高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (三十七)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(37)

1.如图所示，在四棱锥P-4BCD中，PAABCD,AB=BC=2,AD=CD=yfl，PA=73,

^ABC=120°,G为线段PC上的点，。为AC,BD交点、.

(1)证明：BD_L平面4PC;

(2)若G满足PC_L平面BGD,求”的值.

GC

2.如图所示，AB是回0的一条直径，PA垂直于回。所在的平面，C是圆周上不同于A,B的一动点.

(1)证明：APBC是直角三角形；

(2)若24=48=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为加时，求直线AB与平面PBC所成

角的正弦值

3.如图，在三棱柱4BC中，点E,F分别在棱BBi，CCi上(均异于端点)，4B=AC,4ABE=

乙ACF,BBi_L平面AEF.

4(

(1)求证：四边形8EFC是矩形；

(2)若4E=EF=2,BE=争求平面ABC与平面AEF所成锐二面角的余弦值.

4.如图，在直角梯形AEF5中，AE1EF,且BF=EF=24E=4,直角梯形。出尸的可以通过直

角梯形AEFB以直角E尸为旋转轴得到.

(1)求证：平面G5EF1平面BCiF；

(2)若二面角G-EF-B域,求直线GE与平面力Bq所成角的正弦值.

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAl¥i®ABCD,CDLAD,BC//AD,BC=CD=1AD.

p

(I)求证：CDLPD；

(n)求证：BD_L平面尸AB；

(IE)在棱P。上是否存在点M,使CM〃平面PA8,若存在，确定点M的位置，若不存在，请

说明理由.

6.如图，已知三棱柱4BC-A181G的底面是边长为2的正三角形，侧面BCG/为菱形，G为其两

对角线的交点，BCr=2V3,4c=2&，D,E分别为&G，BB1的中点，顶点员在底面ABC

的射影。为底面中心.

(1)求证：DE〃平面ABC；,且々C1平面

(2)求三棱锥/一ABC］的体积.

7.如图所示,正方形ABC。所在平面与梯形48MN所在平面垂直,MB〃4N,M4=AB=2,BM=4,

CN=2V3.

I)

(1)证明：平面DMN_L平面BCM

(2)求二面角C-MN—。的余弦值.

8.如图所示，在三棱柱—中，AB=BC,点①在平面ABC的射影为线段AC的中点,

侧面4&GC是菱形，过点为,B,。的平面a与棱4cl交于点E.

(1)判断四边形BBiED的形状并证明；

(2)求CB］与平面4BB14所成角的正弦的最大值.

9.在底面为菱形的四棱柱ABCD-aB1C1D1中，AB=441=2,A1B=A1D,zBAD=60°,ACn

BD=0,平面&BDL平面A8CD

(1)证明：B\C”平面A、BD；

(2)求三棱锥&-。的体积.

10.如图，多面体ABC£＞所中，四边形ABCD为矩形，二面角a—CD—F为60。，DE//CF,CD1DE,

AD=2,DE=DC=3,CF=6.

(1)求证：8/7/平面AOE；

(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值.

11.如图，在三棱锥P-48C中，Z1P8C为等边三角形，点。为8c的中点，AC1PB,平面PBC_1_平

面ABC.

(1)求证：平面P4cl平面P3C；

(2)已知E为P0的中点，尸是A8上的点，AF=/L4B.若EF〃平面PAC,求;I的值.

12.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BC。为平行四边形，^BAD=60°,PA=AD=PD=2,

侧面PAD，底面A8C£>,E,尸分别为PC,A8的中点.

(I)求证：EF〃平面PAO；

(□)当AP1BD时，求直线PC与平面PA。所成角的正弦值.

13.如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB1AD,且4B=4。=1CD=1.现以为一边向梯

形外作正方形AOEF,然后沿边AD将正方形AOEF折叠，使E。J.OC,M为E。的中点，如图

2.

图2

(1)求证：AM"平面BEC,

(2)求证：平面BCD1平面BDE；

(3)若DE=1,求点。到平面BCE的距离。

14.如图，三棱锥P—4BC中，P4J_平面4BC,PA=AC=2,BC=6，/.BAC=60°,。是PA

的中点，E是CD的中点，点尸在PB上，pF=3FB-

(1)证明：平面P4B_L平面PBC；

(2)证明：EF〃平面ABC；

(3)求二面角B-CD-A的正弦值.

15.如图所示，AEABCD,CF//AE,AD//BC,AD1.AB,AB=AD=1,AE=BC=

2.

(1)求证：8F〃平面4OE；

(2)求直线CE与平面BOE所成角的正弦值；

16.如图，A8CDFE是由两个全等的菱形AB"和C0FE组成的空间图形，AB=2,〃BAF=4ECD=

(1)求证：BD1DC；

(2)如果二面角B-E尸-。的平面角为60。，求直线8。与平面8CE所成角的正弦值.

17.如图，已知三棱柱板(7一4/停1中,4411底面4BC,4BAC=90°,AA1=l,AB=y/3,AC=2,

民尸分别为棱CCi，BC的中点.

(1)求异面直线EF与所成角的大小;

(2)若G为线段441的中点，试在图中作出过民F,G三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该

截面分三棱柱成两部分(较小部分与较大部分)的体积的比值.

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。为平行四边形，E为侧棱PA的中点.

(1)求证：PC〃平面BZJE；

(2)若PC1PA,PD=AD,求证：PA_L平面BDE.

19.如图，在直三棱柱ABC—必当的中，AB=AC=5,BB「BC=6,D,E分别是和&C的

中点.

D

(I)证明：DE，平面BBiCiC；

(11)求三棱锥“-EBC的体积与三棱柱ABC-aBiG体积的比值.

20.如图所示，四棱锥P—中，四边形48co为正方形，E为尸。中点.

(1)证明：PB〃平面EAC；

(2)若P。1平面E4C,二面角E-4C-。的大小为453尸为BC的中点，求AF与平面E4c所

成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：•••在四棱锥P—4BCD中，Ml®ABCD,BDc®ABCD,

：.P41BD,

vAB=BC=2,AD=CD=V7,

设AC与8。的交点为。，则BO是AC的中垂线，

故。为AC的中点，且BDJ.4C,

而P力C\AC=A,：.BD_1_面PAC；

(2)解：若G满足PCJjtiBG。，

,：OGu平面BGD,

•••PC1OG,且PC=y/PA2+AC2=V15.

由ACOG7CAP,可得靠啜，即墨=涌,

解得GC=亚变，

5

厂

・•・PnGc=PnC-GrrC=V/T1F5----2-^-/15=—3V^1―5，

.PG_3

**GC-2*

解析：本题考查了直线和平面垂直的判定及性质定理的应用，属中档题,

(1)利用直线和平面垂直的判定定理证得BD，面PAC-,

(2)由△COGs/kSP,可得*=解得GC的值，可得PG=PC-GC的值，从而求得分的值.

/1C1CGC

2.答案：（1）证明：♦；P4_L平面ABC,BCu平面ABC,

PA1BC,

又：乙4cB是直径AB所对的圆周角，

Z.ACB=90°,BC1AC.

"APOAC=A,AP,ACu平面PAC,

•••8C1平面PAC,PCu平面PAC,

•••BC1PC,

所以APBC是直角三角形；

(2)解：如图，过A作4HJ.PC于H,

"BCinPAC,.-.BC1AH,

vPCC\BC=C,PC、BCu平面PBC,

AHJ■平面PBC,则N4B”即为直线AB与平面PBC所成的角，

vPA1平面ABC,NPC4即是尸C与平面ABC所成的角，

•••tanz.PCA=—=y/2,

AC

又24=2,AC=V2,

.••在直角APZC中，AH=.PAAC=

\IPAZ2+AC23

在直角△ZB"中，sinZ-ABH=

23

即直线48与平面PBC所成角正弦值为理.

3

解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于中

档题.

(1)要证明APBC是直角三角形，只需证明BC1PC,通过证明BC_L平面PAC即可；

(2)利用直线PC与平面A8C所成角正切值为遮，求出AC,在直角△P4C中，求出AH,在直角△ABH

中，可求A8与平面PBC所成角正弦值.

3.答案：解：(1)证明：在三棱柱ABC-41/C1中，BB["CC],

又因为BBi_L平面AEF,AE,AFu平面AEF,

所以BBil.AE,BB1VAF,CCXLAF,

所以N.AEB=NAFC=:,

因为AB=AC,BBi=CC],Z.ABE=/LACF,

所以侧面44/18与侧面A&CiC的面积相等，

所以4E=4F,

因为AB=AC,

所以AZEB三△AFC,

所以EB=FC,

所以四边形BEFC为平行四边形，

又因为BBi_L平面AEF,EFu平面AEF,

所以BBi1EF,

.•・四边形8EFC是矩形；

(2)取EF中点为G,连接AG,如图:

由（1）得AE=A尸,

***AG-LEFt

•：BBi1平面AEF,BBiu平面BB",

平面4EF平面BBiCiC,平面4EFn平面BBiCiC=EF,AGu平面AEF,

：.AG_L平面BBGC,

取8c的中点H,以G为坐标原点，直线GF,GA,GH分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示：

则平面AEF的一个法向量为苏=(0,0,1).

因为4E=EF=2,

所以4G=百，

则4(0,V3,0),B(-1,0,C(1,0,

所以荏=(-1,-6，务而=(1,-冯多，

设平面ABC的法向量为雨=(x,y,z),

贝您巧=。,

C4C•五二0

(—X—V3y+—z=0

所以1,

[x—V3y+yz=0

所以％=0,3y=z,设y=l,则z=3,

所以底=(0,1,3),

设平面48c与平面AEr所成锐二面角的平面角为a,

所以cosa=|cos＜济房＞|=|黯卜甯.

解析：本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质、利用空间向量求面面的夹角，属于中档题.

(1)先证出四边形BEFC为平行四边形，再证出B&1EF,即可证出结果；

(2)先证出4G，平面8&C1C,建立空间直角坐标系，求出平面平面AEb的一个法向量为汨与平面A8C

的法向量为尻，代入公式cosa=|cos＜席底＞|=|=2即可求出结果.

4.答案：(1)证明：

在直角梯形AEFB中,4E1EF,且直角梯形DiEFG是通过直角梯形AEF3以直线EV为轴旋转而得，

所以QEIEF.

所以BFJ.EF,CrF1EF.

又BFnQF=F,BF,C/u平面BQF,

所以EF，平面BCi?

又EFu平面GDiEF,所以平面GDiEFJ_平面BCI/.

(2)解：由(1)可知BF1EF,QF1EF.

因为二面角G-EF-B为半

所以NC/B=；.

过点尸作平面AEFB的垂线，如图，建立空间直角坐标系F-xyz.

由BF=EF=2AE=4

可得：E(4,0,0),G(0,2,2V3).B(0,4,0),4(4,2,0).

所以而=(-4,2,0)，CjB=(0,2,-2V3).西=(-4,2,2遮).

设平面.的法向量为L，则伊露V。，即装建z：°o

令z=l,则y=%,x=号于是元=(今次,1).

所以直线QE与平面ABC1所成角的正弦值为

In-ECjI_2辰_V114

I同I西一手X4回一句'

解析：本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键.

(1)利用平面与平面垂直的性质证明EF1平面BGF,即可证明平面CiDiEF，平面BC】F；

(2)以F为原点建立空间直角坐标系，求出平面4BQ的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求

直线GE与平面48cli所成角的正弦值

5.答案：(I)证明：因为P4,平面ABC。，CDu平面4BCD,

所以CD_LP4因为CD1AD,PAf\AD=A,PA,ADu平面PAO.

所以CD1平面PAD.

因为POu平面PA。，所以CDJ.PD.

(□)因为P4J■平面4BC£),BDu平面力BC。,

所以BD1P4在直角梯形ABC。中，BC=CD=^AD,

由题意可得48=BD=&BC，

所以力。2=432+B£)2,所以BDJ.AB.

因为P4n4B=4,P4,4Bu平面PA8.

所以BD1平面PAB.

(HI)解：在棱尸。上存在点M,使CM〃平面PAB,且〃是PD的中点.

证明：取P4的中点N,连接MMBN,

因为M是尸。的中点，所以MN2LAD.

2

因为BC=^AD<所以MN=BC-

所以MNBC是平行四边形，所以CM〃BN.

因为CMC平面PAB,BNu平面PA&

所以CM〃平面PAB.

解析：本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判定、线面垂直的性质，考查了学生的推理能力

(I)先证得CD_L平面PAD.由线面垂直的性质得：CD1PD；

(11)由8。_1.「4、BDJMB可证得8。_L平面FAB；

(DI)取PA的中点N,连接MMBN,证得MN8C是平行四边形，所以CM〃BN,故可得结论

6.答案：解：(1)证明：取4必的中点”，连接EH,DH,

可得EH〃/IB,EHC平面4BCi，ABu平面486，

则EH〃平面ABC1，

同理DH〃4G，又DHC平面4BG，的u平面ABC；,

则DH〃平面ABC1，

又DHnEH=H,DH,EHu平面EDH

所以平面ABC1〃平面EDH,

又DEu平面DE”，所以DE〃平面ABC1，

菱形JBCCi中,BC'LBC

因为当在底面的射影。为底面的中心，

所以当。1平面A8C,

因为。为中心，△ABC为等边三角形,

所以C。J.4B,

所以当C14B,

又ABnBG=B,AB,BC]u平面ABC1

所以&C1平面ABC1；

(2)由(1)知々Cd■平面ABC1，

设%C与BG交于G,

又顶点B]在底面ABC的射影。为底面中心，

可得BiC=B]B=2,BiG==1,

且ACIBBi，进而4C_L4Ai，ACr=A1C,

因为AB=2,BCr=2V3.ACi=2V2,

AB2+ACl=BCl，所以4B14C],

三棱锥/一ABC1的体积V=js“BQ'BIG=xIx2x2V2x1=

解析：(1)取A&的中点H,连接EH,DH,由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，以及面

面平行的判定定理和性质，可证明DE〃平面ABC1；再由线面垂直的性质和判定，可证明B]C_L平面

ABC^

(2)由线面垂直的性质和勾股定理，结合棱锥的体积公式，可得所求值.

本题考查线面平行与线面垂直的判定，以及棱锥的体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中

档题.

7.答案：(1)证明：•.•平面ABC。_L平面A8MM平面ABC。C平面4BMN=4B,BC1AB,

BC1平面ABNM,

vMNu平面ABMN,BNu平面ABMN,

BC1MN,BC1BN,

由BC=2,CN=2相得BN=Vt/V2-BC2=2应，

由N4=48=2,可得4BJ.4N,

在直角梯形ABMN中可得MN=2V2,

由BM=4,BN=MN=2V2.可得BN?+MN2=BAf2,

•••BN1MN,

BCnBN=B,且BC,BNu平面BCN,

：.MN，平面BCN,

,:MNu平面DMN,

二平面DMN，平面BCN；

(2)解：如图，以B为坐标原点，BA,BM,3c所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-盯z,

则8(0,0,0),C(0,0,2),0(2,0,2),M(0,4,0),N(2,2,0),MN=(2,-2,0)，CN=(2,2,-2),

DN=(0,2,-2)>

设元=Oi，%,zj是平面CMN的法向量，

则尸迹=0,(2X1-2yi=0

l元•CN=0I2/+2yx-2z1=O'

取%i=1,得完=(1,1,2),

设方=(%2，y2，Z2)是平面OWN的法向量，

则理.亚=0,即席-碧蓝

(m-DN=0以及-2Z2=0

取Z2=1,得沅=(1,1,1),

设二面角C-MN-D的平面角为0,由图可知。为锐角，

i.八］\nm\lxl+lxl+2xl272

mi222

人"c°S।=\n\-\m\=V1+1+2XV12+I2+I2=

所以二面角C一MN-。的余弦值为度.

3

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，平面向量的法向量等基础知识，属于基础题.

(1)根据BC14B以及面面垂直的性质，得到BCJL平面ABMW,得到BC_LMN,BC1BN,由题可得

AB1AN,进而求出BN1MN,得到MN_L平面BCN,进而得到平面DMNJ_平面BCN；

(2)以B为坐标原点，BA,BM,BC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系8-xyz,求得

平面CMN和平面OMN的法向量,设二面角C-MN-。的平面角为仇利用夹角公式进行求解即可.

8.答案：解：(1)四边形BBiED为矩形，证明如下：

取41cl中点为E,连接BiE,DE,在三棱柱4BC—4B1G中，侧面为平行四边形，所以

又因为8/C平面44CC1，&Au平面4遇CCi，所以3山〃平面4MCC1.

因为u平面BBi。，且平面n平面44CC1=DE,所以B\B//DE.

因为在三棱柱ABC-AiBiG中，平面.AZ?。〃平面48道1，平面88山n平面4BC=BD,

平面BB/n平面&BiG=BiE,所以BD〃Z7|E,所以四边形为平行四边形.

在日ABC中，因为AB=BC,力是AC的中点，所以BD14C.

由题可知，平面A8C,所以4iC_LBD,ArDLAC,

因为acr)4iD=。，所以8。_L平面acCi4,

所以8。IDE,故四边形BBiED为矩形.

(2)由(1)知。B,AC,4D两两垂直，以OB,AC,4山所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.

设4D=1,BD=a,在△441。中，AAr=2AD,AArDA=90°,所以&。=痘,所以。(0,0,0),

4(0,-1,0),4I(O,O,V5),B(a,0,0),则标=(0,1,痘),荏=(a,l,0).因为E(0,l,b)，

所以西=屁+丽=(a,l,V3).即a(a,l,百).

因为C(0,l,0),所以函*=(a,0,何设平面施出的法向量为记=(%/,z),则也竺'=°'即

In-AB—0,

户俨=0,所以＞一产

令z=a,则丫=—8。，x=V3,所以冗=(百，一百a,a).

设CBi与平面4BB14所成角为仇

则sin。=\cos(n,CB^)\=］：；则［=y=====^y==

1'1,1InllcsJV3+4azxVa2+3

2显a_2V32V32

-----------=—

42V12+153,

V4a+9+15al4a2+^+15

当且仅当4a2=2，即a=及时等号成立.

a2

故CBi与平面4BB14所成角的正弦值最大为|.

解析：本题主要考查线面平行的判定及面面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定定理及直线与

平面所成角，考查分析推理能力，属于较难题.

(1)由已知根据线面平行的判定定理证得〃平面Z/CCi再运用面面平行的判定和性质证得四边

形BBiED为平行四边形，运用线面垂直的判定定理可证得平面4CG4,从而得出结论.

(2)由⑴知QB,AC,&D两两垂直，以。B,AC,&D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系。-xyz.运用线面角的向量求解方法可求得答案.

9.答案：(1)证明：依题意，A、B1〃AB,A1B1=AB,AB//CD,AB=CD,

.♦.4/1=CD,A、B\"CD,

四边形4B1CD是平行四边形，

•••BrCIIArD,

■：BjCC平面&BD,AXDu平面&BD,

•1•B£U平面A[BD

(2)连接20,•；=&D,且。为8。的中点，.•.4。1BD,

••・平面，平面ABCD,平面力iBDn平面4BCD=BD,Ax0u平面AiBD,

&。J_平面ABCD,

又AOu平面ABC。，：.AA0A.A0.

•.•四边形ABCD为菱形，二40J.BD,

又41。08。=。，Ax0,8£>u平面

•••AOJ_平面4凤，即COJL平面4遇。.

由(1)知,BiC〃平面&BD,

・••点当到平面&B。的距离等于点C到平面&B。的距离CO.

由A48。为等边三角形，4B=44i=2,得：

BD=2,AO=CO=V3,&。=JAA^-AO2=1.

二三棱锥当一&BD的体积为：加=白人BD,C。=：・/BD•4。•C。=：x2x1x百=4

1AIDU3n^DUJZo3

解析：略

10.答案：(1)证明：•••四边形4BC。是矩形，

BC//AD.

又ADu平面ADE,ADu平面ADE,

：.BC〃平面ADE,

■■DE//CF,CFC平面ADE,DEu平面ADE,

•••CF〃平面ADE.

又：BCOCF=C,

.,・平面BCF〃平面ADE.

而BFu平面BCF,

ABF〃平面4DE;

(2)解：••1CDLAD,CD1DE,

.•.乙4DE即为二面角A-CD-F的平面角，

•••/LADE=60°,

又•；ADCDE=D,4。u平面ADE,DEADE,

•••CD_L平面ADE,

又：CDu平面CDEF,

••・平面CDEF1平面ACE,作AO1DE于。，连接CO,

•••平面CDEF_L平面AOE,平面CDEFn平面4DE=DE,AO1DE,AOu平面AOE,则4。1平面CQEF.

所以直线AC与平面CDEF所成角为N4C。，

由几何关系知4c=y/AD2+CD2=反，AO=AD-sin60°=®

所以si山C0=*普

解析：本题考查直线与平面，平面与平面平行及垂直的判定定理，性质定理，考查直线与平面所成

的角以及二面角，属于中档题.

(1)由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF〃平面A。尸，由此能证

明8/7/平面4DE;

(2)根据已知条件可得C。_L平面ADE,由面面垂直的判定可得平面COEF1平面A3E,进而可得4。1

平面CZ5EF,于是可知直线AC与平面CDEF所成角为〃C。，再计算sin-C。的值即可.

11.答案：(1)证明：:△PBC为等边三角形，点。为8c的中点，POJ.BC,

,/平面PBC，平面ABC,平面PBCC平面4BC=BC,POu平面PBC,

POJ_平面ABC,

■：ACu平面ABC,

•••PO1AC,

"AC1PB,POCPB=P,P8u平面PBC,POu平面PBC,

AC1平面PBC,

ACu平面PAC,

：.平面PAC_L平面PBC.

(2)解：取C。中点G,连结EG,FG,

•••E为尸。的中点，二EG///PC,

■：EG仁平面PAC,PCu平面PAC,

：.EG〃平面PAC,

F是AB上的点，AF=XAB,EF〃平面PAC,

且EGCEF=E,EG,EFu平面EFG,

平面EFG〃平面PAC,

因为平面PACfl平面4BC=AC,平面EFGn平面ABC=FG,

FG//AC,

解析：本题考查面面垂直，面面平行以及线面垂直的性质定理和判定定理的运用；

(1)由已知平面PBCL平面A8C,又由APBC为等边三角形，点。为BC的中点，得到PO_LBC,利用

面面垂直的性质得到P。J•平面A8C,进一步利用线面垂直的性质定理得到P。_LAC,结合已知的

ACLPB,利用线面垂直的判定定理得到AC_L平面PBC,继续利用面面垂直的判定定理得到结论的

证明;

(2)取C。中点G,连结EG,FG,得至ljEG〃PC,利用线面平行的判定定理得到EG〃平面PAC,进

一步利用面面平行的判定定理得到平面EFG〃平面PAC,于是得到FG〃4C,利用平行线的选择得到

4的值.

12.答案：(I)证明：取PD的中点M,连结AM,ME,

1

由已知4F//ME//DC,S.AF=ME=-DC,

所以四边形AFEM是平行四边形，

所以EF〃4M,

又EF笈平面PAD,AFu平面PAD,

所以EF〃平面PAD;

（口）解：取A。的中点0,连结P0,

vPA=AD=PD=2,POLAD,

又平面PAD_L底面ABCD,平面P4DD底面ABC。=AD,POu平面PAD,

PO，平面ABCD.

又BDu平面ABCD,

PO1BD.

又TAPIB。，POCiAP=P,PO,APPAD,

..BD_L平面PAD,又40u平面PAD,

BD1>40.

又NB/W=60°,AB=2AD=4.

过点C作CG14。于点G,连结尸G,

由平面PAD_L平面ABCD,平面PADn底面力BCD=AD,CGu平面ABCD,

CG，平面PAD,

所以4CPG是直线PC与平面PAD所成角.

又CG=2小,PG=26,所以“PG=45°,

即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为它.

2

解析：本题考查了线面平行的判定，考查了求线面角的方法，属于中档题.

(I)取尸。的中点M连结AM,ME,证得四边形AFEM是平行四边形，进而证得EF〃平面尸4。；

(口)取AO的中点O,连结P0,过点C作CG1AD于点G,连结PG,证得NCPG是直线PC与平面

/X。所成角，进而求得结果.

13.答案：(1)证明：取EC中点N,连结MN,BN,

在△EDC中，M,N分别为ED,EC的中点，

所以MN〃CD,且MN=：CD,

由已知A8〃C£>,AB=^CD,

所以MN〃AB,且MN=4B,

所以四边形4BMW为平行四边形，

所以BN//4M,

又因为BNu平面BEC,且4M仁平面BEC,

所以ZM〃平面BEC.

(2)证明：在正方形ADE/中，EDLAD,

因为EO_LOa,ADr\DC=D,AD,OCu平面ABC。，

所以ED1平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以ED1BC.

又在直角梯形ABC。中，AB^AD=1,CD=2,Z.BDC=45°,

所以BC=夜，

在△BCD中，BD=BC=V2.CD=2,

所以+BC2=CD2,

所以8C_LB。，

因为EDnBD=D,ED,BDu平面BOE,

所以BCJL平面UDE.

因为BCu平面BCD,

所以平面BCD_L平面BDE.

(3)解：设点D到平面BCE的距离为h,

由(2)BCJ■平面BOE,可在BC1BE,

因为DE=1,AB=AD=^CD=1,所以BO=&，BC=V2.BE=W，

所以SABDC=$xV2Xy/2=1,S^BEC=gXV3XV2=当,

根据％-BCE=%-BCD，即§SABEC.h=^SABCD,DE,

-x—•h=-x1x1,解得九=—>

3233

即点D到平面BCE的距离为渔.

3

解析：本题考查简单多面体及其结构特征，线面平行的判定、面面垂直的判定，利用三棱锥的体积

求空间中点到平面的距离，考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和

思维能力，是中档题.

(1)取EC的中点M连结MMBN,则有MN〃CD,结合已知可得四边形ABNM为平行四边形，则

BN//AM,根据线面平行的判定定理可得4M//平面BEC；

(2)由已知可证得ED_L平面ABCC,即可得ED1BC,求解直角三角形可得BC18D,再由线面垂直

的判定得到BC，平面BDE.,再根据面面垂直的判定定理即可得证.

(3)设点。到平面BCE的距离为山由已知条件得到以B。，BC,BE的值，即可得到S^DC，ShBEC,

再根据三棱锥的体积公式，结合力_8庭=%-BCD，即可求解点。到平面BCE的距离.

14.答案：解：(1)在A4BC中，由余弦定理得DC?=AB2+4C2-2aB-4CcosN8AC,

即,-24B+1=0,^AB=1,.-.AB2+BC2=AC2,则4BC=90°,•••BC1AB.

因为PA1平面ABC,BCu平面ABC,所以P4_LBC.

•­•PAC\AB=B,PA、ABu平面PAB,BC_L平面PAB.

•••BCu平面P8C,.•.平面PBC_L平面PAB；

(2)证法一：过点尸作FA〃/PA交AB于点M,取AC的中点N,连接MN、EN.

MB

•.•点E为CQ的中点，N为AC的中点，.•.EN〃A。，EN=^AD.

又。是P4的中点，E是C。的中点，点F在PB上，而=3还，且FM〃P'，

FM=^PA=^AD,FNHAD,：.FM“ENAFM=EN,

所以四边形MFEN为平行四边形，，EF〃.UN,

•••EF仁平面ABC,MNu平面ABC,：.EF//平面ABC-,

法二：取AO中点G,连接GE、GF,

•••G、E分别为A。、CO的中点，.•.GE〃AC.

•••GEC平面ABC,ACu平面ABC,：,GE//平面ABC.

•••G为AO的中点，。为PA的中点，AG=；P4则PG=34G,

24

%-PF=即PF=3F8,=喋=3,二.GF//.AZ?.

ACror

VGF仁平面ABC,ABu平面ABC,GF//平面ABC.

因为GEClGF=G,GE、GFu平面GEF,所以平面GEF〃平面ABC,

•••EFu平面GEF,所以EF//平面ABC；

(3)过点8作8H14C,垂足为“，在平面BCO内过点8作801DC,垂足为。,

vPA_L平面ABC,BHu平面ABC,：.BH1PA,

■■BH1AC,PAQAC=A,PA、PCu平面PAC,BHJ•平面PAC,

•••CDu平面PAC,CDLBH,

•：CD1BO,BOCBH=B,BO、BHu平面BO”，C。_L平面BO”.

•••OHu平面BOH,OH1CD,则4B。"为二面角B-CD-4的平面角，

由等面积法可得BH=丝竺=巫,

AC2

VBCl¥ifiPAB,BDc^PAB,：.BC1BD,

在RMBC。中，BC=V3-BD=y/AD2+AB2=V2.CD=y/AD2+AC2=遮，

,J3_

由等面积法得BO=更经=0，则sin4B。"=瞿=3=乎.

CD5BO同4

5

因此，二面角CD—4的正弦值为4.

4

解析：【试题解析】

本题考查平面与平面垂直的证明、直线与平面平行的证明，以及二面角正弦值的求解，考查推理论

证能力与计算能力，题目较难.

(1)利用余弦定理计算出4B=1,由勾股定理可得出BC1AB,再由PAL平面ABC,可得出BC1PA,

利用直线与平面垂直的判定定理可证明出BC1平面PAB,然后利用平面与平面垂直的判定定理可证

明出平面H4BJ_平面PBC；

(2)证法一：过点尸作FA〃/P.A交A8于点M,取AC的中点N,连接MMEN,证明四边形MFEN

为平行四边形，可得出EF〃.UN,然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出EF〃平面ABC；

证法二：取AO中点G,连接GE、GF,证明平面GEF〃平面A8C,即可得出EF〃平面A8C；

(3)过点8作J.AC,垂足为H,在直角Z1DBC中过点B作BOJ.DC,垂足为。，证明出CDJ■平面

BOH,可知二面角B-C。一4的平面角为NB。"，计算出RMB。”中的8。和BH,然后利用锐角三

角函数的定义求出sin/BOH即可.

15.答案：证明：g：AD“BC,BCBCF,AD笈平面BCF,

平面BCF,

AE//CF,CFu平面BCF,AEC平面BCF,

AE〃平面BCF,

y.'-ADCiAE=A,AD.AEADE,

平面4DE〃平面BCF,

vBFu平面BCF,

：.B"/平面ADE.

解：(2)设C到面BOE的距离为/?,设直线CE与平面BOE所成角为0,

因为AQ1AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

所以SABCD=yX2xl=l,

因为4E1平面ABC£>,所以4E148,4E1/W

所以BE=DE=V5,因为BD=V2,

所以SABDE=2,

因为%-BDE=VE-BCD，

所以gxjxhuqxlxZ,解得h=g；

因为皿/BC,AD1AB,

所以AC=V14-4=V5»

所以EC=3,

4

所以直线CE与平面BOE所成角的正弦值sin。=Z=±

39

解析：本题考查直线与平面平行的判定，面面平行，直线与平面所成角的计算，考查学生空间想象

能力与计算能力，属于中档题.

(1)利用线面平行判定定理，得到平面BCF,AE〃平面BCF,即可证明平面4DE〃平面BCF,

从而得到BF〃平面ADE；

(2)利用等体积%-皿£=%-BCD，计算出C到面BCE的距离为八=再计算直线CE与平面BDE所

成角的正弦值；

16.答案：解：(I)证明：如图，取EF的中点G,连接BG,DG,

在菱形ABEF中，

因为NB4F=60°,

所以4BEF是正三角形，

所以EF1BG,

同理，在菱形C£»FE中，可证EFJ.DG,

又BG,DGu平面BDG,BGdDG=G,

所以EPJ.平面BDG,

BDu平面BDG,

所以EFJ.BD,

又因为CD〃EF,

所以BD1DC；

（II）由（I）知，NBGD就是二面角B—EF—C的平面角，

即NBGO=60°,

又BG=GD=遮,

所以4BOG是正三角形，故有BD=

如图，取OG的中点O,连接BO,则B0J.DG,

又由（I）得EF_LB。，EFC\DG=G,EF、0Gu平面CQFE,

所以，30，平面。。下£,且8。=|,

又BD1DC,

在直角dBDC中，BC=<7,

所以SABCE=3"巾”/-：=乎,

设。到平面BCE的距离儿

则0-DCE寸0•SADCE=|X|XTX4=T，

1Jc1>3V7>/3

VD-BCE=3SABCE="X/lX—=y,

所以力=也，

7

即直线BO与平面BCE所成角的正弦值为上=也.

BD7

解析：本题考查了证明直线垂直的方法，二面角及求直线与平面所成角的正弦值，属于中档题.

(1)取)的中点6,连接BG,DG,易证EF1BG,同理可证EFLDG,可证EFJ.平面3DG,

可证EFLBD,由此可得答案；

(II)如图，取。G的中点0,连接B。，则BOLDG,可分别求出S.BCE，S^CE的面积，设。到平面

BCE的距离〃，然后利用等积法求出儿由此可得答案.

17.答案：解(1)连接BG，则为2BCG的中位线，

故N4BC1为所求异面直线所成的角.又1A1B1,AXCX1&A,且A4inA1B1=

414,4/1u平面ABBSi，

故&GJ■平面4BB1人,ZCMJB=90°.

在Rtaa.%3中，公。1=2,ArB=2

故"BCi=45°,

故异面直线EF与所成角的大小为45。.

(2)取AB中点M,连接MF,MG,EG.

则MF〃AC//EG,即M、F、E、G四点共面，则EFMG为所求截面的多边形.

连接AF,GF,

^ABC-A1B1C1~SAABC,=-x2xV3xl=V3

^GMA-ECF—^G-AMF+^F-ACEG=§S44MF*GA