高中数学《等差数列的性质》导学案

第2课时等差数列的性质

卜课前自主预习

1.等差数列的性质

（1）等差数列通项公式的推广

通项公式通项公式的推广

+(〃-1)4an—am+(〃—m)d

（揭示首末两项的关系）（揭示任意两项之间的关系）

（2）等差数列项的运算性质

若n,p,q£N*）,则a,"+a”=I®

①特别地，当m+n=2k（m,n,ZGN*）时，am+an=I—I2m.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，

即。1+。"=。2+Un-\_—■"—Clk^On^k+X—

2.等差数列的常用结论

（1）若数列｛雨｝是公差为d的等差数列，则下列数列：

①｛c+z｝（c为任一常数）是公差为画红的等差数列.

②｛c&｝（c为任一常数）是公差为理_过的等差数列.

③｛a“+a〃+Q（Z为常数，kWN*）是公差为画组的等差数列.

（2）若数列｛小｝,数列｛儿｝分别是公差为由,右的等差数列，则数列｛〃即十曲｝（p,

q是常数）是公差为理皿工道的等差数列.

（3）等差数列｛而｝中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新

数列仍然是画等差数列.

京］自诊小测

1.判一判（正确的打“J”，错误的打“义”）

（1）在等差数列｛斯｝中,若"?+〃=r,m,n,rGN*,则加+斯=m.（）

（2）若数列｛小｝是等差数列，则m,。3,公，ai,“9是等差数列.（）

(3)两个等差数列的和仍是等差数列.()

答案⑴*(2)7(3)7

2.做一做

(1)(教材改编P39T5)已知等差数列｛。"｝中，。2+。4=6,则41+42+。3+&4+。5

=()

A.30B.15

C.5^6D.10^6

(2)在等差数列｛如｝中，43=2,公差d=—l,则aio=.

(3)若等差数列｛a”｝中,as=a,a\o=b,则ai5=.

答案(1)B(2)-5(3)2。一。

解析(I)二.数列｛m｝为等差数列，

(22+Q455

••a\+。2+〃3+。4+。5=(。1+。5)+(。2+。4)+=］(。2+。4)=］义6=15.

卜课堂互动探究

探究1等差数列的性质应用

在等者数列、

中，咱俩是1若m+n=p+q

和的等后关J则Q-十a二%«5.

例1等差数列｛。?｝中，。1+3〃8+。15=120,则2〃9—00的值是()

A.20B.22

C.24D.-8

答案C

解析解法一：由ai+3。8+。15=120,可得5m+35d=120,即ai+7d=24,

又2制—aio=ai+7d,所以2a9—aio=24.

解法二：因为。1+3。8+。15=5。8=120,所以08=24,而2。9一。10=。1()+。8

-Q10=。8=24.

［变式探究］若本例中条件不变，求。3+03的值又如何？

解由例题解知，48=24,由等差数列的性质知〃3+防3=2。8=48.

拓展提升

等差数列性质的应用技巧

(1)适用情景

已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项.

(2)常用性质

利用已知加，〃，p,qdN",若机+〃=p+q,则。川+。"=即+的或若〃?+〃

=2r,则0"+&=2小将题目条件转化.

【跟踪训练11(1)已知｛跖?｝为等差数列，。4+。7+。10=30,则43—2(75的值

为()

A.10B.-10

C.15D.-15

(2)等差数列｛“”｝中，已知。2+。3+。10+。11=36,则。5+。8=.

答案(1)B⑵18

解析(1)；44+。7+。10=3。7=30,.,.47=10,

而43—2a5=43-(。3+。7)=­。7=-10.

(2)解法一：根据题意，有

(tzi+t/)+(ai+2J)+(ai+9J)+(ai+10J)=36,

，4ai+22d=36,则2m+lld=18.

而05+08=(0+4⑨+(ai+7J)=2ai+114,因此，tzs+tzs—18.

解法二：根据等差数列性质,可得675+〃8=。3+。10=。2+。11=36+2=18.

探究2灵活设项求解等差数列

例2(1)三个数成等差数列，它们的和为21,它们的平方和为155,求这三

个数；

(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个

数.

解(1)设这三个数为a~d,a,a+d.

[a-d+a+a+d=21,

则〈

[(«—</)2+/+5+幻2=155,

。=7,。=7,

解得或'

4=2d=—2

,这三个数为5,7,9或9,7,5.

(2)设这四个数为a—3d,a~d,a+d,a+3d,

[a—3d+a—d+a+d+a+3d=28,

则,

[(a—J)(a+J)=40,

a=7,

解得《

d=3

.,.这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.

拓展提升

常见设元技巧

(1)当等差数列的项数〃为奇数时，可设中间一项为再用公差为d向

两边分别设项：…，a—2d,a-d,a,a+d,a+2d,….

(2)当等差数列｛m｝的项数〃为偶数时，可设中间两项为a-d,a+d,再以公

差为2d向两边分别设项：…，a—3d,a-d,a+d,a+3d,…，这样可减少计

算量.

【跟踪训练2】已知单调递增的等差数列他〃｝的前三项之和为21,前三项

之积为231,求数列｛如｝的通项公式.

解解法一：根据题意，设等差数列｛〃”｝的前三项分别为a\,a\+d,ai+2J,

[ai+(«i+<Z)+(ai+2J):=21,

则1

[ai(ai+</)(ai+2J)=231,

|"3ai+3d=21,

即V一

[ai(ai+J)(ai+2</)=231,

ai=3tzi=11,

解得或《

d=4d=~4.

因为数列｛a〃｝为单调递增数列,所以Ia”i：=％3

从而等差数列｛a”｝的通项公式为z=4〃-1.

解法二：由于数列｛&〃｝为等差数列，因此可设前三项分别为a-d,a,a+d,

(a—0+a+(a+6?)=21

由题意得

(a—d)a(a-\rd)=23i,

3。=21,€1=7、a=7,

即解得或<

.(。2一d)=231,、d=4J=-4.

由于数列｛&｝为单调递增数列，因此匕一

ld=4,

从而«n=4/?—1.

探究3等差数列的综合应用

例3在△ABC中,若Ig(sinA),Ig(sinB),Ig(sinC)成等差数列，并且三个

内角A,B,。也成等差数列，试判断该三角形的形状.

解由A,B,C成等差数列，得23=A+C,又4+8+。=兀，

兀

•.35=71,..B=y

Vig(sinA),lg(sinB),1g(sin。成等差数列,

/.21g(sinB)=lg(sinA)+lg(sinQ,

3

即sin2B=sinAsinC,sinAsinC=^.

又cos(A+C)=cosAcosC—sinAsinC,cos(A—C)=cosAcosC+sinAsinC,

/.sinAsinC=—；［cos(A+Q—cos(A—C)1.

1-3

--27r--

2s4

-3

.•q+/cos(A—C)=木

cos(A—C)=1.

A—C£(—兀,兀),

TT

.'.A—C=O,即A=C=1,

：.A=B=C.

故△ABC为等边三角形.

拓展提升

等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角

恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关

问题.

【跟踪训练3](1)若关于x的方程X2—x+a=O和x+8=()(aW勿的4

个根可组成首项为+的等差数列，则的值为()

311

A-8B-24

八13「31

「—o—

口2472

(2)在等差数列｛&〃｝中，0+04+07+…+。97=10,。2+。5+。8+…+〃98=20,

贝lj。3+。6+。9+・・・+。99=.

答案(1)D(2)30

解析(1)设4个根构成的等差数列为伍〃｝.由于两方程对应二次函数«T)=

x1—x+a,g(x)=f—x+Z?的对称轴均为1=3.由根的对称性可判断，与44是同

一方程的根，。2与。3是另一方程的根.

于是，a\+a4=\,又ai=/所以"4=/则公差d=Q(a4—ai)=不于是“2

5735731

五，43=五，所以a+b=ma4+a2a3=布+五乂五=

72,

(2)设等差数列｛a”｝的公差为d,则。2+。5+磁+…+<298=01+04+07+…+

097+334,又41+“4+07+…+。97=10,及+公+制+…+498=20,

.\33J=10.

43+。6+“9+…+。99=(42+。5+。8+…+。98)+331=20+10=30.

探究4等差数列的实际应用

例4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市

场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司

不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

解由题意可知，设第1年获利为a\,第n年获利为an,则a,—an-\=—

20(心2,〃£N*),每年获利构成等差数列{0},且首项为m=200,公差d=一

20,所以a”=ai+(〃-1)XJ=200+(n-1)X(-20)=-20/?+220.

若a”<0,则该公司经销这一产品将亏损，由a”=—20〃+220<0,解得〃>11,

即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.

拓展提升

解决等差数列实际问题的步骤

(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；

(2)构建等差数列模型，由条件确定ai,d,n,a,,;

(3)利用通项公式或等差数列的性质求解；

(4)将所求问题还原到实际问题中.

【跟踪训练4】如图所示，三个正方形的边A3、BC、6的长组成等差数

列，且AD=21cm,这三个正方形的面积之和是179cm2.

(1)求48、BC、CD的长；

(2)以A3、BC、CO的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的

面积是多少？

解⑴设公差为d(办0),BC=x,

则AB=x—d,CD=x+d.

由题意得][(QL—〃J)++xe++(x(+Ht/4)==2]17,9,

x=l,x=7,

解得或(舍去).

d=4J=—4

所以AB=3(cm),BC=7(cm),CD=11(cm).

(2)正方形的边长组成首项是3,公差是4的等差数列｛斯｝,所以aio=3+(lO

—1)X4=39.

4/TO=392=1521(cm2).

所求正方形的面积为1521cm2.

IKt;r"“rr、，“z〃

［规律小结］

1.等差数列的公差与斜率的关系

(1)一次函数式x)="+b/W0)的图象是一条直线，斜率二，

(XIWx2).

当左=0时，对于常数函数«r)=A,上式仍然成立.

(2)等差数列｛”“｝的公差本质上是相应直线的斜率.

如丽,。〃是等差数列｛&｝的任意两项，由m=即+(〃-〃2)比类比直线方

程的斜率公式得廿江

n-m

2.等差数列的“子数列”的性质

若数列他”｝是公差为d的等差数列，则

(1)(出｝去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；

(2)奇数项数歹(］｛磁"一|｝是公差为2d的等差数列；

偶数项数列仅2"｝是公差为2d的等差数列；

(3)若｛%”｝成等差数列，贝I｛。如｝也是等差数列；

(4)从等差数列｛斯｝中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差

可能也随之发生变化.

3.等差数列两项和的性质

若｛小｝为等差数列，若/n+〃=〃+g,则0"+。”=即+的，特别地，若〃z+

1

n=2p,则am-\-an=2aP.｛m,n,p,<7GN'')

［走出误区］

易错点■＞弄错等差数列中项的序号而致误

［典例］已知等差数列｛〃〃｝中,〃9+。10=〃，。19+。20=〃，则-99+000=

()

A.Sa~9bB.9〃+8。C.9b—SaD.Sh—Ja

［错解档案］选D,令09+010=61,。19+及0=历,则bi,hi,b3,bg

构成新的等差数列，〃99+ai(x)=Z?9=〃i+8d=a+8(Z?—。)=8"一7a

［误区警示］由已知条件中项的下标的关系，构造出新的等差数列｛瓦｝,

而。99+。100应为bio,本题弄错项数致误.

［规范解答］C

解法一•：由上述分析可知099+0100=历o=》i+9d=9〃-8a

解法二:将相邻两项和〃1+〃2,〃3+〃4,。5+。6,…，.99+。100分别记为

bi,bi,加，Ao,

可知｛d｝为等差数列，设此数列的公差为"，

,/?io—Z?5b~a

则d=京彳=丁.

b-a

/.。99+moo=〃5。=力5+45d=a+-X45=9〃——8a.

［名师点津］(1)熟练掌握等差数列的性质，尤其是对各项的下标存在的关

系以及所具有的性质的掌握；

(2)在解答有关等差数列的问题时，要明确数列所求的项与已知条件之间的

关系.

卜随堂达标白测

1.等差数列｛如｝中,<764-09=16,04=1,则。11=()

A.64B.30

C.31D.15

答案D

。6+49=16,2a\+13d=16,

解析解法「

+3d=1,

a\=-5,.

d=2.・•。11=。［+1Od=15.

解法二：•16+9=4+11,/.s+aii=。6+。9=16,

・•1=15.

2.若｛〃〃｝为等差数列，且41+。4+。7=45,。2+。5+。8=39,则。3+。6+。9=

A.39B.20

C.19.5D.33

答案D

解析.+04+47=3。4=45,

•・44=15,•。2+。5+。8=3。5=39,••。5==13,••d=:ci5—。4==-2,M=asH-

d=\\,.,.。3+。6+。9=3。6=3乂11=33.故选D.

3.已知华一2%+机Xf—Zx+zOnO的4个根组成首项为1的等差数列，则|〃2

―川=.

答案2

解析由已知设4个根分别为(，(+d,1+2J,1+3J,且(+1+3d=：+d

1113571

+彳+2"=2,解得d=],・••这4个数分别为不不4,不由韦达定理知：机=4

又不〃=?不或〃尸任〃=记，，同一川=记一记=2.

4.设数列｛&｝,｛瓦｝都是等差数列,且ai=25,—=75,。2+4=100,则。37

+加7等于.

答案100

解析设｛。"｝、｛—｝的公差分别为公,d2,(«n+1+bn+1)—(an+bn)=(fln+1—

an)+3”+1-bn)=d\+d2,

.•.｛期+a｝为等差数列，

又''a\+历=02+62=100,/.437+加7=100.

5.成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四

个数.

解设这四个数为。一3d、a~d,a+d,a+3d,

a—3d+a—d+a+d+a+3d=26,

则由题意知

(a-J)(a+J)=40,

f13

a=E，

或J”3

W=一，

所以这四个数为2、5、8、11或11、8、5、2.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.如果等差数列｛。〃｝中，43+«4+。5=12,那么41+〃2+…+。7=()

A.14B.21

C.28D.35

答案C

解析:43+。4+。5=3。4=12,674—4.

又。1+。2+…+。7=7〃4=28.

2.已知等差数列｛〃〃｝满足+。2+43+…+。101=0,则有()

A.a\+d!ioi>OB.〃2+〃ioo<O

C.s+mooWOD.。51=0

答案D

解析由题设。1+。2+。3+—+。101=101。51=0,

・・。51=0.

3.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题

目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份

之和的;是较小的两份之和，则最小的1份为()

,5-10

A-3BT

-511

C6D.不

答案A

解析设五个人分得的面包为a—2d,a-d,a,a+d,a+2d,(J>0),则(a

—2J)+(a—①+a+a+d+a+2d=5a=100,.,.a=20,由;(a+a+d+a+2J)=a

—24+a—△得3a+3d=7(2a—3d),/.24J=lltz,/.t/—

最小的一份为a—2d=20—y叽。.故选A.

o3

4.在等差数列｛a“｝中，ai=0,公差dWO,若以=ai+&2+〃3+〃4,则女的值

为()

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析因为ai=0,4W0,.,.ai+a2+a3+a4=4czi+6d=6d=a7.故选B.

二'填空题

5.已知等差数列｛“”｝满足ai=l,公差为d,03>0,当且仅当〃=3时，|叫取

得最小值，则公差d的取值范围是.

答案(44)

解析V^>0,当且仅当”=3时|编取最小值，

fl+2c/>0,

/.(24<0,且。4+。3<0,1+3d<0,

ll+2J+l+3J<0,

12

解得一2<"<一亍

6.若｛如｝是等差数列，05=8,060=20,则075=.

答案24

4

解析：460=05+45",."=百，.•.475=060+151=20+4=24.

7.如果有穷数列a\,a2,…，am(m为正整数)满足条件:a\=am,az=am-

i,…，a,n=ax,则称其为“对称”数列.例如数列125,2』与数列8,4,2,4,8都是

“对称”数列.已知在21项的“对称”数列(6｝中CU,C12,…，C21是以1为首

项，2为公差的等差数列，则◎=.

答案19

解析因为Cll,C12,…，C21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以C20

=cu+9d=1+9X2=19,

又｛(:”｝为21项的对称数列，所以C2=C20=19.

三、解答题

8.等差数列｛为｝的公差d#0,试比较a4a9与”6。7的大小.

解设a”=ai+(〃-l)d,则a4a9—a6a7=(ai+3i/)・(ai+8t/)—(ai+5J)(ai+6i/)

=(a?+1laiJ+24i/2)—(a?+1l<2iJ+SOt/2)

=—6<72<O,所以。4。9<。6。7.

9.四个数成等差数列，其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个

数与第三个数的积少18,求此四个数.

解设四个数为a—3d,a—d,a-\~d,a+3d.

据题意得，(a—3t/)2+(a—J)2+(a+d)~+(a+3d)2=94=>2a2+10J2=47.(T)

37

又(a—3J)(a+3i/)=(a—d)(a+J)—18今8砂=1804=±5代入①得a=±,

故所求四数为8,5,2,—1或1,—2,—5,—8或一1,2,5,8或一8,—5,—

2,1

10.已知数列｛z｝满足z+i=a_（〃GN"）,且ai=0.

JUn

⑴求“2,。3的值;

（2）是否存在一个实常数九使得数列为等差数列，请说明理由.