第2讲 集合间的基本关系-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

第二讲集合间的基本关系

教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向

1.子集的概念数学抽象水平1水平11.理解集合之间的包含

与相等的含义，能写出

【考查内容】集合间关系

2.空集的意义数学抽象水平1水平2给定集合的子集。

的判断，有限集的子集个

2.正确区分“£”和数与写出子集;利用集合

3.集合的图示法数学直观水平1水平2

“1”，掌握它们的区间关系求参数。

别与联系。理解空集的

【考查题型】选择题、填

含义与在解题中的应

空题

用。

4.子集的性质数学运算水平2水平2

【分值情况】5分

3.掌握子集的性质并能

知识通关

知识点1子集的相关概念

(1)Venn图

①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的

方法叫做图示法.

②适用范围：元素个数较少的集合.

③使用方法：把元素写在封闭曲线的内,部.

(2)子集、真子集、集合相等的概念

①子集的概念

文字语言符号语言图形语言

集合A中任意一个元素都是集合8中的元素，就

AQ3(或

说这两个集合有包含关系，称集合4是集合8的

子集

②集合相等

如果集合4是集合6的子集(/£坊，且集合6是集合力的子集(任⑷，此时，集合｛与集合6中的，元

素是一样的，因此，集合4与集合6相等，记作4=2

③真子集的概念

定义符号表示图形表示

如果集合/U6,但存在元素xe6,且\

真子集AUB或BYA)

xiA,称集合】是集合6的真子集

④空集

定义：不含任何元素.的集合叫做空集.

用符号表示为：。.

规定：空集是任何集合的子集.

知识点2集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即/UA.

(2)对于集合4,B,C,

①若仁B,且住C,则AQC-,

②若AUB,BOC,则AOC.

③若4U6,AWB,贝ijAtJB

题型一集合关系的判断

(1)观察法：一一列举观察.

规律方法判断集合关系的方法

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，

弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征

判断关系.

A.AUBB.A=B

C.AUBD.BUA

⑵已知集合4={*|%<-2或¥>0}，

B={x\O<x<\],则()

例1、指出下列各组集合之间的关系：

.A.A=BB.AUB

⑴A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}

C.BUAD.AuB

(2)A={2,3,6},B={x|x是12的约数};

(3)A={等边三角形},B={等腰三角形};解析:

(4)M={x\x=2n-1,neN},⑴；4={-2,3},B={3},BOA.

N-{x\x-2n+\,neN*},,(2)在数轴上分别画出集合4B,如图所示,

由数轴知BUA.

解析：

I

(1)集合4的代表元素是数，集合B的代表元

素是有序实数对，故A与B之间无包含关系；答案(1)D(2)C

(2)集合A中的元素2,3,6都是12的约数,题型二子集、真子.集个数问题

故它们都属于集合B,所以更近一步，1

规律方法

也是12的约数，即16B,但是饵A,故AU8；

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角1.假设集合A中含有n个元素，则有：

形是两边相等的三角形，故At)8：

(DA的子集的个数有2n个；

(4)由列举法知，M={1,3,5,7,…},

(2)A的非空子集的个数有2n-l个；

N={3,5,7,9,…},故NOM。

(3)A的真子集的个数有2n-l个；

【变式训练1】(4)A的非空真子集的个数有2n-2个.

(1)A={x|(x-3)(x+2)=0},2.求给定集合的子集的两个注意点:

B==则4与8的关系是()

x+2

{(0,2),(1,1)}.{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)),

{(0,2),(1,1),(2,0)).

题型三空集的特殊性及其应用

例2、(1)集合{a,"c}的所有子集为,

规律方法

其中它的真子集有个.

(2)写出满足(3,4}。PU{0,1,2,3,4}的所有集(1)空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也

合P.包括了。，因此会出现。。特别地，

解析：

。e{。}以及。e{。}都认为是正确的。

(1)集合{a,"c}的子集有：。,{a}，仍},{c},

(2)空集是任何非空集合的真子集。

{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c],其中除

(3)应注意理解下列式子：

{a,b,c}外，都是{a,。,c}的真子集，共7.个.

(2)由题意知，集合P中一定含有元.素3,4,

并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题

意的集合P为：{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},

{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}.

例3、设集合A={x|x2+4x=0,xeR},

答案(1)。，[a},[b],{c},{a,b},{a,c},

B={x|x2+2(«+l)x+a2-1=0,xe/?},若

{b,c},{a,b,c]；7

B^A,求实数a的取值范围。

(2)[0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},

解析：

{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4).

A={x|J+4x=0,xeR}={-4,0},

【变式训练2】

5tA.•.分B=4和BtFA两种情况讨论。

已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,yeN},

试写出A的所有子集.(1)当A=B时，8={-4,0},则有—4,0是方

程/+2(4+1n+。2-1=0的两根，于是得a=l

解析：

；A={(x,y)|x+y=2,x,yeN},(2)当BOA时，若3=。，则

AA={(0,2),(1,1),(2,0)).△=4(a+l)2_4(。2_1)<0,解得。<一1；

...A的子集有：。，{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},若B",则8={—4}和{0},

A=4(a+l)2-4(a2-l)=0,A={3,5},又8=A

解得a=-l,验证知8={0}满足条件。故若3=0,则方程ar—1=0无解，有a=0；

综上可知，所求实数a的值满足a=1或a4-1。

若B片0,则由ax—1=0得x=—,

a

答案a-1或aW—1

­=3,—=5,即a=，或a=—

【变式训练3】

aa35

设集合A={x|f—8x+15=0},

故。={0,抖

集合8={x|以—1=0},若

答案C={O,1,1)

求实数。组成的集合C。

解析：

思维拓展

考向一已知集合间的关系求参数问题的

解题策略

规律方法

例4、已知集合4=卜|/+%-6=0}集合

(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据B={y®+1=0),若满足B^A,则实数a所能取

对应关系直接列方程；得一切值为？

(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助

解析：

数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表

VA={2,-3},故分3=0,8={2},8={—3}=

示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到

种情况来讨论，

准确无误。一般含“=”用实心圆点表示，不含

依次求得a的值为0,一!一

23

答案o,一2m-1>m+1

23

②若Bw。,则<m+l>-2

【变式训练4-1】2m-1<5

若集合4=卜|%2+%-6=0},

解得

8={》|/+》+“=0}且8=/1,

综上所述，加的取值范围是，“W3

求实数。的取值范围。

答案

解析：m<3

由题意，解得A={2,-3},B是A的子集

考向二有关子集的综合问题

规律方法

故分8=0,B={2},8={—3}三种情况来讨论,

(1)首先确定集合中元素的个数。

所以求得a的取值范围是或。=-6

4(2)分类讨论所求得的参数值，还需要代入原集

合中看是否满足互异性。

答案a>-^a=-6

4

例5、若集合A=(4+2)x2+2kx+1=o}有且仅

有2个子集，则实数%的值是？

解析：

【变式训练4-2】由题意可知，集合A只有一个元素，

已知集合4={划一24》45},故当攵=—2时，则人={:卜满足题意；

集合8={x|m+lWx<2加一1}满足

当左。一2时，A=4A：2—4(左+2)=0,

求实数机的取值范围。

解得％=—1或左=2；

解析：

综上所述，左的取值为2,—2,—1

①若5=。，贝!］根+1>2m一1,

答案2或-2或-1

解得加<2

【变式训练5】

已知集合A=+2x+a-0,ae/?},已知非空集合是集合A的子集，若同时

满足两个条件：①若则。任&；②若

若集合A有且仅有两个子集，则。的值是？

aeA2,则a任A,则称（4,4）是集合A的“互

解析：

由题意知，集合A仅有一个元素，斥子集组”，并规定（4,A2）与（4,A）为不同的“互

故当a=0时，集合A={0},符合题意；

斥子集组”，则集合A={1,2,3}的不同的“互斥子

当时，则△=4-4/=0,

集组”的个数是«

解得a=l或a=—l；

故。的值为0,1,-1

解析：

答案。或1或-1

考向三集合关系中的新定义问题

①当集合4只有一个元素1时，集合A?是集

规律方法

合A中不含元素1的非空子集，此时共有2?-1=3

第一步：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定

义的特点，弄清新定义的性质：（个），同理，当4只有一个元素2或3时，集合

第二步：按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、

检验特征、运算，使问题得以解决：

第三步：对于选择题，可以结合选项，通过验证、

A2也各有3个，因此共有9个；

排除、对比、取特值等方法解决。

②当集合A有两个元素1,2时，集合A?是集

例6、定义集合运算

A0B-{c\c-a+b,a&A,beB},合A中不含元素1和2的非空子集，此时只有1个，

设—={0,1,2},8={3,4,5},同理，当从中含有元素1,3或2,3时，集合儿也各

则集合A区3的真子集个数为（）有1个，因此共有3个。

A.32B.31C.30D.14

综上所述，集合A={1,2,3}的不同“互斥子集组”

解析：

的个数为9+3=12。

由题意得={3,4,5,6,7},其子集个数为

答案12

25=32（个），而真子集个数为32—1=31（个）

答案B

【变式训练6】

综合训练

A组基础演练

一、选择题

1.设集合A={L,3},集合8={1,2,4,5},则集合AUB=()

A.{1,3,124,5}B.{1}

C.{1,2,3,4,5)D.{2,345}

解析：•.•集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},

，集合AUB={1,2,3,4,6}.故选C.

答案C

2.已知集合4={*611|烂5},8={x6R|x>l},那么AC3等于（）

A.{123,4,5}B.{2,3,4,5}

C.{2,3,4}D.{xGR|W}

解析：：A={xGR|烂5},B={x^R\x>\],

.*.4nB={xWR|l<立5},故选D.

答案D

3.已知集合4={4x=3A,kGZ},B=[x\x=6k,无GZ},则A与8之间最.适合的关系是（）

A.AcBB.A2B

C.AUBD.AYB

解析：显然B是4的真子集，

因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍.

答案D

4.已知集合/={x」一xGZ},则下列集合是集合M的子集的为（）

A.P={-3,0,1）

B.Q={—1,0,1,2}

C.R={.y\~it<y<-1,y£Z}

D.S=[x\\x\<^j3,xGN}

解析：先用列举法表示集合.，再观察元,素.与集合的关系.

集合M={—2,-1,0,1}.集合R={—3,-2],集合S={0,l},

不难发现集合户中的元素一3aM,集合Q.中的元素24M,集合R中的元素一34M,

而集合S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中，

所以SUM,且SUM故选D.

答案D

5.已知集合乂={0,x],N={1,2},若MC1N={2},则MUN=()

A.{0,x,l,2}B.{2,0,1,2}

C.[0,1,2}D.不能确定

解析：：MrW={2},...2GM,而用={0,x},则x=2,

，M={0,2},.".MUN={0,l,2},故选C.

答案.C

6.已知集合4={1,2,3},B={x|(x+l)(x-2)<0,%GZ},则AUB=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

解析：：B={x|(x+l)(x-2)V0,xGZ}={x|—xGZ}={0』},

又—={1,2,3},；.AU2={0,l,2,3}.

答案C

7.设集合A={1,,4,x},B={1,x2}且AUB={1,4,x},则满足条件的实数x的个数是()

A..1个B.2个.

C.3个D.4个

解析：；A={1,4,x},：.x^\,尤落且舄61,得"±1且/4,

：AUB={1,4,x},

；.『=X或》2=4,解之得x=0或x=±2,

满足条件的实数x有0,2,-2,共3个，故选C.

答案c

8.已知集合AU{.0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（）

A.6B.5

C.4D.3

解析：集合{0,1,2}的子集为：0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2),

其中含有偶数的.集合有6个.故选A.

答案A

9.已知集合/={(x,y)|x+y<0,孙>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么()

A.POMB.MOP

C.M=PD.MYP

x+j<0,x<0,

解析:

xy>0,,y<0.

：.M=P

答案C

10.设集合A={a,b],B={a+1,5},若ACB={2},则AU8等于（）

A.{112}B.{1,5}

C.{2,5}D.{1,2,5)

解析：；An8={2},：.2SA,2eB,

••H-1-=2,••1f

即4={1,2},8={2,5},

/.AUB={1,2,5},故选D.

答案D

二、填空题

11.某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得.优，语文15人得优，两门都不得优20人,

则两门都得优的人数为人.

解析：如图，设两,门都得优的人数是x,则依题意得20—犬+(15—x)+x+20=45,

整理，得一x+55=45,解得x=10,即两门都得优的人数是10人.

答案10

12.A={xWN|lSE10},8={xeR*+x-6=0},则图1-1-1中阴影部分表示的集合为

图1-1-1

解析：注意到集合A中的元素为自然数，

因此4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而B={-3,2},

因此阴影部分表示的是AAB={2}.

答案{2}

13.若集合A={x|启2},B^{x\x>a},且满足AAB={2},则实数a=.

解析：当〃>2时，ADB=0；

当a<2时，AHB={x\a<x<2}；

当a=2时，ACIB={2}.综上，a=2.

答案2

14.已知M={y|y=f—2x—J,xGR},N={x|-2勺区4},则集合M与N之间的关系是

解析：：y=(x—1)2—22—2,

：.M={y\y>~2].ANUM

答案NOM

三、解答题

15.设4={川«+or+l2=0},B={x\^+3x+2b=0],4nB={2},C={2,一3},

⑴求a,6的值及A,B；

(2)求(AUB)nC.

解析：(l)VAnB={2J,.\4+2a+12=0,

即a=-8,4+6+28=0,即匕=—5,

.•.4={卫f.一8x+12=0}={2,6},8={x|f+3x-10=.0}={2,—5}.

(2)：AUB={—5,2,6},C={2,一3},

.\(AUB)nC={2}.

答案(1)a——8,h——5A—{2,6}={2,-5}(2)2

16.已知aeR,xeR,集合A={2,4,『-5x+9},B={3,x2+ax+a],C={x2+(tz+l)x-3,l).

(1)求使集合人={2,3,4}的x的值；

(2)求使2G3，8=A的a,x的值；

(3)求使集合8=C的a,x的值.

解析：(1)由题意得d—5》+9=3,解得X=2或X=3.

(2)V2eB.B^A,

x2+ax+a=227

,>联业解得x=2时，a=—,尤=3时，a=—.

?-5x+9=334

x—2x=3

所以可得满足题意的x,。为42或,7.

a=­a=—

(3)VB=C,

x2+(a+l)x-3=3x=-1,x=3,

・・.有《联立解得《,或，

X2+ax+a=1a=-6a=-2.

x—2,x—3,

x=-Lx=3,

答案(1)x=2或x=3(2)7(3)<或，

a=-6a=-2.

4

17.设集合4=3一1十+1W6},B=\x\m-\<x<2m+\].

(1)当xdZ时.，求A的非空真子集的个数；

(2)若428,求，”的取值范围.

解析：化简集合A得4={加一2姿5}.

(l)VxGZ,."={-2,—1,0』,2,3,4,5},

,即A中含有8个元素，

••.A的非空真子集数为28—2=254(个).

(2)①当机三一2时，B=0UA；

②当2时，B={x\m~\<x<2m-\-\},

因此，要BUA,

-1>-2

则只要L.=>—\<m<2.

[2m+\<5

综上所述，知m的取值范围是：{两一19E2或m<—2}.

答案(1)254(2){tn\—1、m二2或机0—2}

B组提升突破

一、选择题

1.已知集，合P={xF=l},Q={xkzr=l},若QUP,则a的值是（）

A.1B.-1

C.1或一1D.0-,l或一1

解析：由题意，当。为空集时，a=0；

当Q不是空集时，由QUP,a=l或〃=-1.

答案D

2.设集合4={1,2},则满足4UB={1,2,3}的集合B的个数是（）

A.1B.3

C.4D.8

解析：A={\,2},AUB={1,2,3},则集合B中必含有元素3,

即此题可转化为求集合4={1,2}的子集个数问题，

所以满足题目条件的集合B共有22=4个.故选C.

答案C

3.设A={x|f-8x+15=0},B={x\ax~\=O}.若A.nB=B,

则实数“组成的集合C中元素的个数为（）

A..0B.1

C.2D.3

解析：当4=0时，由题意8=0,

又4={3,5},BUA,当时0时，«={-},

a

又4={3,5},BQA,此时5=3或5,

则有。=3或。=,，故°={。，3，；}.

答案D

4.已知集合A={x|x?—3x+2=0},3={x|0<x<6,xeN},

则满足的集合。的个数为（）

A.4B.8C.7D.16

解析：结合题意可得：A={1,2},3={1,2,3,4,5},

令加={3,4,5},集合N为集合M的子集，

结合子集个数公式可得，集合C的个数为23=8个.

答案B

5.若MqP,M^Q,P={0』,2},Q={0,2,4},则满足上述条件的集合M的个数是（）

A.1个B.2个C.4个D.8个

解析：由集合尸={。』,2},集合。={0,2,4},

则集合P和Q中的公共元素组成集合C={0,2},

又因为M=M^Q,

所以集合C的子集的个数为2?=4，

所以满足题意要求的集合M共有4个.

答案C

二、填空题

141

6.已知集合A={x|x=—(2k+1),kGZ},B={x|x=—左士一,&£Z},

999

则集合A,B之间的关系为.

]4«1

解析：对于集合A,k=2n时，x=+—1■—,/26Z,

9、799

当k=2n-1时，x=g(4/1—2+1)=GZ

即集合A={x|x=+±g,〃ez},

由8=卜|%=弓士：，后Gz],可知A=B.

答案A=B

7.已知集合A={川加+公+〃=0,adR},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值构成的集合为

解析：因为集合4