高中数学课时跟踪检测六充要条件新人教A版必修第一册

充要条件

层级(一)“四基”落实练

1.已知「：|a|>|6|,<7：a>l),则。是<?的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C因为|a|>|引oa2〉所，所以0是g的充要条件，故选C.

2.已知集合力=口,a},5={1,2,3},则“a=3”是“庭8”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A'：A={1,a},5={1,2,3},A^B,且a#l,；.a=2或3,:“a=

3”是“4U8”的充分不必要条件.

3.x—2W0的充要条件是()

A.xWlB.

C.在一1或x#2D.xW—l且xW2

解析：选D由x?—x—2=(x+1)(x—2)NO,得xW—1且xW2.当xW—1且xW2时,

(x+1)(x—2)7^0.则V—x—2H0的充要条件是x#—l且xW2.故选D.

4.已知实数a,6满足劭>0,则成立”是“a>力成立”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11h一O11

解析：选c由7=一二，,.,a6>0,.,.若一<7成立，则6—a<0,即a>6成立，反之

ababab

若a>b,''ab>Q,7=-7-<0,即J成立，J成立"是"a>b成立”的充

abababab

要条件，故选C.

5.设全集为，在下列条件中，①/U8=/；②(［加口8=0；③［渊UCM;④

是医/的充要条件的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选D由Venn图可知，①②③④都是充要条件.

6.已知集合/={x|a—2cx<a+2},6={x|xW—2或x24},则APl8=0的充要条件是

[w+2W4,

解析：NG夕=0<4《解得0WEW2.

[a—22—2.

答案：0WaW2

7.设〃GN*,一元二次方程V—4x+〃=0有整数根的充要条件是〃=.

解析：由于方程的解都是正整数，由判别式/=16—4〃20得1W〃W4,逐个分析，当〃

=1,2时，方程没有整数解；当〃=3时，方程有正整数解1,3；当〃=4时，方程有正整数解

2.

答案：3或4

8.判断下列命题中°是g的什么条件.（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，

既不充分也不必要条件）

⑴0：x>l,<7：/>1；

⑵P：△/回有两个角相等，3△板是正三角形；

（3）若a,6GR,p-.a2+Z>2=0,q-.a=6=0；

a

（4）p：a<b,<7：­<1.

解：（1）因为x>l能推出/>1,即p=g；但当时，如x=-2,推不出x>l,即

。羚P，所以。是°的充分不必要条件.

⑵因为“△/回有两个角相等”推不出“△力6c是正三角形"，所以〃弁S但“丛ABC

是正三角形”能推出“△/8C有两个角相等”，即尸0,所以。是g的必要不充分条件.

（3）若十则a=6=0,即p=>g；若a=6=0,则4+方2=0,即7=>0，故必

所以。是（7的充要条件.

（4）当a=—2,6=—1时，-2<一1推不出一!<1,知。方g；又当a=l,6=—2时，

-1

二77Vl推不出IV—2,知0令夕，所以〃是0的既不充分也不必要条件.

层级（二）能力提升练

1.已知a,Z?£R,贝U“aVO,6>0且E+6V0"是"aV—6V6V—a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选CVa+^<0,/.a<—b,b<.~a,

Va<0,b>0,/.a<—b<0<b<—a,,

因此充分性成立；

,:a<—b<b<—a,—b<b,a<—a,b^>0,aVO,

*/aV—b,a-\-6V0,

因此必要性成立.

综上，“a<0,6>0且a+b<0”是“a<—6<6<一a”的充要条件，故选C.

2.（多选）下列结论中正确的是（）

A.“1>4”是“x<一2”的必要不充分条件

B.在△/阿中，“初+/d=%”是“△/回为直角三角形”的充要条件

C.若a,此R,则“才+炉*0”是“a,6不全为0”的充要条件

D.“x为无理数”是“V为无理数”的必要不充分条件

解析：选ACD了<-2=/>4,但六>4QX>2或x<-2,不一定有x<—2.故A正确.

9+”=初今△A6C为直角三角形，反之，若△/回为直角三角形，当6,。为直角时，

不能推出2片故B错误.

a'+^WO今a,6不全为0,反之，由a,6不全为00故C正确.

当V为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确.故选A、C、D.

3.设0,q,r,s是四个命题.已知0,。都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是

s的必要条件,那么⑴s是g的条件；（2”是g的条件；⑶。是g的—

条件.（填“充分”“必要”或“充要”）

解析：将P，q,r,s的关系作图表示，如图.P=>

（1）Vg=>z=>s,aq,，s是°的充要条件.U

s

②•：gs=q,户r,是1的充要条件.

（3）p=>厂=>2s0是g的充分条件.

答案：（1）充要（2）充要（3）充分

4.若集合/={x|x>—2},B={x\x^b,6GR},试写出：

（1）/U8=R的一个充要条件；

（2）/U8=R的一个必要不充分条件；

（3）/U8=R的一个充分不必要条件.

解：集合/={x|x>—2},B={x\x^b,6GR},

⑴若IU『=R,则62—2,

故AU8=R的一个充要条件是—2.

（2）由（1）知4U6=R的充要条件是6'—2,

所以AU8=R的一个必要不充分条件可以是b^~3.

（3）由⑴知4U6=R的充要条件是b^~2,

所以/U8=R的一个充分不必要条件可以是b^~l.

5.已知a,b,cGR,a#0.判断“a—6+c=0"是"一元二次方程加+以+0=0有一

根为一1”的什么条件？并说明理由.

解：“a—力+c=0”是“一元二次方程a/+^+c=O有一根为一1”的充要条件.理由

如下:

当a,b,c£R,aWO时，

若a—6+c=O,则一1满足一元二次方程加+6x+c=0,

即一元二次方程ax~\-bx-\-c=Q有一根为一1,

充分性成立；

若一元二次方程3*+6x+c=0有一根为一1,则d—6+c=O,必要性成立.

综上所述，％—6+c=0”是“一元二次方程加+法+c=0有一根为一1”的充要条件.

层级(三)素养培优练

1.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S.设46都为有限集合，则下列命题

中是真命题的有()

A.2rl8=0的充要条件是card(JU^)=card(Z)+card(百

B.AQ6的必要条件是card(A)Wcard(而

C.A工B的必要条件是card(4)Wcard(B)

D.4=8的充要条件是card(Z)=card(8)

解析：选AB易知card(ZU而=card(Z)+card(而一cardG4G而.ZG8=0,也就是集

合4与集合8没有公共元素，A是真命题；A7B,也就是集合4中的元素都是集合6中的元

素，B是真命题；AQ-B,也就是集合力中至少有一个元素不是集合夕中的元素，因此/中的

元素的个数有可能多于6中的元素的个数，C是假命题；A=B,也就是集合/中的元素与集

合6