2024年高考数学第一轮复习讲义第八章8.7　向量法求空间角(学生版+解析)

§8.7向量法求空间角考试要求能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝__________.2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝____________.3．二面角(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝__________________________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.()教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为()A．30° B．60°C．120° D．150°2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β所成锐二面角的正切值为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(9,4)C.eq\f(4\r(65),65) D.eq\f(\r(65),4)题型一异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq\f(3\r(2),10)，则λ的值为______．题型二直线与平面所成的角例2(12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长](2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三二面角例3如图①，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图②，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面PAQ；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若BE＝2AE，求二面角A－BQ－C的余弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．跟踪训练3(2022·贵阳模拟)如图，AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，PA为圆柱OO′的一条母线，且AP＝AC.(1)证明：AB⊥PD；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若∠AOD＝eq\f(π,3)，求二面角D－PC－B的正弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§8.7向量法求空间角考试要求能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．二面角(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(√)(4)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.(×)教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析由于cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案C解析因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝eq\f(s1·s2,|s1||s2|)＝eq\f(－1－2,\r(2)×3)＝－eq\f(\r(2),2).所以直线l1和l2所成角的余弦值为eq\f(\r(2),2).3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β所成锐二面角的正切值为()A.eq\f(4,9)B.eq\f(9,4)C.eq\f(4\r(65),65)D.eq\f(\r(65),4)答案D解析设平面α与平面β所成锐二面角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(4,9)，则sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2)＝eq\f(\r(65),9)，所以tanθ＝eq\f(\f(\r(65),9),\f(4,9))＝eq\f(\r(65),4).题型一异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，∴AA1＝eq\r(3)，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，eq\r(3))，C(0,1,0)，D1(0,0，eq\r(3))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1，eq\r(3))，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(CD1,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(CD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(4)×\r(4))＝eq\f(1,2).又0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)答案A解析因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，所以∠BOD＝eq\f(π,3)，连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2eq\r(3))，D(eq\r(3)，1,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，3,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，－2,2eq\r(3))，设异面直线AD与BC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－6|,2\r(3)×4)＝eq\f(\r(3),4)，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(3),4).思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．答案eq\f(1,4)解析设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0，eq\r(3))，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(eq\r(3)，0,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－1，－eq\r(3))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1,0)，设异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×2)))＝eq\f(1,4)，所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为eq\f(1,4).(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq\f(3\r(2),10)，则λ的值为______．答案eq\f(1,3)解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，∴eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2λ，0，－2)．∴|cos〈eq\o(A1F,\s\up6(→))，eq\o(D1E,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(A1F,\s\up6(→))·\o(D1E,\s\up6(→))|,|\o(A1F,\s\up6(→))||\o(D1E,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(λ2＋1)×\r(5))＝eq\f(3\r(2),10)，解得λ＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)舍去)).题型二直线与平面所成的角例2(12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长](2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．(1)证明取AB的中点M，连接PM，DM，如图，因为PA＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM⊂平面PDM，所以AB⊥平面PMD，又PD⊂平面PMD，所以AB⊥PD.(2)解连接CM，则CM⊥AB，由AC＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝AB＝4，可得CM＝2，PM＝2eq\r(3)，于是CM2＋PM2＝16＝PC2，所以PM⊥CM，又PM⊥AB，AB∩CM＝M，MC，AB⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，以M为原点，MC，MB，MP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2eq\r(3))，由题意知∠CMD＝120°，可得D(－1,0，eq\r(3))，平面PAB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(－1，－2，eq\r(3))，λ∈[0,1]，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2－λ，2－2λ，eq\r(3)λ)，设CE与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(CE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(2＋λ,1·\r(－2－λ2＋2－2λ2＋\r(3)λ2))，令2＋λ＝t，t∈[2,3]，则λ＝t－2，所以sinθ＝eq\f(t,\r(t2＋6－2t2＋3t－22))＝eq\f(1,\r(\f(48,t2)－\f(36,t)＋8))，令f(t)＝eq\f(48,t2)－eq\f(36,t)＋8，t∈[2,3]，由对称轴eq\f(1,t)＝eq\f(3,8)知，当eq\f(1,t)＝eq\f(3,8)，即λ＝eq\f(2,3)时，f(t)min＝eq\f(5,4)，则(sinθ)max＝eq\r(\f(4,5))＝eq\f(2\r(5),5)，于是(tanθ)max＝2.所以直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值为2.题型三二面角例3如图①，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图②，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求二面角A－BQ－C的余弦值．(1)证明由题设知OA，OB，OO1两两垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长为m，则O(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,6,0)，C(0,3,6)，D(3,0,6)，Q(6，m,0)．∵点P为BC的中点，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2)，3))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝(3,0,6)，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(0，m,0)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，m－\f(9,2)，－3)).∵eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝0，eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))⊥eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))⊥eq\o(PQ,\s\up6(→))，即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q，AQ，PQ⊂平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.(2)解∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝eq\f(1,2)OB＝3，则Q(6,3,0)，∴eq\o(QB,\s\up6(→))＝(－6,3,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，－3,6)．设平面CBQ的法向量为n1＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(QB,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x＋3y＝0，,－3y＋6z＝0，))令z＝1，则y＝2，x＝1，n1＝(1,2,1)．易得平面ABQ的一个法向量为n2＝(0,0,1)．cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(\r(6),6)，又二面角A－BQ－C为锐二面角，即二面角A－BQ－C的余弦值为eq\f(\r(6),6).思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．跟踪训练3(2022·贵阳模拟)如图，AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，PA为圆柱OO′的一条母线，且AP＝AC.(1)证明：AB⊥PD；(2)若∠AOD＝eq\f(π,3)，求二面角D－PC－B的正弦值．(1)证明∵AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，∴∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，∵PA为圆柱OO′的一条母线，∴PA⊥AB，∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.(2)解以C为坐标原点，分别以CD，CB，过C的母线所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AP＝AC＝4，则BC＝2，AB＝2eq\r(3)，CD＝2eq\r(3)，则D(2eq\r(3)，0,0)，B(0,2,0)，P(2eq\r(3)，2,4)，C(0,0,0)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，0,0)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，2,4)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CP,\s\up6(→))＝2\r(3)x＋2y＋4z＝0，,n·\o(CB,\s\up6(→))＝2y＝0，))令x＝2，则y＝0，z＝－eq\r(3)，∴n＝(2,0，－eq\r(3))，设平面PDC的法向量为m＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CP,\s\up6(→))＝2\r(3)a＋2b＋4c＝0，,m·\o(CD,\s\up6(→))＝2\r(3)a＝0，))令b＝2，则a＝0，c＝－1，∴m＝(0,2，－1)，设二面角D－PC－B的平面角为θ，则|cosθ|＝|cos〈n，m〉|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)＝eq\f(|\r(3)|,\r(7)×\r(5))＝eq\f(\r(105),35)，sinθ＝eq\r(1－\f(105,352))＝eq\f(4\r(70),35)，∴二面角D－PC－B的正弦值为eq\f(4\r(70),35).课时精练1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)解设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝eq\r(3).以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，－eq\r(3)，2)，A(0，－eq\r(3)，0)，B(1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)．设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)))＝eq\f(6,2\r(2)×2\r(3))＝eq\f(\r(6),4)，即PB与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),4).2.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．(1)证明由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，eq\o(HF,\s\up6(→))的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BF＝1，由(1)可得DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝eq\r(3).又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF，所以PH＝eq\f(\r(3),2)，EH＝eq\f(3,2).则H(0,0,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)，0))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(HP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2))).又eq\o(HP,\s\up6(→))为平面ABFD的一个法向量，设DP与平面ABFD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈eq\o(HP,\s\up6(→))，eq\o(DP,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(HP,\s\up6(→))·\o(DP,\s\up6(→))|,|\o(HP,\s\up6(→))||\o(DP,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,4),\r(3))＝eq\f(\r(3),4).所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为eq\f(\r(3),4).3．(2023·泰安模拟)如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝eq\r(3).(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)求二面角A－BE－C的余弦值．(1)证明取BC的中点M，AB的中点N，连接DM，MN，EN.∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC，又DE∥AC，DE＝eq\f(1,2)AC，∴DE∥MN，DE＝MN，∴四边形MNED是平行四边形，∴EN∥DM，EN＝DM，又AC⊥平面BCD，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵DC＝DB，∴DM⊥BC，又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM⊂平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又EN⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC.(2)解由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴，以过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CN，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，N(1,1,0)，E(1,1，eq\r(2))，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1,1，eq\r(2))，设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CE,\s\up6(→))＝x＋y＋\r(2)z＝0，,n·\o(CB,\s\up6(→))＝2y＝0，))取z＝eq\r(2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝0，))∴n＝(－2,0，eq\r(2))，又AC＝BC，则CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABE，即eq\o(CN,\s\up6(→))＝(1,1,0)为平面ABE的一个法向量，则|cos〈n，eq\o(CN,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(CN,\s\up6(→))|,|n||\o(CN,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－2|,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∵二面角A－BE－C为锐二面角，∴二面角A－BE－C的余弦值为eq\f(\r(3),3).4．(2022·新高考全国Ⅱ)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值．(1)证明如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为PA＝PB，所以PD⊥AB.因为PO为三棱锥P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，所以OD∥AC.因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.(2)解连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以OA＝OB＝eq\r(PA2－PO2)＝eq\r(52－32)＝4.易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以OD＝OAsin30°＝4×eq\f(1,2)＝2，AB＝2AD＝2OAcos30°＝2×4×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan60°＝4eq\r(3)×eq\r(3)＝12.以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，B(4eq\r(3)，0,0)，C(0,12,0)，P(2eq\r(3)，2,3)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，1，\f(3,2)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，1，\f(3,2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4eq\r(3)，0,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,12,0)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3\r(3)x＋y＋\f(3,2)z＝0，,12y＝0，))令z＝2eq\r(3)，则n＝(－1,0,2eq\r(3))．设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,m·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3\r(3)x1＋y1＋\f(3,2)z1＝0，,4\r(3)x1＝0，))令z1＝2，则m＝(0，－3,2)，所以cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(4\r(3),13).因为二面角C－AE－B为锐二面角，故二面角C－AE－B的正弦值为eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),13)))2)＝eq\f(11,13).5.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1