mx+y-27n=0（TH6R）相切的所有圆

中，半径最大的圆的标准方程是（）

A.x2+(y—I)2=5B.x2+(y+I)2=5

C.%2+(y-l)2=4D.x2+(y-l)2=1

9.已知直线/：y=/c(x-l),圆C：(x-l)2+y2=r2(r>。)，有下列四个命题：

Pi：v/ce/?,/与c相交；p2：mkeR,/与c相切；

p3：Vr>0,/与C相交；p4：3r>0,/与C相切.

其中的真命题为()

A.Pi，p3B.Pi，p4C.p2>p3D.P2，P4

10.己知直线x+y-2a=0与圆心为C的圆0—1)2+0—(1)2=4相交于4,B两点，且△ABC为

等边三角形，则实数。=()

A.4+VT5B.i-C.1或7D.1+V6

11.”(>0，%)为圆％2+丫2=(12外一点，则直线工70+丫.氏=£12与该圆的位置关系为()

A.相切B.相离C.相交D.相切或相离

12.圆叫：觌:署胃尸#[蝉#河产=魁与圆竭::解:一砥产逑一骞*=蟒的位置关系是()

A.外离B.外切C.相交D.内含

13.已知4(2,1),8(-1,b),\AB\=5,则b=()

A.-3B.5C.-3或5D.-3或一1

14.已知两点做一1,0),8(0,2),点P是圆Q-l)2+y2=1上任一点，则△P4B面积的最大值是()

A.—B.—C.2D.—

222

15.双曲线C：总一、=1(。>0/>0)的右焦点产是圆/+丫2一4%+3=0的圆心，且C的渐近

线与该圆相切，则双曲线的标准方程为()

A.x2-y2=1B.-~-=1C.~~y2=1D.x2-=1

/223J3

16.若圆—+>2+2X—4y+1=0关于直线2ax—by+2=0(a、b£R)对称，则ab的取值范围是

()

A.(-co,1]B.(0,—]C.(--,0)D.(-co,-)

二、单空题(本大题共9小题，共45.0分)

嵬:=松果北

17.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系立方中，已知曲线端：bQ4,（为参数）与曲线

7=a-窝

C.：用一:「二，（窗为参数）相交于两个点扇、曦，则线段盘潮的长为T

~、，.=管的窗

18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M+y2=5上有且仅有三个点到直线i2x-5y+c=0的距

离为1,则实数c的值是.

19.若圆C经过坐标原点和点（6,0）,且与直线y=9相切，则圆C的标准方程为.

20.己知圆C和y轴相切，圆心在x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2夕，则圆C的方程

为.

21.已知圆O：/+/=4和圆o外一点「（与，治），过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,

且"0B=120。,若点C（6,0）和点P满足P。="C,贝版的范围是.

22.设直线系M:xcos。+（y-2）sin。=1（0W。＜2兀），对于下列四个命题：

A.M中所有直线均经过一个定点

8.存在定点P不在M中的任一条直线上

C.对于任意整数n（nN3）,存在正〃边形，其所有边均在例中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）.

23.如图，过抛物线然=q期焦点的直线依次交抛物线与圆或开斛-^=3,于

点A、B、C、D,则瀛E丽的值是

24.已知圆C：(x-I)?+(y—27=25,直线/：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,则/被圆

C截得的最短弦长为.

25.如图所示，AB、AC是。。的两条切线，切点分别为8、C,。是优

弧妹上的点，若NBAC=80。，那么NBDC=.

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

26.已知圆C：%2+y2—%+2y=0和直线/：%—y+l=0

（1）试判断直线/与圆C之间的位置关系，并证明你的判断;

(2)求与圆C关于直线/对称的圆的方程.

27.过原点作函数y=，2x-1图象的切线/.

(1)求切线/的方程；

(2)动点M到直线/的距离与到x轴的距离相等，求动点M的轨迹方程.

28.已知过点做一1,0)的动直线/与圆C：%2+(y-3产=4相交于P、Q两点,/与直线〃?：x+3y+6=

0相交于N.

(1)当/与机垂直时，求直线/的方程，并判断圆心C与直线/的位置关系；

(2)当|PQ|=275时,求直线/的方程.

29.某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300Q*处，以40/cm"的速度向北偏西60。方向移

动.据测定，距台风中心250火山的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响

的持续时间.

30.已知：团01与国。2外切于点P,MN为两圆外公切线C点M在团。1上，点N在团。2上)，过点P作

直线分别与回。1与团。2交于点A,B,直线AM与BN相交于点C.过点A作回。2的切线AD(D为切

点).

求证：

△力BC为直角三角形.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：试题分析:•.•舞呼=-g靖J鹿瑜=一：蜻在x=0处切线斜率为舞励=一：/=-*'，

题M1题凝

二切线/为y-卜3=-¥'•&：,即ax+by+1=,"与圆鹭：：•£皆/=工相离，>21,.,•

勒悬,4领r淅

睛张献,《力，；•点尸(a»)在圆婢#,产=工的内部，故选2

考点：本题考查了导数的运用及直线与圆的位置关系

点评：,黄磁在需=/处导数贯'◎球即为,翼感所表示曲线在需=/处切线的斜率，即超=算燃球,

则切线方程为：解—舞殊，"国即-琼

2.答案：C

解析：解：作出曲线IM+1训=4对应的图象如图：

但％>0,y>0时，曲线对应的方程为x+y-4=0,

若圆％2+y2=「2在曲线团+\y\=4的内部，

则圆心到直线的距离d=%>r,

即r<2V2.

故0<r<2V2,

故选：C

作出曲线|x|+|y|=4对应的图象,利用圆心到直线的距

离d与半径之间的关系进行判断即可.

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键.

3.答案：C

解析：解：设双曲线C的渐近线方程为丫=/^,是圆的切线得：

VPTT-

■■k=±y,

得双曲线的一条渐近线的方程为y=fx,

・•・焦点在x、y轴上两种情况讨论:

①当焦点在x轴上时有：-=Ae=、W=吗

Ja3a33

②当焦点在y轴上时有：”乎，e=-==2；

D3a73

•••求得双曲线的离心率言或2.

故选：C.

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在X、)，轴上两种情况讨论，进而求得

双曲线的离心率.

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数

形结合思想.解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立

等式，从而解出双曲线的离心率的值.此题易忽视两解得出错误答案.

4.答案：C

解析：解：圆C(%-3)2+(y+4)2=4的圆心坐标为C(3,-4),半径为「=2,则

•••点0为坐标原点，

二|0P|的最大值为|0C|+r=5+2=7.

故选：C.

求出圆心与半径，即可求出|0P|的最大值.

本题考查圆的方程，考查|0P|的最大值，正确利用圆的图形的特殊性是关键.

5.答案：B

解析：解：由C"x2+y2-4y+3=0,得x?+(y-2产=1,

取x-0,解得y-1或y-3.

不妨设4(0,1),不0,3),

如图，

设力(0,1)关于直线x-y-l=0的对称点为C(m,n),

包_四_1=0

则偿12，解得TH=2,n=-1.

—=—1

m

・・・。(2,一1).

则伊川+|PB|的最小值为|BC|=J(2-0)2+(—1-3尸=2V5.

故选：B.

化圆的方程为标准方程，画出图形，找A关于直线的对称点，再由两点间的距离公式求解.

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题.

6.答案：D

解析：试题分析：根据题意，由于P(x,y)是直线融针也般朴鞭患冲■上一动点，PA,PB是圆c

/鲁壁=电的两条切线，4、B是切点,那么可由切线长定理，以及四边形P4CB的最小面积

即为圆心到点尸的距离的最小时得到，那么根据点到直线的距离公式可知，d=

1.可知斜率k=1,故答案为D.

考点：直线与圆的位置关系

点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

7.答案：D

解析：解：圆/+y-24x-4y+4=0可化为(x-2)2+(y-2)2=22,故其圆心为(2,2),半径r=2,

因为直线(m+1)%+5+1万-4=。与圆/+y-24x-4y+4=0相切，

所以2=।靠'；；；黑若川,即|m+n|=J(m+1)2+(n+1)2,

整理得1)=2,

m+n=mn—1>2y/mn>

■■■>/mn>V2+1>

mn>3+2-\/2>

故选：D.

根据直线(m+l)x+(n+l)y-4=。与圆/+y-24x-4y+4=0相切，得到(m-l)(n-1)=2,

然后借助于基本不等式求解即可.

本题借助基本不等式考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

8.答案：A

解析：

本题考查圆的标准方程，考查了数形结合的解题思想方法，属于简单题.I

由题意画出图形，得到以点(2,1)为圆心且与直线mx+y—2m=0(m6R)相\-1io?

切的所有圆的半径的最大值，则答案可求.

解：如图，直线?nx+y-2m=0,变形可得m(x-2)+y=0,过定点(2,0),

则以点(0,1)为圆心且与直线mx+y-27n=0(meR)相切的所有圆中，半径r的最大值为田G=

V5,

则半径最大的圆的标准方程为好+(y-1)2=5.

故选：A.

9.答案：A

解析：解：直线/：y=fc(x-1),圆C：(x—1产+*=r2。>o),

可得直线/经过定点(1,0),为圆C的圆心.有下列四个命题：

Pl：V/cGR,/与C相交，是真命题；p2-mk€R,/与C相切，是假命题；

：

p3：Vr>0,/与C相交，是真命题；p43r>0,/与C相切，是假命题.

其中的真命题为Pi，p3.

故选：A.

直线/：y=k(x-1),圆C：(x-1)2+y2=r2(r>0),可得直线/经过定点(1,0),为圆C的圆心.即

可判断出下列四个命题的真假.

本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

10.答案：D

解析：

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据AABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解

决本题的关键.

根据A/IBC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为,，根据点到直线的距离公式即可得到结论.

解：圆(％-1)2+(y-a)2=4的圆心C(l,a),半径R=2,

•••直线和圆相交，AABC为等边三角形，

二圆心到直线的距离为Rsin60。=6，

即d=k辿=V3,

V2

解得Q=1±V6,

故选：D.

11.答案：C

解析：解：丫MO。,%)为圆/+y2=外一点，

­•xl+y^>a2.

圆心(0,0)到直线x•q+y•%=M的距离d=1==<^=1°1,

•・・直线x•%+y•%=a?与该圆的位置关系为相交.

故选：C.

由题意可得蜉+环>。2,再求出圆心到直线的距离，与半径比较大小得结论.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是中档题.

12.答案：C

解析：试题分析：两圆的位置关系判定方法是利用圆心距与两圆半径和差间的关系来判定：圆/、

圆明的半径分别为瀛川,则哪&海虎外岁:诗两圆外离，线网=盛中铲:=两圆外切，

悻-+:蝌阿愚小”玲两圆相交，臂糜=快一可斗两圆内切，蝌网Y隧-琲=两圆内含.

考点：两圆的位置关系.

13.答案：C

解析：解：由题意可得|4B|=y(2+I)2+(1—b)2=5,

平方化简可得炉-2b-15=0,即(6+3)(6-5)=0,

解得b=-3,或b=5,

故选C

由题意可得|4B|=J(2+l)2+(l—b)2=5,化简可得炉一2b-15=0,解之即可.

本题考查两点间的距离公式，涉及一元二次方程的求解，属基础题.

14.答案：D

解析：解：直线的方程为：5+卷=1,化为2x—y+2=0.

.•.圆(x-1尸+y2=1的圆心C(l,0)到直线的距离d=邑警=述.

二圆(X—1)2+y2=1上任一点p到直线AB的最大距离h=d+r=誓+1.

/MB面积的最大值=^\AB\-h=^x41+22X(¥+1)=芋.

故选：D.

直线AB的方程为：zi+f=1,化为2x-y+2=0,求出圆。-1)2+必=1的圆心(:(1,0)到直线的

距离d.可得圆1)2+必=1上任一点P到直线AB的最大距离h=d+r.即可得出APAB面积的最

大值=与48|力.

本题考查了点与圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与

计算能力，属于基础题.

15.答案:C

解析：解：圆C：/+y2一4%+3=0的圆心为(2,0),半径为1,

即有F(2,0),即c=2,即。2+炉=4,

双曲线的渐近线方程为y=±；x,

由直线和圆相切的条件，可得：

熹=1,解得b=l,a=V3,

可得双曲线的标准方程为：y-y2=1.

故选：C.

求得圆C的圆心和半径，可得c=2,即。2+炉=4,求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切

的条件：d=r,解得b=l,a=®即可得到双曲线的方程.

本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r,同时考查双曲线的渐近线方

程的运用，属于中档题.

16.答案：D

解析：解：把圆的方程化为标准方程得：Q+l)2+(y-2)2=4,

•••圆心坐标为(―1,2),半径r=2,

根据题意可知：圆心在已知直线2ax—by+2=0上，

把圆心坐标代入直线方程得：—2a—2b+2=0,即b=1—a,

则设m=ab=a(l—a)=—a2+a,

••・当a=；时，m有最大值,最大值为;，即时的最大值为:,

则外的取值范围是(-8,J

故选。.

17.答案：4

解析：试题分析：根据题意，直线过点(2,1),斜率为-2,,直线方程为2x+y-5=0,同时圆的

方程为£也屋=哪，那么可以利用圆心到直线的距离来求解得到为成=点匕=道，那么圆的半

径为3,则可知相交的弦长为4,故可知答案为4.

考点：直线与圆的相交弦长

点评：解决的关键是根据直线参数方程中f的几何意义来求解，属于基础题。

18.答案：±13(V5-1)

解析：

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，属于基础题.

由题意画出图形,把圆/+y2=5上有且仅有三个点到直线12x-5y+c=。的距离为1转化为原点

到直线12x-5y+c=0的距离为遥-1,再由点到直线的距离公式得答案.

解：如图,

由题意可知，原点到直线12x—5y+c=0的距离为亦一1,

由点到直线的距离公式可得：”")2=遮一1，

:.c—±13(遥-1).

故答案为：士13(而-1).

19.答案：(x-3)2+(y-4)2=25

解析：解：根据题意，设要求圆的圆心C坐标为(a,b),半径为r,

则其标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2,

圆C经过坐标原点和点(6,0),则有&2+炉=八，①，

(6-a)2+b2=r2,②，

又由圆C与直线y=9相切，Rijr=|9-b|,③，

a=3

联立①、②、③可得b=4,

T=5

故圆C的标准方程为：3)2+3-4)2=25,

故答案为：(x-3)2+(y-4)2=25.

根据题意,设圆心的圆心C坐标为(a,b),半径为r,结合题意可得a?+炉=产，①,(6-。)2+炉=N,

②，r=|6—用，③，联立三式解可得a、b、r的值，代入圆的标准方程即可得答案.

本题考查圆的标准方程的求法，注意先设出圆心坐标与半径，可得其标准方程，进而用待定系数法

分析.

20.答案：0-3)2+(y-I)2=9或(X+3)2+(y+I)2=9

解析：

由圆心在x—3y=0上可设圆心M(3b,b),知圆C和〉轴相切可设半径R=3|b|,由圆被直线y=x截

得的弦长为277,根据圆的性质可得，7+2。2=9炉，从而可求答案.

本题主要考查了利用圆的性质求解圆的方程，解题的关键是由圆被直线y=x截得的弦长为277,圆

心到直线的距离为d=也闻得7+2b2=9b2.

解：由圆心在x-3y=0上可设圆心M(3b,b),

知圆C和y轴相切可设半径R=3\b\,

圆被直线y=x截得的弦长为2b，

圆心到直线的距离为d=&|b|，

根据圆的性质可得，7+2b2=9b2,

:.b2=1

当b=l,圆的方程为：(X-3)2+(y-I)2=9;

b=-l时，圆的方程为：(x+3)2+(y+l)2=9.

故答案为：(x-3产+(y—1尸=9或(x+3)2+(y+I)2=9.

21.答案：专2]

解析：

本题考查直线和圆的位置关系，主要考查直线和圆相切的条件，以及圆的性质和两点的距离公式的

运用，属于中档题.

由对称性可知，动点尸轨迹一定是圆心在原点的圆，求出|0P|即可得到点尸的轨迹方程，再由两点

的距离公式，化简整理可得4=照=五%,由-4WmW4,即可得到所求范围.

|iU|VJ"I

解：由题意可得，A,O,B,尸四点共圆，且圆的直径为OP,

vZ.AOB=120°,PA,P8为圆的切线,

・•・Z.AOP=60°,

v\OA\=2,Z,OAP=90°,

・•・|OP|=4.

・•・点P的轨迹方程为+y2=16,

设尸的坐标为(科九)，则/n2+n2=i6,且一44机44,

则\PO\=Vm24-n2=4,|PC|=y/(rn-6)2+n2=V52-12m

|PO|_2

由题意可得4=\PC\—>/13-3mf

7

由一44?n<4,可得Ae[g,2].

故答案为：[|,2].

22.答案：B、C

解析：因为xcos。+(y-2)sin0=1,所以点P(0,2)到M中每条直线的距离

=1即M为圆C：/(y-2/=1的全体切线组成的集合，从而M中存在

Jcos「9+sin*8+

两条平行直线，所以A错误;又因为(0,2)点不在M的任何直线上，所以B正确;对任意nN3,存在正

〃边形使其内切圆为圆C,故C正确中的边能组成两个大小不同的正三角形ABC和4E几故。错

误.故命题中正确的序号是8,C.

23.答案：1

解析：试题分析：当直线过焦点/且垂直于x轴时，|4D|=2p=4,|BC|=2r=2,由抛物线与圆

的对称性知：\AB\=\CD\=1,所以|AB||CD|=1.解：由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x

轴时，|4。|=2p=4,\BC\=2r=2,由抛物线与圆的对称性知：\AB\=\CD\=1,所以|AB|•|CD|=

1;故答案为1.

考点：抛物线与圆

点评：本题以抛物线与圆为载体，考查圆的性质和应用，解题时恰当地选取取特殊值，能够有效地

简化运算。

24.答案：4>/5

解析：

本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，属于基础题.

由于直线过定点M(3,l),点M在圆C：(x-l)2+(y—2)2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最

短时，CM垂直于直线/,即可得出结论.

解：直线/：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0即(x+y—4)+m(2x+y-7)=0,过定点M(3,1),

由于点M在圆C：(x-1/+(y-2产=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直

线/,|CM|二J(3-1)2+(1_2.=V5

/被圆C截得的最短弦长为2,25-5=4娓,

故答案为：4V5-

25.答案:50°

解析：连接08、OC,

：.Z.BOC=180°-Z.BAC=100°,

:•乙BDC=工乙BOC=50°.

26.答案：解：(1)直线/与圆C的位置关系是相离.“(1分)

由+y2_%+2y=0即(X-1)2+(y+l)2="得,

圆心呜-1),半径一苧…(3分)

圆心到直线/：x-y+l=0的距离d=交券=2>r...(4分)

\f241

即直线/与圆C相离…(5分)

(2)设圆心C关于直线/的对称点为C'(x,y)

则C,C，的中点(甘军)在直线/上，且CC'11...(6分)

伊一匚+1=0

・"迄_j…。分)，解得％=-2,y=|,即对称圆的圆心为C'(—2》..(9分)

v4-

对称圆的半径r=手，方程为(x+2>+(y-|)2=;…(10分)

解析：(1)求出圆心与直线的距离与半径比较，即可得出结论；

(2)求出圆心C关于直线/的对称点，即可求与圆C关于直线/对称的圆的方程.

本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

27.答案：解：(1)设切线/方程为:y=>0),代入方程y=化为：k2x2-2x+1=0,

令△=4—4k2=0,解得k=1.

・•・切线/的方程为：y=x.

(2)设动点M(x,y),由题意可得：啥=|y|，

V2

两边平方整理可得：x2-2xy-y2=0,

解得：(1±/)尤+丫=0.

•••动点M的轨迹方程为两条直线：(1±V2)x+y=0.

解析:⑴设切线/方程为:y=kx(k>0),代入方程丫=々7=1，化为：卜2/-2尤+1=0,令4=0,

解得k,即可得出.

(2)设动点M(x,y),由题意可得：*=|y|,化简整理即可得出.

VN

本题考查了直线与抛物线相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

28.答案：解：(1)因为/与川垂直，直线，”的一个法向量为