苏教版初升高一初数学预习专题01绝对值与绝对值不等式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

专题01绝对值与绝对值不等式专题专题综述课程要求初中对于绝对值的讲解相对较少，只需要明白不等式的定义以及简单的性质运用。相较于初中的不等式学习，高中的要求相对上升不少，这也是一部分学生升入高中以后觉得高中数学“难”的原因。本专题会根据初高中的知识进行比较，找到联系。从而能够适应高中教学。课程要求课程要求《初中课程要求》1、借助数轴初步理解绝对值的概念及表示方法；2、体会绝对值的作用与意义；3、能熟练掌握有理数绝对值的求法和有关的简单计算。《高中课程要求》1、理解绝对值的几何意义；2、了解绝对值不等式成立的几何意义以及等号成立条件；3、会利用绝对值的几何意义求解部分不等式。知识精讲知识精讲初中知识储备：绝对值初中知识储备：绝对值备：绝对值绝对值的定义：数轴上，一个数到原点的距离叫这个数的绝对值。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离,所以代表的是点与点之间的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a−b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．(一定要注意中间的符号典例剖析典例剖析例题1．（1）（阅读理解）“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：①“”可理解为；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为和．我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）（理解应用）根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：①不等式的解集是．②不等式的解集是．（3）（拓展应用）解不等式，并画图说明．变式训练变式训练1.在数轴上，A、B两点的数分别用a、b表示，如果，，请你在给定的数轴上，（1）画出B点可能的位置，并标上字母；（2）计算A、B两点的距离为多少？能力提升能力提升1.已知点M，N在数轴上分别表示m，n，动点P表示的数为x．（1）填写表格：m2n62M,N两点间的距离4_____________（2）由表可知，点M，N之间的距离可以表示为，则可以看成是表示为x的数到2的距离，若数轴上表示数x的点位于2与之间（包含2和），那么①_______．②的最小值=_______．（3）的最小值=________．对点精练对点精练1．下列说法正确的是（）A． B．若取最小值，则C．若，则 D．若，则2．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．23．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（）A． B． C． D．4．已知，且，则的值为（）A． B． C．或 D．或5．已知，则化简代数式的结果是（）A． B． C． D．6．若x＜2，且，则x＝_______．7．有理数a，－b在数轴上的位置如图所示，化简|1－3b|－2|2＋b|＋|2－3a|＝_____．8．如图，有理数在数轴上的对应点为，已知，且为正整数，则的值可以是______．9．在中，若两直角边，满足，则斜边的长度是______．10．已知a，b，c是三角形的三边长，化简________．11．已知，ABC三条边的长分别为．（1）若，当ABC为等腰三角形，求ABC的周长．（2）化简：．12．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．例1解方程．解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．例2解不等式．解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为______；（2）解不等式；（3）若，则的取值范围是_______；（4）若，则的取值范围是_______．13．在学习有理数时时我们清楚，表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x一5|也可以理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．（1）分别计算，的值．（2）如图，x是1到2之间的数(包括1，2)，求的最大值．14．已知a，b，c满足，请回答下列问题：（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．15．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．专题01绝对值与绝对值不等式专题专题综述课程要求初中对于绝对值的讲解相对较少，只需要明白不等式的定义以及简单的性质运用。相较于初中的不等式学习，高中的要求相对上升不少，这也是一部分学生升入高中以后觉得高中数学“难”的原因。本专题会根据初高中的知识进行比较，找到联系。从而能够适应高中教学。课程要求课程要求《初中课程要求》1、借助数轴初步理解绝对值的概念及表示方法；2、体会绝对值的作用与意义；3、能熟练掌握有理数绝对值的求法和有关的简单计算。《高中课程要求》1、理解绝对值的几何意义；2、了解绝对值不等式成立的几何意义以及等号成立条件；3、会利用绝对值的几何意义求解部分不等式。知识精讲知识精讲初中知识储备：绝对值初中知识储备：绝对值备：绝对值绝对值的定义：数轴上，一个数到原点的距离叫这个数的绝对值。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离,所以代表的是点与点之间的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a−b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．(一定要注意中间的符号典例剖析典例剖析例题1．（1）（阅读理解）“a”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“a≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2①“a<2”可理解为②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为和．我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|<m，|x|>m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）（理解应用）根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由上图可以得出：绝对值不等式x>1的解集是x<−1或x>1绝对值不等式x≤3的解集是−3≤x≤3①不等式x≥4的解集是②不等式|12x|<2（3）（拓展应用）解不等式x+1+【答案】（1）①数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；②-3；3；（2）①x≤−4或x≥4；②−4<x<4；（3）x<−1或x>3，见解析【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式x+1+x−3>4的解集，就是数轴上表示数x的点到表示−1与3的点的距离之大于4的所有x【详解】1①由题意可得，“a<2”可理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2．②使不等式“|a|>2”成立的整数为−3，3（答案不唯一，合理即可）．故答案为：−3，3．2①不等式x≥4的解集是x≤−4或x≥4故答案为：x≤−4或x≥4．②不等式|12x|<2故答案为：−4<x<4．3根据绝对值的几何意义可知，不等式x+1+x−3>4的解集就是数轴上表示数x的点，到表示−1与3的点的距离之和大于4如下图所示，

可知不等式x+1+x−3>4的解集是x<−1【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．变式训练变式训练1.在数轴上，A、B两点的数分别用a、b表示，如果a=−2，b=2（1）画出B点可能的位置，并标上字母；（2）计算A、B两点的距离为多少？【答案】（1）见解析；（2）2或6【分析】（1）根据绝对值的意义求出b值，在数轴上画出即可；（2）根据b值，利用两点间的距离计算方法计算即可．【详解】解：（1）∵a=-2，∴a=2∴b=2∴b=±4，画图如下：（2）如图可知：当b=-4时，AB=2，即A、B两点距离为2，当b=4时，AB=6，即A、B两点距离为6，∴A、B两点的距离为2或6．【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是要进行分类讨论．能力提升能力提升1.已知点M，N在数轴上分别表示m，n，动点P表示的数为x．（1）填写表格：m2−3−2n62M,N两点间的距离4_____________（2）由表可知，点M，N之间的距离可以表示为m−n，则x−2可以看成是表示为x的数到2的距离，若数轴上表示数x的点位于2与−6之间（包含2和−6），那么①x−2+②x−1+（3）x−1+【答案】（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050【分析】（1）利用有理数的减法分别计算，可填表；（2）①根据数轴上两点之间的距离得到x−2+②根据数轴上两点之间的距离得到x−1+x+2+（3）先分析出x−1+x+2+x−3+⋯⋯+【详解】解：（1）2-（-3）=5，（-2）-（-5）=3，填表如下：m2−3−2n62M,N两点间的距离453（2）①x−2+x−−6表示数轴上x∴x−2+②x−1+x+2+x+6表示数轴上x到1和∵表示数x的点位于2与-6之间（包含2和-6），∴当x与-2重合时，x−1+（3）x−1+x+2+∴当x=99+−1002=最小值为−=1.5+3.5+5.5+...+99.5=5050．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的意义，解题的关键首先是正确读懂题意，理解绝对值的意义，并和数轴相结合．对点精练对点精练1．下列说法正确的是（）A．|x|<x B．若|x−1|+2取最小值，则x=0C．若x>1>y>−1，则 D．若|x+1|≤0，则x=−1【答案】D【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．【详解】解：A．当x=0时，，故该项错误；B．∵x−1≥0，∴当x=1时|x−1|+2C．∵x>1>y>−1，∴x>1，y<1，∴D．∵|x+1|≤0且|x+1|≥0，∴|x+1|=0，∴x=−1，故该项正确；故选：D．【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．2．若x−a表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式|x−6|+|x−2|的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于2和6中间时，|x-6|+|x-2|取得最小值，即为数轴上2和6之间的距离．【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，∴|x-6|+|x-2|表示数轴上数x与6和数x与2对应的点之间的距离之和，∴当2≤x≤6时，代数式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值为|6-2|=4，故选：B．【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算a+b+A．b−1 B．−2a−b−1 C． D．−2a+b−1【答案】B【分析】先根据a、b在数轴上的位置，确定a+b和a+1的符号，去掉绝对值，然后进行化简即可．【详解】解：由a、b在数轴上的位置可得：a+b＜0，a+1＜0，∴|a+b|+|a+1|=-（a+b）-（a+1）=-a-b-a-1=-2a-b-1，故选：B．【点睛】本题主要考查数轴的性质，关键是要牢记数轴上的点从左到右依次增大，然后才能判断绝对值里面的符号，再去掉绝对值就可以化简了．4．已知x=4,y=5，且x>yA．−13 B．+13 C．−3或+13 D．+3或−13【答案】C【分析】根据已知条件判断出x，y的值，代入2x-y，从而得出答案．【详解】解：∵|x|=4，|y|=5且x＞y∴y必小于0，y=-5．当x=4或-4时，均大于y．所以当x=4时，y=-5，代入2x-y=2×4+5=13．当x=-4时，y=-5，代入2x-y=2×（-4）+5=-3．所以2x-y=-3或+13．故选：C．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出x，y的值是解答此题的关键．5．已知−1≤x≤2，则化简代数式|x−3|−2|x+1|的结果是（）A．1−3x B． C．−1−3x D．−1+3x【答案】A【分析】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣3＜0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【详解】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣3＜0，x+1≥0，∴|x−3|−2|x+1|=（3﹣x）﹣2（x+1）＝﹣3x+1；故选：A．【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．6．若x＜2，且1x−2+x−2【答案】1【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：1x−2+|x﹣2|+∵x＜2，∴方程为1x−2+2﹣x+即1x−2方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．7．有理数a，－b在数轴上的位置如图所示，化简|1－3b|－2|2＋b|＋|2－3a|＝_____．【答案】3a−4【分析】根据点在数轴上的位置可得−b=−3，即b=3；1<a<3【详解】解：根据点在数轴上的位置可得−b=−3，即b=3；1<a<3∴|1－3b|－2|2＋b|＋|2－3a|＝8−10+3a−2=3a−4，故答案为：3a−4．【点睛】本题考查绝对值的性质、有理数与数轴，根据点在数轴上的位置得到b=3和1<a<38．如图，有理数a在数轴上的对应点为A，已知b<a，且b为正整数，则b【答案】1【分析】根据数轴的定义可得−2<a<−1，从而可得1<a【详解】解：由数轴的定义得：−2<a<−1，∴1<∵b<a，且b∴b=1故答案为：1．【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的定义是解题关键．9．在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足10−2a+b−12【答案】13【分析】利用非负数的和为0，求出a与b的值，再利用勾股定理求即可．【详解】解：∵10−2a+b−12=0∴10−2a=0，b−12=0，∴a=5在RtΔABC中，由勾股定理得c=a2故答案为：13．【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理，掌握非负数的性质，勾股定理是解题关键．10．已知a，b，c是三角形的三边长，化简a−b−c−【答案】2c﹣2a【分析】根据三角形的三边关系、绝对值的非负性和二次根式的性质、整式的加减运算法则进行解答即可．【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，∴a﹣b＜c，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0，又a2=∣a∣∴a−b−c=﹣（a﹣b﹣c）﹣∣a+b﹣c∣=﹣a+b+c﹣（a+b﹣c）=﹣a+b+c﹣a﹣b+c=2c﹣2a，故答案为：2c﹣2a．【点睛】本题考查整式的加减运算、三角形的三边关系、绝对值的非负性、二次根式的性质，熟练掌握三角形的三边关系和绝对值的非负性是解答的关键，注意a2=∣a∣而不是a2=11．已知，△ABC三条边的长分别为a、b、c．（1）若a−22+b−4=0，当△ABC（2）化简：a−b−c−【答案】（1）△ABC的周长为10；（2）2b+2c．【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出三角形周长；（2）根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【详解】解：（1）∵a−22∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∵△ABC为等腰三角形，当2为腰时，则三边为2，2，4，而2+2<4，不能组成三角形，舍去；当2为底时，则三边为2，4，4，而2+4>4，能组成三角形，∴△ABC的周长为2+4+4=10；（2）∵△ABC三条边的长分别为a、b、c，∴a<b+c，，a+b>0，即a−b−c<0，a+b−c>0，∴a−b−c=−a+b+c−=−a+b+c−a−b+c+2a+2b=2b+2c．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，以及绝对值的计算，第(2)问的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．12．阅读下列材料：我们知道x表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即x=x−0，也就是说，x对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为x1−x例1解方程x=6解：∵x=∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为±6，即该方程的解为x=±6．例2解不等式x−1>2解：如图，首先在数轴上找出x−1=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为−1，3，则x−1>2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x<−1或参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程x−5=3（2）解不等式2x+2（3）若x−1+x+2=3（4）若y=x−1−x+2【答案】（1）x1=8,x2=2（2）【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；（2）将原式化解为x+2＜4，首先在数轴上找出x+2=4的解，即x=2或x=−6，则（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；（4）x−1表示数x到1的距离，x+2表示数x到-2的距离，y=x−1【详解】解：（1）∵x−5∴x−5=±3解得：x1故答案为：x1（2）22x+2＜4首先找x+2=4即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，x+2＜4∴不等式解集为−6＜x＜2；（3）x−1+表示到1的点与到-2的点距离和为3，∵-2与1之间的距离为3，∴−故答案为：−2≤x＜1；（4）y=x−1x−1表示数x到1的距离，x+2表示数x到-2的距离，y=x−1−x+2表示数x当x在点1右边时，y=−3，当x在点-2左边时，，当x在-2到1之间时，−3≤y≤3，∴−故答案为：−3≤y≤3．【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．13．在学习有理数时时我们清楚，3−(−1)表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x一5|也可以理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．（1）分别计算8−(−3)，−3−5的值．（2）如图，x是1到2之间的数(包括1，2)，求x−1+【答案】（1）11；8；（2）3．【分析】（1）根据绝对值的含义分别计算即可得到答案；（2）根据1≤x≤2，可得x−1≥0,x−2≤0,x−3＜0,再化简绝对值，利用代数式的特点求解最大值即可．【详解】解：（1）8−(−3)=−3−5（2）当1≤x≤2时，∴x−1≥0,x−2≤0,x−3＜0,∴=x−1+2−x+3−x=4−x当x=1时，原式的最大值为3．【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．14．已知a，b，c满足|a+3|+b−1（1）直接写出a，b，c的值．a=_______，b=_______，c=_______．并在数轴上表示．（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．【详解】解：（1）∵|a+3|+b−1∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，∴a=-3，b=1，c=5，数轴表示如下：（2）①由题意可得：1.5秒后，点