高数-第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题A组一.填空题1.设L是上从经到的曲线段，则=2.设是从M(1,3)沿圆至点的半圆，则积分=3.L是从沿至点的曲线段，则=4.设L是从沿至点)的曲线段，则=5.设L是及所围成的区域D的正向边界，则+=6.设L是任意简单闭曲线，为常数，则=7.设L是平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面区域D的面积等于8.常数k=时，曲线积分与路径无关。9.设是球面，则对面积的曲面积分=10.设L为,和为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分=11.设L是从点到的一条线，则=12.设L是圆周,，则=13.设为曲面，则=二、选择题1．设，且P,Q在域D内具有一阶连续偏导数，又L：是D内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（）A．若与路径无关，则在D内必有B．若与路径无关，则在D内必有单值函数，使得C．若在D内，则必有与路径无关。D．若对D内每一闭曲线C，恒有，则与路径无关。2．已知为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则等于（）A．-1B．0C．1D．23、设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且，则=（）A．3/8B．1/2C．3/4D．14．设S是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分的值是（）A．0;B．;C．;D．5.设空间区域由曲面与平面围成，其中为正的常数，记的表面外侧为S，的体积为V，则=（）A．0B．VC．2VD．3V6.已知曲线C：逆时针方向一周，则=（）A.0；B.；C.；D.7.已知为平面在第一卦限内的下侧曲面，则=（）A.；B.C.；D.8.单连通区域G内，具有连续的一阶偏导数，则曲线积分与路径无关的充要条件是（）A在G内有一闭曲线，使；B在G内有恒有C.在G内有另一曲线C，使；D.在G内有恒有9.设为平面在第一卦限内的部分，则=（）A；B.；C.；D.10.设L：，则（）与L取向无关，与大小有关；B.与L取向无关，与大小无关；C.与L取向有关，与大小有关；D.与L取向有关，与大小无关；三、计算题计算曲线积分，其中L是圆周在第一象限中的部分，依逆时针方向。计算，其中是上半球面上侧设L是由所表示的正向椭圆，计算I=4．计算，L是点与直线段5．计算，L是以，，，为顶点的三角形闭回路。6．计算，L为圆周7．计算，L是圆周的闭路8.计算，L分别为下列三种情形。1）从点经到2）从点经到3）从点经到9．计算，L是由直线,,,围成的逆时针闭路。10．计算，其中,L是由,及所围成的三角形逆时针闭路。11．计算，L是由与，所围成的逆时针闭路。12.计算，L是以,,为顶点的三角形正向闭路。13.计算，L是沿椭圆的正向闭路。14.计算，：平面15.计算，：在第一卦限16计算，：在第一卦限部分。四．应用题1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。椭圆,2.设半径为r的球面的球心在定球面()上,问当r取何值时,球面在定球面内部的哪部分面积最大?3．在过点和的曲线族,()中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分的值最小4.求，式中为由至的设连续可导，求，式中C是从到的直线段。五证明题设函数f(x)在(-,+)内具有一阶连续导数，L是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记证明曲线积分I与路径L无关；（2）当时，求I的值设L2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：。A组答案一、1.0；2.0；3.0提示：；4.0,提示：；5.3/10；6.0；7.3/2；8.2；9.；10.；11.；12.；13.0；二、1.C2、D3、B4、A5、B6.B；7.A；8.D；9.D；10.D三、1、3、04、5、6、2R27、8、19、3210、111、+12、-113、14、15、16、四、1、2、3、是使曲线积分的为最小的曲线。4、5、-4B组一、填空题：1、设是顺时针方向的椭圆,其周长为,则.2、设曲线C为的交线，从原点看去C的方向为顺时针方向，则.3、计算，其中.4、设，则.5、设为曲面的外侧，则=.二、解答题：6、计算，为逆时针方向绕圆周一圈的路径。7、设函数具有连续的二阶导数，且，试确定函数，使，其中是不与轴相交的简单正向闭路径。8、计算，其中是由曲线绕轴旋转成的旋转曲面。