新人教版高中数学选择性必修第一册第二章0圆的一般方程培优练习题

2.4.2圆的一般方程

学习指导核心素养

1.数学抽象：理解二元二次方程与圆的一般方程

回顾确定圆的几何要素，在平

的关系.

面直角坐标系中，探索并掌握

2.数学运算：掌握圆的一般方程的求解.

圆的一般方程.

3.逻辑推理：会求动点的轨迹方程.

《必备知识-国实

知识点圆的一般方程

将方程召+产+反+4+P=。的左边配方,并把常数项移到右边,得

D2+E2-4F

4

(1)当。2+石2—4口>0时,方程―+产+,+硝+斤二。叫做圆的一般方程,

2

其圆心为(二圣一f)W+E—#

，半径为

2

(2)当D2+E2~4F=0时，方程x2+y2+Dx

22

(3)当£>2+石2-4户<0时,方程x-\-y-\-Dx-\-Ey+F=0不表示任何图形.

♦即时训练

1.圆x2+y2—4x+2y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,-1),小B.(2,-1),5

C.(-2,1),小D.(-2,1),5

解析：选A.方法一：将方程r+V—M+ZyMO配方得(x—2)?+。+1)2=5,

所以圆心坐标为(2,-1),半径为小.故选A.

方法二：由方程/+>2—4x+2y=0,知。=-4,E=2,F=Q,所以圆心坐

D旦、、D2+E2—4F

标为=y[5.故选A.

I―5，,即(2,-1),半径为2

2.(多选)下列方程表示圆的是()

A.2x2+y2-7x+5=0

B.x2+y2_2x_4_y+10=0

C.2x2+2y2-4x=o

D.x2+y2+20x+62=0

解析：选CD.对于A,因为方程中x2,V项的系数不相同，所以不能表示圆.

对于B,因为。2+/一4尸=(—2)2+(—4)2—4X10C0,所以不能表示圆.

C能表示圆，将方程配方后得(x—1)2+>2=1,易知圆心坐标是(1,0),半径

是L

D能表示圆，将方程配方后得(x+10)2+^2=64,易知圆心坐标是(一10,0),

半径是8.故选CD.

3.方程x2+y2+ax+2ay+2a-1=0表不圆，则。的范围是.

解析：方程f+V+ax+Zay+ZaN+a—1=0表示圆，

所以屋+4a2—4(2屋+a—1)>0,

所以3tz2+4a—4<0,

所以(。+2)(3〃-2)<0,

2

所以一2<〃<1.

答案：2,|)

胭题技巧---------------------------------

方程x2+y2+Dx+E,y+F=0

表示圆的两种判断方法

(1)配方法.对形如N+V+Dx+Ey+R：。的二元二次方程可以通过配方变

形成“标准”形式后，观察是否表示圆.

(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断。2十七2—4歹是否为正，

确定它是否表示圆.

［注意］在利用U+E2—4歹>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注

意％2及y2的系数.

《关键能万三提升

考点一求圆的一般方程

m求满足下列条件的圆的一般方程.

(1)圆心在直线y=x上，与x轴相交于(一1,0),(3,0)两点；

(2)经过A(4,0),5(3,—3),C(l,1)三点.

【解】⑴设圆的一般方程为f+V+Dx+Ey+R：。，则圆心为

-2).

因为圆心在直线y=x上，且圆过(一1,0),(3,0)两点，

'D=E,

所以<1—D+R=0,

9+3D+F=0,

力=—2,

解得<E=.2,

G—3,

所以圆的一般方程为x2+y2—2x—2y—3=0.

(2)设圆的一般方程为^+y2+Dx+Ey+F=Q,

<16+4D+F=0,

分别代入(4,0),(3,-3),(1,1)三点，得《9+9+3。―3E+R=0,解得

J+l+D+E+F=0,

'D=—4,

<E=2,

、F=0.

所以圆的一般方程为x2+y2—4x+2y=0.

胭题技巧------------------------------

待定系数法求圆的一般方程的步骤

(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

(2)根据已知条件，建立关于。，E,R的方程组.

(3)解此方程组，求出。，E,R的值.

(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.

《跟踪训练已知圆C：f+V+Dx+Ey+SuO的圆心在直线x+y—1=0

上，且圆心在第二象限，半径为啦，求圆C的一般方程.

解：由题意得圆心《一会-f),

因为圆心在直线X+y—1=0上，

所以—3—1=0,即£)+£1=—2,①

A/U+2一12_

,所以。2+/=20,②

_2一、2

\D=2,D=-4,

由①②可得」

E=2.

又圆心在第二象限,所以一号＜0,即。＞0.

D=2,

所以J所以圆C的一般方程为f+V+Zx—4y+3=0.

[E=—4,

考点二求动点的轨迹方程

的问已知RtZXABC的斜边为A3,且A(—1,0),3(3,0),求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边3c的中点M的轨迹方程.

【解】⑴方法一(直接法)：设顶点C(x,y),

因为ACL3C,且A,B,C三点不共线,

所以x#3且xW—1.

,y

又"c=x+l'kBC=x—3'

且kAC'kBC=-1,

所以dr=T,

x+1x—3

化简得x2+y2—2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为

(x-1)2+/=4(X^3且xW—1).

方法二(定义法)：设A3的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),

由直角三角形的性质知,

|CD|=1\AB\=2,

由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由

于A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为

(x—l)2+y2=4(xW3且xW—1).

(2)(相关点法)设点M(x,y)，点C(xo,yo),

因为3(3,0),M是线段3c的中点，

由中点坐标公式得

xo+3yo+0

x=2，y=2，

于是有xo=2x—3,yo=2y.

由(1)知，点C在圆(x—1)2+>2=4(XW3且xW—1)上运动,

将xo,泗代入该方程得

(2x-4)2+(2y)2=4,

即(X—2)?+y2=1.

因此动点M的轨迹方程为

(X—2)2+y2=i(xW3且xWl).

感题技巧------------------------------

求轨迹方程的三种常用方法

根据题目条件，建立平面直角坐标系,

直接法设出动点坐标，找到动点满足的条件,

然后化简、证明

，当动点的运动轨迹符合某种曲线的定义

'af,可利用定义写出动点的轨迹方程

;若动点P(a,y)依赖于某圆上的一个动

旗二点而运动，把孙，力用表

您上手：示，再将Q点的坐标代入到已知圆的

：方程中得p点的轨迹方程

［注意］(1)求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形.

(2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.

＜跟踪训练已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点3(8,0)的距离的一

半.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.

解：(1)设动点M的坐标为(x,y),

因为A(2,0),B(8,0),|MA|=|\MB\,

所以(x—2)2+y2=；[(x—8)2+y2].

化简得f+y2=i6,

即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.

(2)设点N的坐标为O,yo),

因为A(2,0),N为线段AM的中点，

所以点M的坐标为(2%0—2,2yo).

又点M在圆^+y2=16上，

所以(2%0—2)2+4、8=16,

即得(%0—1)2+京=4.

所以点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.

课堂巩固口自测

1.方程V+V+Z%—4y—6=0表示的图形是()

A.以(1,—2)为圆心，y/Tl为半径的圆

B.以(1,2)为圆心，5为半径的圆

C.以(一1,—2)为圆心，yfll为半径的圆

D.以(一1,2)为圆心，为半径的圆

解析：选D.方程配方为(x+1)2+0—2)2=11,表示以(一1,2)为圆心，半径

为小1的圆，故选D.

2.已知圆C的圆心坐标为(2,—3),且点(一1,—1)在圆上，则圆C的方

程为()

A.x2+y2—4x+6y+8=0

B.x2+y2—4%+6y—8=0

C.X2+/-4X-6^=0

D.x2+y2~4x+6y=0

解析：选D.易知圆C的半径为灰，所以圆C的标准方程为(x—2)2+(>+

3)2=13,展开得一般方程为/+y2—4x+6y=0.

3.(多选)(2022•成都高二期中似下直线中，可以将圆/+y2—4x—2y+l=0

平分的是()

A.1=0B.%—y+l=0

C.2x—y=0D.2x—y—3=0

解析：选AD.圆—4x—2y+1=0的方程可化为(x—2)2+。-1尸=4,

设圆心为A,则A(2,1).若直线平分圆，则A(2,1)必在直线上.因为2—1—1

=0,所以点A在直线x—y—1=0上，故A正确；因为2—1+1W0,点A不在

直线x—y+l=0上，故B错误；因为2X2—1W0,所以点A不在直线2x—y=0

上，故C错误；因为2X2—1—3=0,所以点A在直线2x—y—3=0上，故D

正确.故选AD.

4.已知A(2,2),8(5,3),C(3,-1).

(1)求AABC的外接圆的一般方程；

(2)若点"(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.

解：(1)设△ABC外接圆的一般方程为x1+y2+Dx+Ey+F=Q,

<22+22+2D+2E+F=0,

由题意，得<52+32+5D+3E+R=0,

、3?+(-1)2+3D-E+F=Q,

力=-8,

解得，E=-2,即△ABC的外接圆的方程为N+y2—8x—2y+12=0.

J=12.

⑵由⑴知，ZVLBC的外接圆的方程为f+y?—8x—2y+12=0,因为点Af(a,

2）在△ABC的外接圆上,

所以4+2?—8〃—2X2+12=0,

即a2—Sa+12=0,解得a=2或6.

课后达标一检测

[A基础达标]

1.方程f+y?-2%—4y+6=0表示的轨迹为（）

A.圆心为（1,2）的圆

B.圆心为（2,1）的圆

C.圆心为（一1,一2）的圆

D.不表示任何图形

解析：选D.因为x1+y2—2x—4y+6=0等价于（x—1）2+。-2）2=—1,即方

程无解，所以该方程不表示任何图形.故选D.

2.若直线3%+y+a=0过圆元2+y2+2%—4y=0的圆心，则〃的值为（）

A.l3B.—1

C.3D.1

解析：选D.圆x2+y2+2x—4y=0的圆心为（-1,2）,

代入直线方程3x+y+a=Q得-3+2+〃=0,

即a=1,故选D.

3.（多选）关于方程^+y2+2ax—2ay=0表示的圆，下列叙述中正确的是

（）

A.圆心在直线y=一%上

B.其圆心在入轴上

C.过原点

D.半径为啦a

解析：选AC.将圆的方程化为标准方程可知圆心为（-a,a）,半径为表⑷，

故AC正确.

4.（多选）下列关于圆f+yz-4%—1=0的说法正确的是（）

A.关于点（2,0）对称

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y—2=0对称

D.关于直线x—y+2=0对称

解析：选ABC.f+y2—4x—1=0化为标准形式为(x—2>+y2=5,所以圆心

的坐标为(2,0).对于A,圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，

所以本选项正确；对于B,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=

0过圆心，所以本选项正确；对于C,直线x+3y—2=0过圆心，所以本选项正

确；对于D,直线x—y+2=0不过圆心，所以本选项不正确.故选ABC.

5.与圆C：(x—1/+丁2=36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方

程为.

兀/1

解析：已知圆C的半径R=6,设所求圆的半径为兀则赢=2,所以d=

18,

又圆心坐标为(1,0),所以所求圆的方程为(x—1)2+丁2=18.

答案：(x—1)2+9=18

6.若点(a+1,1)在圆f+y2—2ay—4=0的内部(不包括边界)，则a的

取值范围是.

解析：因为点(a+1,a—1)在圆内，则3+1)2+3—I)?—2a(a—1)—4<0.

整理得，2a—2<0,即a<L

答案：(一8,1)

7.已知圆M的圆心M(3,4)和三个点A(—1,1),B(l,0),C(-2,3),求

使A,B,C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆”的一般方程.

解：因为|MA|=d(—1—3)2+(1—4)2=5,

\MB\=yl(1-3)2+(0-4)2=2小,

\MC\(-2-3)2+(3-4)2=y[26,

所以

所以点3在圆内，点A在圆上，点C在圆外.

所以圆的半径r=\MA\=5,

所以圆M的方程为(%—3)2+(y—4)2=25,

即d+V—Gx—8y=0.

[B能力提升]

8.（2022•天津高二学情调查）“加>g”是“方程x1-\-y1—2mx—m1—5m-\-3

=0表不圆”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.方法一：方程冗2+,2-2相工一加2一5机+3=0表示圆需满足（一2机）2

2a

—4（—m—5m+3）>0,解得znV—3或相>g,所以m>^”是“方程^+产

一2加元一加2一5机+3=0表示圆”的充分不必要条件，故选A.

方法二：将x1-\-y1—2mx—rri1—5m-\-3=0化为（%一加y+y2=2机2+5机-3,

4"2m2+5m—3>0,得加V—3或加>],所以“加〉；”是“方程/十'2—2mx

一用2一5根+3=0表示圆”的充分不必要条件，故选A.

9.已知圆C：f+V+Z%—2加y—4—4加=0（/n£R）,则当圆。的面积最小时，

圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）

A.\[5B.6

C.y[5-1D.y[5+1

解析：选D.由x1-\-y1-\-2x—2my—^—^m=G得（%+l）2+（y—^）2—^2+4m+

5,

因此圆心C（一1,m）,

半径厂=4加2+4加+5（m+2）2+121,

当且仅当机=一2时，半径最小，即圆C的面积也最小.此时圆心。（一1,

—2）,半径厂=1,

则圆心到坐标原点的距离d=N（—1）2+（-2）2=小>r,

即原点在圆C外.

则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=y[5+1.故选D.

22

10.已知a©R,方程/¥+3+2»+4%+8,+5a=0表示圆，则圆心