第02讲 基本不等式(基础训练)(解析版)-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第02讲基本不等式

【基础训练】

一、单选题

1.若X,yeR,2工+2>=1,则x+y的取值范围是()

A.(-8,-21B.(0,1)C.(-00,-0]D.(1,+co)

【答案】A

【分析】

利用基本不等式由2计2>=1可得2t+v<从而可求出x+y的取值范围

4

【详解】

解：因为1=2*+2V>2&J2y=2，

所以

4

即x+y4-2,当且仅当2'=2>'=！，即x=y=—1时取“=”，

2'

所以x+y的取值范围是(-8,-2].

故选：A.

2.已知机，«€/?,而+〃2=100,则〃?〃的最大值是()

A.25B.50C.20D.5a

【答案】B

【分析】

利用不等式小+〃222”?〃，可求得结果.

【详解】

22

Efeirp+n2>2mn,得mn<m+n=50,

2

当且仅当，”=〃=±5及时等号成立.

所以加〃的最大值是50.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：利用不等式nM>2mn求解是关键.

3.若x<0,则x+—()

X

A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为-2D.有最大值，且最大值为-2

【答案】D

【分析】

由基本不等式，即可得出结果.

【详解】

x<0,-x>0,-x+(-2)N2、当且仅当x=—1取"="

X

所以XH—<—2

X

故选：D

4.已知为正实数，且孙=4,则x+4)，的最小值是()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】

化简x+4y=x+3,结合基本不等式，即可求解.

x

【详解】

4

由题意，正实数MV且个=4,可得y二一

x

则％+4^=%+322、\><屿=8，

当且仅当时，即x=4时等号成立,

XXX

所以x+4y的最小值是8.

故选：B.

5.己知。>0,/?>0，a+b=4,则下列各式中正确的是()

111111

A.—+-<—B.—+->1C.\[ab<2D.——>1

。。4abab

【答案】C

【分析】

利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.

【详解】

当。=b=2时，一+7=1，所以AB选项错误,

ab

同时-L=L<1,所以D选项错误.

ab4

对于C选项，由基本不等式得而〈竺=±=2,

22

当且仅当a=8=2时等号成立.

所以C选项正确.

故选：C

21

6.已知x>0,y〉0.且一+—=1,若2x+y>加恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.(-oo,7]B.(-oo,7)C.(一%9]D.S9)

【答案】D

【分析】

利用基本不等式可求2x+y的最小值，从而可求实数机的取值范围.

【详解】

2]，2]、2，2

因为一H"一=1,故2x+y=（2x+y）—+—=5+—+—>5+4=9,

xyy）xy

当且仅当x=y=3时等号成立，故2x+y的最小值为9,故机<9,

故选：D.

7.已知且a+2Z?=3aZ?，则2a+匕的最小值为（）

A.3B.4C.6D.9

【答案】A

【分析】

21]（21、

将a+2Z?=3"变形为,+1=3,再将2a+力变形为§（2a+匕整理后利用基本不等式可求最

小值.

【详解】

21

因为a+2〃=3ab,故一+:=3,

ab

故2a+6=g(2a+b)2b2a

5+一+一寸+4)=3

ab

当且仅当a=/?=l时等号成立，

故2a+》的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

方法点睛:应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,

则需要对给定的代数变形以产生和为定值或枳为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

4

8.若x>2,则函数y=x+——的最小值为()

x—2

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

44

直接由y=x+——=(%—2)+——+2利用基本不等式求最值即可.

2x_2

【详解】

Vx>2,Ax-2>0,

4444

当且仅当即时取等

・・・y=x+——=(x-2)+——+2>2A(x-2)------+2=6,x—2=——，x=4

%—2尤一2Vx—2尤一2

号，

4

，函数y=X+--的最小值为6.

x—2

故选：D.

9.若实数x>l,则2x+—的最小值为()

x-1'''

A.72+1B.2>/2+2C.V2D.272

【答案】B

【分析】

将原式变形为2(x-l)+—!—+2,然后利用基本不等式求解出2x+」一的最小值.

x-Ix-1

【详解】

因为2x+—!-=2（x—1）+-i-+222,2（X—1>-^-+2=2及+2,

x1x~~1,%1

1科1

取等号时2（x—1）==且%>1,即无=1+之，所以2x+二的最小值为2五+2，

尤12x1

故选：B.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数：

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

10.若xe：,2,则尤+'的最小值为（）

_2Jx

35

A.-B.-C.1D.2

22

【答案】D

【分析】

利用基本不等式直接求解即可.

【详解】

•••xe1,2,.•.x+->2Jx--=2,当且仅当％=工，即x=l时，等号成立，

_2Jx\xx

所以X+，的最小值为2

x

故选：D

11.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要

使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）

A.20B.25C.28D.30

【答案】D

【分析】

根据题意得到总运费与总存储费用之和的表达式，利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

设一年的总运费与总存储费用之和为y,显然x〉o,

n„600,“3600,c(3600,〜八位口始业36007t必而必

则y=---6+4x=----+4%>2.-----4x=240.当且仅当-----=4x时取等节，

XX\XX

即x=30时取等号,

故选：D

4

12.已知。>0,那么a+一的最小值是()

a

A.1B.2C.4D.5

【答案】C

【分析】

根据题意，由基本不等式可得a+±22jax3=4,即可得答案.

a\a

【详解】

4I4

解：根据题意，a>0，则a+—22jax—=4,

a\a

当且仅当a=2时等号成立，

4

即a+一的最小值是4；

a

故选：C.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方

13.已知a>(),8>0且a+3h=l,则2"+8”的最小值为()

A.2aB.3百C.6D.8

【答案】A

【分析】

山于。>0,力>0且。+3匕=1,则利用基本不等式可得2a+8"N2jF@=2jF而，从而可得答案

【详解】

因为a>0，Z>>（）且a+35=1,则2a+8：22,2"-8〃=2,2"+劝=20，当且仅当。=3匕=,即a=’,

22

匕=工时取等号，

6

所以2"+8”的最小值为2J5

故选：A.

14.设正实数。，人满足a+姐=2（其中％为正常数），若ah的最大值为3,则z=（）

3八21

A.3B.—C.—D.一

233

【答案】D

【分析】

由于a,b,左为正数，且a+祐=2,所以利用基本不等式可求出结果

【详解】

解：因为正实数。，b满足a+必=2（其中左为正常数），

所以“•妨4（竺纪了=1,则a必41,所以，=3,

2kk

所以A」

3

故选：D.

15.若x>l,则2x+」一的最小值为（）

X-1

A.20+2B.-272C,-272+2D.272

【答案】A

【分析】

由x>l,可得％-1>0,化简可得2x+」一=2（x—1）+—!—+2,利用基本不等式即可得解.

x-1x-1

【详解】

由x>l,可得x-1>0,

2x+—!—=2(x-l)+—+2>2J2(x-l)--+2=272+2,

x-\x-1Vx—\

当且仅当2（x—1）=—L,即X=变±2取等号，

x-\2

2x+—'—的最小值为2a+2，

x-i

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值问题，解题时注意基本不等式的适用条件，属于基础题.

19

16.已知。>0/>0,且一+一=1,则曲的最小值为（）

ab

A.100B.81C.36D.9

【答案】C

【分析】

利用基本不等式直接求解即可

【详解】

解：因为4>0,。>（）,

所以1=工+222」工2=6、工,当且仅当，=”，即a=2/=18取等号，

ah\abVabab

所以"》36,所以a。的最小值为36,

故选：C

【点睛】

此题考查基本不等式的应用，属于基础题

17.设则下列不等式中正确的是()

a+

A.a<b<y[ab<^B.a<4ah<a”<b

22

C.a<\[ab<b<D.\[ab<a<"+"<b

22

【答案】B

【分析】

利用不等式的基本性质和基本不等式即可求出答案.

【详解】

解:'：0<a<b,

/—ra+br—a+bb+b,

,•7ab<―-—,a—\cr<\/rab'~-=b,

a<y[ah<°”<b,

2

故选：B.

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的应用，属于基础题.

c,12

18.若正数x,y满足2x+y=l,则一+一的最小值为（）

xy

A.4B.3+2及C.8D.9

【答案】C

【分析】

’]2、4无v

由已知可得一+一（2x+y）=2+—+2+2,然后利用基本不等式可求得结果

y）yx

【详解】

解：因为正数x,），满足2x+y=l,

所以（4+2]（2%+3）=2+%+2+224+2/把・»=8,

y）yxNyx

4xy11

当且仅当——=2,即x=一,丁=一时取等号，

yx42

12

所以一+一的最小值为8,

xy

故选：C

【点睛】

此题考查基本不等式的应用，利用了的代换，属于基础题

4

19.已知》＞（）,函数y=-+x的最小值是（）

x

A.4B.5C.8D.6

【答案】A

【分析】

根据基本不等式求最小值.

【详解】

444

V%>0，y=-+x>2.-xx=4,当且仅当一=x,即x=2时等号成立.的最小值是4.

故选：A.

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式求最值的条件：一正二定三相等是解题关键.

20.已知x,ye（O,4w）,x+y=l,则孙的最大值为（）

【答案】D

【分析】

根据基本不等式x+y>Z历化简得到xy<^,当且仅当％=y时取最大值.

【详解】

因为x,ye（O,+<x>）,x+y=\,

所以有l=x+y22*7^=孙〈（《A=:，

当且仅当x=y='时取等号.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，尤其要注意的是等式成立的条件，属于基础题型.

21.已知。>1,。>1,且ab=2,则（）

,,,1,1

A.log2a-log2b<—B.a-b<—

C.a2+b2>4-

【答案】A

【分析】

利用基本不等式判断A,利用特殊值判断BCD：

【详解】

k）

解：因为。且a匕=2,对于A：log2a•Iog264（g2"；l°g2"）=晦,）=（g）=：

当且仅当Iog2a=bg2b,即0=b=也时取等号；故A正确;

1112491

对于B：当。=—,b=一时，满足a>l,b>l,且"=2,但是。-6=—>一,故B错误;

611662

对于C：当a=b=行时,，满足。>1，b>\,且"=2,但是/+/=4，故c错误；

对于D：当a=。=后时，满足。>1,b>l,旦必=2,但是'+,=应，故D错误；

ab

故选：A

/7

22.设4=一+一（m、〃为互不相等的正实数），B=-X2+4X-2,则A与5的大小关系是（）

mn

A.A>BB.A>Bc.A<BD.A<B

【答案】A

【分析】

比较A、3与2的大小关系，进而可得出结论.

【详解】

nm-n

因为加、〃为互不相等的正实数，则A-=2,

mn

B=—x2+4x—2=—（工一2）+2工2,因止匕，A^>B-

故选：A.

23.已知正数小b满足必=8,则a+2b的最小值为（）

A.8B.10C.9D.6

【答案】A

【分析】

利用基本不等式计算可得;

【详解】

解：因为正数m。满足次?=8，所以a+2t2212ab=8，当且仅当。=»，即b=2,。=4时取等号,

故选：A

24.若。>0,b>0,且砧=〃+/?,则4tz+9Z?的最小值为（）

A.25B.5C.26D.13

【答案】A

【分析】

变形条件为'+」=1,利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解.

ab

【详解】

由题意可得，+!=1，

ab

则4a+9b=（4〃+9匕）（，+，］=13+电+网213+2*」丝*色=13+12=25，

\ab）ab\ab

当且仅当竺="，且,+』=1,即8=3时，等号成立，

abab23

所以4a+9b的最小值为25,

故选：A

25.已知。＞0,/?＞0,a+h=\,则2•+—的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

根据基本不等式'T'的用法求解即可.

【详解】

因为。＞0,匕＞0,。+。=1,

cl1（11V八入bJbaA

所以—I—=—I—（Q+〃）=2H1—＞2+2.---=4,

ab\ab）ab\ab

当且仅当a=〃=L时等号成立，

2

故选:B

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求枳的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方

ah

26.已知a,人均为正实数，则“一^Z煲ZZJKIGWJ()

a+b

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

代入特殊值，判断不是充分条件，再根据基本不等式判断必要条件.

【详解】

取a=100,6=2,则07=¥<2,但彷=200>16,所以由"-42推不出就W16；若abW16,则

a+b102a+b

々4==理42,当且仅当。=6=4时取等号，所以由a匕W16能推出也42,所以“血42”

a+b24ab2a+ba+b

是“a匕W16”的必要不充分条件.

故选：C.

27.已知P(a,。)是圆V+y2=i上的点，下列结论正确的是()

A.abN；B.2『+26最大值是2夜

C.2j243川D.21g|a|>lg(l+/>)

【答案】C

【分析】

根据基本不等式，可得判定A、B不正确；根据指数函数与对数函数的性质，结合不等式的性质，可判定C

正确，D不正确.

【详解】

根据题意，点P(a,与是圆/+/=1上的点，可得储+〃=1，

由1=可得当且仅当a=8时等号成立，所以A不正确；

2

山2"2+2322/2"=2,2"+"=20>当且仅当2『=2"，即/=尸时等号成立，即2f+2/最小

值是2行，所以B不正确；

由。2+尸=1，可得1_42=/，贝1」2「"=2"2,

又由一14匕W1,所以824例，根据指数函数的性质，可得2~243例成立，所以c正确；

由2怆时=1g/=怆（1一万），又由1一"一<+切=一"一b=_帅-1）,

因为一14W1,可得一伙。-1）符合不确定，所以21g时和lgd+切大小不确定，

所以D不正确.

故选：C.

28.已知正实数满足。+2。=2,则竺口+工的最小值是（）

ab+\

9c7「17>13

A.—B.-C.—D.—

4343

【答案】A

【分析】

22b2

根据已知等式把代数式a匕+!1■+二日—进行变形为一1+4再结合己知等式，利用基本不等式进行求解

即可.

【详解】

a2+l2b21283+1）-23+1）+21,2.,»_

--------+——=a+-+—-——---——--=a+-+2b+---------2n,因l4H为。+3=2,

ab+1a8+1ab+1

^,,a2+\2b21214

所以-----1-----——I-----——I-------,

ab+\ab+\a2(/>+l)

因为a+28=2,所以a+23+l)=4,

11411rc,，”14iJ2(Z?+1)4a、

因此4+诉卜"3+2S+l)H,+罚］=/5+-^+诉］,

因为a力是正实数，所以」［5+4皿2+—］之工［5+2户叵二^］=2,(当且仅当

4a2(/?+1)4\a2(b+l)4

2（〃+1）4Q41

丁=许时取等号‘即""1时取等号，即"3力=§时取等号），

故选：A

29.某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间"年数,

『6N"）的关系为$=—/+23/-64,要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数「为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】

根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.

【详解】

因为每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间r（年数，reN*）的关系为

s——r+23?—64，

当且仅当f=8时等号成立，

即年平均利润最大，则每台机器运转的年数，为8,

故选：D

30.已知"ce（0,+oo）,3a-2b+c=0,贝汁牛•的（）

A.最大值是石B.最大值是立

3

C.最小值是&D.最小值是走

3

【答案】B

【分析】

由题意得b=三上，再代入所求式了利用基本不等式，即可得到答案;

【详解】

因为3a—力+c=0,所以6=与上，

2

所以坐=誓42健=§,等号成立当且仅当3a=c.

b3a+c2>J3ac3

故选：B.

31.若。<。<（）,则下列不等式正确的是（）

A.—>—B.ab<a~C.kzl>|Z?ID,-l—>2

ahah

【答案】D

【分析】

利用作差比较法，可判定A、B不正确；由不等式的性质，可判定C不正确；结合基本不等式，可判定D

正确.

【详解】

对于A中，由,因为b<a<0，可得>0,6—a<0,

abab

所以L__L<o,即所以A不正确；

abah

对于B中，由a/?-/=。（〃一切，因为可得a。-/=。（〃一力）>0,

所以a/?〉片,所以B不正确；

对于C中，由hvavO，可得一/?>一。，

又由同=-4,四=一。，可得同<网，所以C不正确;

对于D中，因为匕<a<0,可得2>0,乌>0,则2+022,2乂0=2,

abah\ab

当且仅当2=/时・，即。=b时等号成立，

ah

又因为疝b,所以2+q>2,所以D正确.

ab

故选：D.

32.设加=^^-4=（百）'",「=3而（其中0<x勺），则M,N,P的大小顺序是（）

A.P<N<MB.N<P<M

C.P<M<ND.M〈N〈P

【答案】A

【分析】

利用基本不等式证明可得.

【详解】

M==Vy77=(6V=N

x+y

又N=(G「'=3万>3而=P，

：.M>N>P.

故选：A

33.已知正数〃，b满足Q+Z?=2勿?，则2〃+6〃的最小值()

A.6B.4+6C.10D.4+26

【答案】D

【分析】

由2a+6h=+结合基本不等式得出最小值.

【详解】

因为a+h=2"，所以‘+'=2

ab

所以2a+6b=［，+，］(a+36)=l+弛+/+324+26,当且仅当”=立±1,6+3时取等

b)ab26

故选：D

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是由2得出2a+66=a+3b）,进而由基本不等式进行求解.

ab

34.已知a>2Z?（a、beR）,函数/。）=田：2+X+2）的值域为［0,+8）,则也的最小值为（）

a-2b

A.&B.2C.4D.8

【答案】A

【分析】

运用分类讨论思想，根据一次函数、：次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

当。=0时，/（x）=x+2b为一次函数，值域为R,不符合题意；

当时，/（外=必2+彳+2。为二次函数，又值域为［0,+8）,则。＞0,

由题意可知A=F一4a.28=0，得加=1,则匕＞0,

I1

则a2+4/?2(a-26尸4ab

+=(a—2加+」一N2{a-2b}•—2—二&，

a-2ba-2ba-2ba-2b

当且仅当Ja—2匕=-时等号成立,

2

故选：A

33

35.设内均为正实数，且一+不i,则x+y的最小值为（）

A.8B.16C.9D.6

【答案】A

【分析】

33

根据题中条件，将所求式子化为x+y=［（2+x）+（2+y）｝------1------4,展开后，再利用基本不

(x+2y+2j

等式，即可得出结果.

【详解】

33

因为均为正实数二十与=1,

331

所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x)+(2+y)}------1------

(x+2y+2j

3(2+5+2]y+2x+2y+2x+2

-4>32+2一4=12-4=8,当且仅当-5二工聪’即

、元+2y+2.x+2y+27

x=y=4时取等号.

因此x+y的最小值为8.

故选：A.

【点睛】

易错点睛:

利用基本不等式求最值时•，要注意其必须满足的三个条件:

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

36.下列关于实数4*的不等式中，不恒成立的是（）

1222

A.a+b>2abB.a+b>-2ab

0.（审jzMD.（等］“加

【答案】D

【分析】

根据重要不等式和基本不等式可选出答案.

【详解】

由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立

当a=1,b=-1时>-ab不成立，

故选：D

37.若正数a,b,。满足。2+4反+2"+8出?=8，则。+2人+C的最小值为（）

A.6B.273C.2D.2夜

【答案】D

【分析】

2

将a+2b+c平方后展开，利用基本不等式可得a?+4b>4ab，结合已知条件即可求解.

【详解】

因为+4bc+2ac+Sab=8>

所以（a+2人+op=a?+4b2+c2+4ab+lac+Abe

>2yla2-4h'+c2+4ab+2ac+4hc

=4ab+c2+4ab+lac+Abe

=c1+4bc+2ac+Sab=8，

所以a+2b+cN2>/2，

当且仅当/=4^，即。=幼时，等号成立，a+2b+c取得最小值.

所以a+2Z?+c的最小值为20，

故选：D

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件

(1)“一正二定三相等'"‘一正''就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

38.已知实数o>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,顺a+l)S+2)的最小值为()

A.24B.3屈+13C.972+13D.25

【答案】D

【分析】

通过题目的等式关系消元，再利用基本不等式求解.

【详解】

因为-〃-2b-2=0

所以'---,又。>0,。>0,所以0--->0,所以。>2

CL—2Q—2

。+214

又6=----=IH-----

。一2a-2

所以(。+1)(/?+2)=cih+2a+Z?+2=a+2Z?+2+2a+/?+2=3。+3b+4

=3«+-^-+7=3(«-2)+-^-+13>2j3(<7-2).-+13=25

a-2a-2Va-2

1?

当且仅当3(a-2)=--即a=4时等号成立

即(a+l)(b+2)的最小值为25

故选：D.

39.已知x>0,y>0,且x+3y-5冲=(),则3x+4y的最小值是()

A.4B.5C.6D.9

【答案】B

【分析】

if13、

因为3x+4y==-+-(3x+4y),展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.

51yx)

【详解】

由x+3y-5xy=0,

13「

得一+一=5,

yx

引3+旦+乜4为3+2/^叵)=5

所以3x+4y=——"F—|(3x+4y)

51yx)5(yx)5Vj%

当且仅当x=l,y=g,取等号.

故选：B.

2ci

40.已知。>0,/?>0,a+b=2,则一+—()

ab

A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值3D.有最大值3

【答案】C

【分析】

2a22-b22,1,(22]

已知条件可化简为：—1--T=—1--:—=—■―1--(^+^)一十丁一1，利用基本不等式求解即可.

ababab2\ab)

【详解】

因为a+/?=2,所以。=2—

-2a22-b22517<22、1

所以—I—=—I----=—I----1=—(Q+Z?)—I——1

ababab21a。J

1ZQ12\j

=^2+2+—+^--1>4(4+4)-1=3(当且仅当“=]时等号成立).

2(ab)2

故选：C.

二、多选题

41.已知。>0,/?>0,〃+/?="贝ij()

A.a+2b>3+2>/2B.2a+2b>8

11rr

C.cibH---25D.-f=H—T=v2

ab4a4b

【答案】ABD

【分析】

根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解.

【详解】

对于A,因为a+b=a匕,所以工+1=1,

ab

从而°+2匕=（4+2匕）［1+；［=3+丝+：23+2/丝・*=3+2近，正确.

对于B,因为,所以4+8〈（岁），解得0+8之4，

所以2"+2"22j2".2b=26行226=8，正确.

对于C,令而=f（/24）,+在［1,+8）为增函数，

］7117

所以〃。在［4,十⑹上单调递增，从而/①之彳，即"+版21，错误.

对于D,因为+<2f-+->|=2,所以+正确.

\\Ja\JbJ\abJ7a7b

故选：ABD

42.若a>（）,b>0,a+b=2,则下列不等式中对一切满足条件的。，b恒成立的有（）

A.ab<1B.a+/?W2C.a2+b2>2D.—l—2>/2

ab

【答案】ABC

【分析】

利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.

【详解】

解：对4选项：：a>（）,h>0,a+h=2,

2=a+h>24ah即砧<1（当且仅当a=。时等号成立），故A选项正确；

对8选项：•.•。+/?=2,而242成立,

。+/?<2成立，故8选项正确；

对。选项:

.•./+〃22（当且