面积法-几何-教师版

几何（三）：面积

面积法及等积变换有着广泛的应用，可用于求积，有关面积的不等式和极值，平面几何

证明和等积作图。所用的方法主要有：

1.恰当把图形分成若干部分（即割补法）求面积；

2.用面积方法证明线段（或角）相等、不等或比例关系；

3.把两个三角形面积的比转化为高和底边乘积的比。

例1.求证：正八边形的面积等于它最长的对角线与最短的对角线的乘积;

如图所示

例2.如图1,三角形ABC的面积为1,BD.DC=2A,E是AC的中点，AD与BE相交于点

P,那么四边形PDCE的面积为.

连结PC

例3.如图，把ABC的各边按顺时针方向延长一倍，得DEF,求证：S.=7S

例4.已知在ABC的各边AB、BC、CA上分别取AD、BE、CF,使之各等于边长得三分之

一，求证：sDEF=h

ABC'

例5.如图，四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，求证：四边形DEBF的面

积是四边形ABCD的一半。

例6.求证：四边形各边的中点依次连结成的四边形，其面积是原四边形面积的一半;

例7.在任意四边形ABCD中，E、F和G、H分别把AB、CD三等分，连结EH和FG把ABCD

SEFGH=TSABCD

分成三个小四边形，求证：3

《数学奥林匹克知识篇》194页

例8.在任意四边形ABCD中，E、F、G、H和I、J、K、L分别把AB、CD五等分，连结

SEGKJ=T^ABCD

ELFJ、GK、HL把ABCD分成五个小四边形，求证：5

在四边形ADKG、EILH、FJCB四边形中分别运用上述结论，就能得到。

例9.在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米。三角形GEC的面积是20平方厘米,

三角形GFD的面积是16平方厘米。那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

解。设AG=a厘米，BG=6厘米。则

面积5AAGE=L5。,面积SAEDC=3(。+b),

面积SAGBC=4.5b,面积S长方形ABCD=9(。+b).

所以9(a+6)-[1.5a+3(a+b)+4.5b]=20

即4.5a+1.5b=20(1)

以及，

面积5AAGO=4.5。,面积5A=3(。+6),

面积SAGBF=L54所以，

9(a+b)-[4.5a+3(a+b)+1.5b]=16,

即L5a+4.58=16.....(2)

由(1)和(2)得到，。+匕=6,因止匕，长方形ABCD的面积=9x6=54(平方厘米)。

解2。

AB=BC=AE+ED=3+6=9.

分别向长方形ABCD外作梯形AQSD和BPRC使得AQ=AG,BP=BG,SD=CD=CR.

SAGEC=SAQES=20,SAGFD=S«PFR=16.设CD=AB=AG+BG=x.

贝S梯形P0SR=S梯形EFP0+S梯形EFRS+SKQES+APFR.

即g(2x+3x)x9=g(2x+x)x3+g(3x+x)x6+20+16,

.4533

整理得了尤=5%+36,6x=36,x=6.SABCD=9x=54.

例10.如图：AB。的面积为1,D、E为AB边上的三等分点，F、G为BC边上的三等

分点，求四边形FGIH的面积；

《希望杯数学竞赛培训教程初一年级》120页

例11.在ABC内有点P,分别连接并延长AP、BP、CP交BC、AC、AB于D、E、F

S「5尸

(1)证明:_AE.

SBCPEC

AECDBF

(2)证明:

~EC~BD~FA~

PDPEPF

(3)证明：----1----1---

ADBECF

第一问比较简单，第二问用第一问的结论，得到赛瓦定理

第三问《希望杯数学竞赛培训教程初一年级》114页例9

例12.过四边形ABCD的定点A,求作一直线，分原四边形为等积的二部分;

先把四边形ABCD等积变换为三角形ADE,然后做DE的中点即可。

练习题

1、若一个三角形的底边a增加3厘米，该底边上的高h减少3厘米后面积保持不变,

那么h-a=________厘米；《希望杯数学竞赛培训教程初一年级》129页1

、如图，若Sf则等于；《希望杯数学竞

2S=1，=SDFC=S，SADE

赛培训教程初一年级》129页2

3、正方形ABCD的面积是1平方厘米，EF=2BF,则S等于；《希望杯数学竞

赛培训教程初一年级》130页3

4、P为三角形ABC内一点，AP、BP、CP分别与对边交于D、E、F,把三角形ABC分成六

个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，那么三角形ABC的面积为；

《金牌之路》94页

A

5、正方形ABCD的边长为4厘米,E是AD的中点,F是EC的中点,BD为对角线，那么BDF

的面积为多少？

迎春杯15届训练题24题

6、（仿例6）求证：凹四边形ABCD各边的中点依次连结成的四边形EFGH,其面积是原四

边形ABCD面积的一半；

7、过三角形ABC的AB边上一点P,求作两条直线，分原三角形为等积的三部分;

8、长方形ABCD中，EF与BC平行，HG与AB平行，且长方形AEOH、HOFD、OGCF的面积

分别为9、