备战2024年高考数学一轮复习3.2.1函数的性质(一)(精讲)(原卷版+解析)

3.2.1函数的性质（一）（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一单调区间（无参）【例1-1】（2022·贵州）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【例1-2】（2022·广东）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C．和 D．和【例1-3】（2022·湖北）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【例1-4】（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.【例1-5】（2021·云南昆明市）函数的单调增区间是【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上是减函数的为（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．5．（2021·天津静海区）函数的单调减区间为___________考点二已知单调性求参数【例2-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【例2-2】（2022·河南濮阳·一模）“”是“函数是在上的单调函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围温馨提示【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．3．（2022·重庆）已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2021·重庆市）已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________【答案】考点三奇偶性的判断【例3】（2022·广西）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．2．（2022·河南）下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（

）A． B．C． D．3．（2022·安徽）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数考点四奇偶性的应用【例4-1】（2021·河南）已知为奇函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【例4-2】（2022·河南洛阳）若函数是偶函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则的值是（

）A． B． C．1 D．22．（2022·江西）若函数为偶函数，则实数（

）A． B．3 C． D．93．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则，的值可能是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2021·河北）已知函数是上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______．考点五单调性与奇偶性应用之比较大小【例5-1】（2022·安徽·寿县第一中学）若为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（

）A． B．C． D．【例5-2】（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·天津河北·二模）已知是定义在R上的偶函数，且在区间单递调减，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2022云南德宏））已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，都有，，，，则（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．考点六单调性与奇偶性应用之解不等式【例6-1】（2022·安徽马鞍山）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例6-2】（2022·安徽·）已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·云南昭通）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2022·河南）已知定义在R上的函数为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．4．（2022·贵州遵义）若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3.2.1函数的性质（一）（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一单调区间（无参）【例1-1】（2022·贵州）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在函数中，由得或，则的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：B【例1-2】（2022·广东）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【解析】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.【例1-3】（2022·湖北）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，设，则，，函数是由和复合而成，当时，是减函数；若求的单调递增函数，只需求的单调递减区间，当时，为减函数，所以函数的单调递增区间是.故选：A.【例1-4】（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.【答案】【解析】函数，定义域为，又，因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，因此，解得.故答案为：【例1-5】（2021·云南昆明市）函数的单调增区间是【答案】【解析】要使函数有意义则，即函数定义域为，又，由一次函数的单调性可知函数在上单调递增.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，令，则，∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C2．（2022·福建）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，故选：A.3．（2021·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上是减函数的为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于选项A，在上无意义，不符合题意；对于选项B，在上是增函数，不符合题意；对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；对于选项D，在上是增函数，不符合题意.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，，解得，又函数在定义域内为单调增函数，且函数在内为单调增函数根据复合函数的单调性可知：的单调增区间为选项C正确，选项ABD错误.故选：C.5．（2021·天津静海区）函数的单调减区间为___________【答案】【解析】,当,即时原函数为减函数.故函数的单调减区间为.故答案为：考点二已知单调性求参数【例2-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得．因为在，上单调递增，在上单调递减，所以方程的两个根分别位于区间和上，所以，即解得.故选：A．【例2-2】（2022·河南濮阳·一模）“”是“函数是在上的单调函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意，函数是在上的单调函数，由于在上递增，所以在上递增，所以且，即.所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.故选:B【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在区间内有意义，则，设则，(1)当时，是增函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递增，则需使，对任意恒成立,即对任意恒成立；因为时，所以与矛盾，此时不成立.(2)当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以.综上，的取值范围是故选：B已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围温馨提示【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：故选：B2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】由题意，在恒成立，则，又，∴在恒成立，∴即在恒成立，∴，综上，或.故选：C.3．（2022·重庆）已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，其判别式，∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且，由，得，，∴，①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；②当时，，故，则，∵在上单调递增，∴在上也单调递增，，，由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，综上：实数的范围是.故选：D.4．（2021·重庆市）已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________【答案】【解析】令，当时，因为函数在上是减函数，所以函数在上是减函数，且成立，则，无解，当时，因为函数在上是减函数，所以函数在上是增函数，且成立，则，解得，综上：实数的取值范围是故答案为：考点三奇偶性的判断【例3】（2022·广西）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵函数为偶函数，A错，∵，∴

函数为偶函数，C错，∵，∴函数为奇函数，∵

当时，，时，，∴函数在定义域上不是单调递增函数，B错，∵，又函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，∴

函数既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对，故选：D.【一隅三反】1．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；对：容易知是偶函数，当时，，其在单调递增，在单调递减，故错误；对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；对：容易知是奇函数，故错误；故选：C.2．（2022·河南）下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，均为定义域上的奇函数，对于A：是偶函数，所以A错误；对于B：是奇函数，且，为单调递增函数，所以B正确；对于C：是偶函数，所以C错误；对于D：是奇函数，但不是单调函数，所以D错误故选：B．3．（2022·安徽）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】C【解析】是奇函数，是偶函数，，对于A，，故是奇函数，故A错误；对于B，，故是偶函数，故B错误；对于C，，故是奇函数，故C正确；对于D，，故是偶函数，故D错误.故选：C.考点四奇偶性的应用【例4-1】（2021·河南）已知为奇函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为为奇函数，所以，即．当时，，．故选：C【例4-2】（2022·河南洛阳）若函数是偶函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知，，所以，函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，所以，，所以，得，故选：A2．（2022·江西）若函数为偶函数，则实数（

）A． B．3 C． D．9【答案】D【解析】由题意，函数为偶函数，因为函数为奇函数，所以为奇函数，由，可得，解得.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则，的值可能是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于任意恒成立，则有，分析选项：C满足，故选：C．4．（2021·河北）已知函数是上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______．【答案】【解析】因为函数是上的奇函数，所以，又当时，，设，则，则，因为为奇函数，所以，所以，所以故答案为：考点五单调性与奇偶性应用之比较大小【例5-1】（2022·安徽·寿县第一中学）若为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由为偶函数且在上单调递减知：在上单调递增，，又，，，故，所以.故选：D.【例5-2】（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，令，，所以当时，，函数单调减，因为，所以，即.故选：A【一隅三反】1．（2022·天津河北·二模）已知是定义在R上的偶函数，且在区间单递调减，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数是定义在上的偶函数，可得，则，，，因为函数在区间上单调递减，且，，即，所以，即有，故选：D．2．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数定义域为，故函数为偶函数，所以，，又因为，当，，单调递增，当，，单调递减，所以，时，比较之间的大小，得到，且，所以，再比较和的大小，因为，，明显可见，，得到，根据的单调性，可得故选:A3．（2022·云南德宏））已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，都有，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对任意，，都有，所以在上单调递增，又函数是定义在上的偶函数，所以因为，又所以，又，所以，所以所以.故选：D.4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.记.因为，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.所以.记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.所以.综上所述：.故选：C考点六单调性与奇偶性应用之解不等式【例6-1】（2022·安徽马鞍山）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】偶函数在上单调递增，则在上单调递减，而，因，则当时，，即，解得，当时，，即，解得，所以不等式的解集为.故选：B【例6-