江苏省泰州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2024年春学期八年级期末学情调查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．2．所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效．3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑．第一部分选择题（共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分、在每小题所给出的四个选择中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.2024年上半年，快舟、谷神星、双曲线、天龙二号等运载火箭相继成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，符合题意；B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意；C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意；D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．2.若分式的值为0，则x的值为（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分式值为0的条件进行解答即可．解：∵分式的值为0，∴，，∴，，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0则分式的分子值为0，分母不为0．3.下列调查方式适合用普查的是（）A.了解如泰运河被污染情况B.调查泰兴市居民五一假期的出行方式C.检查神舟十八号载人飞船的零部件D.调查中央电视台《中国诗词大会》收视率【答案】C【解析】【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可．解：A、了解如泰运河被污染情况适合用抽样调查，故不符合题意；B、调查泰兴市居民五一假期的出行方式适合用抽样调查，故不符合题意；C、检查神舟十八号载人飞船的零部件适合用普查，故符合题意；D、调查中央电视台《中国诗词大会》的收视率适合用抽样调查，故不符合题意；故选：C．4.已知，则的值为（）A.0 B.1 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．根据二次根式有意义的条件可求出，从而可求出，再代入求值即可．解：∵，∴且，解得：，当时，，∴．故选C．5.若是方程的一个根，则的值为（）A. B.1 C. D.0【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键．解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴，∴，故选：B．6.如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（）A.四边形的面积 B.四边形的面积C.的面积 D.与的面积之和【答案】C【解析】【分析】如图所示，连接，先证明，再证明都是等腰直角三角形，得到，进而推出，则，证明，得到，再证明四边形是菱形，得到；证明，得到，则；证明四边形是矩形，得到，则，即可推出，解：如图所示，连接，∵四边形和四边形均为正方形，∴，，∴，即，由正方形的性质可得，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，由正方形的对称性可得，∴，∴四边形是菱形，∴；∵，∴，∴，∴；∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，作出辅助线证明四边形是菱形，从而得到是解题的关键．第二部分非选择题（共132分）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）7.计算：___．【答案】【解析】解：根据二次根式的乘法法则计算：．故答案为：．8.若式子有意义，则x的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可．解：由题可知，时式子有意义，即．故答案为：．9.如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是_______．（填写布袋对应的序号）【答案】【解析】【分析】本题考查了事件的分类，正确理解题意，并分类分析是解题的关键．根据事件，进行分类分析，即可得解．解：①袋中有个白球，没有红球，摸到白球属于必然事件；②袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件；③袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件；④袋中有个红球，没有白球，摸到白球属于不可能事件．故答案为．10.有一组数据：，，，，，其中无理数出现的频率是______．【答案】【解析】【分析】先判断有理数和无理数的个数，然后根据频率等于频数除以总数即可求解．解：∵在题中个数据里，其中，，是有理数，共个有理数，，是无理数，共个无理数，∴无理数出现的频率，故答案为．【点睛】本题考查了求算术平方根，求立方根，无理数的定义，求频率，掌握以上知识是解题的关键．11.方程的两根分别为，，且，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．解：∵方程的两根分别为，，，∴，，解得：，∴．故答案为：．12.一次函数与反比例函数交于A、B两点，其横坐标分别为2和，则不等式的解集是______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，读懂题意，掌握函数图象法是解题关键．先根据题意画出图象，再利用函数图象法即可得出答案．解：如图：根据图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面，∴不等式的解集是或，故答案为：或．13.如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键．确定平行于墙的一边与★的关系即可求解．解：由题意可得：平行于墙的一边为：，由可得，★表示为平行于墙的一边的长度，即为：★表示的代数式为，故答案为．14.如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______．【答案】【解析】【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．如图所示，连接，，∵四边形是菱形，∴，且平分，∵四边形是正方形，∴，且平分，∴和共线，∴是等腰直角三角形，∵正方形的边长为，∴，∴，∵菱形的边长为，∴，∴，∴．故答案为．【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，三角函数值的简单应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．15.如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转，得到，A、B对应点分别为、，当时，则的长为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，过点作于点D，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形为矩形，得出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出．解：过点作于点D，如图所示：中，，，，∴，根据旋转可知：，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∴在中根据勾股定理得：，∴，∴．故答案为：．16.如图，直线与双曲线交于点C，与x轴、y轴分别交于点A、B，D是双曲线上一点，且横坐标为a，若的面积大于2，则a的取值范围为______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出点C的横坐标为，点B的坐标为，，分两种情况：当点D在点C的左侧，即时，当点D在点C的右侧，即时，分别画出图象，求出结果即可．解：令，解得：，负值舍去，∴点C的横坐标为，把代入得：，∴点B的坐标为，把代入得：，解得：，∴；∵点D的横坐标为a，∴，当点D在点C的左侧，即时，过点D作轴，交直线于点E，如图所示：把代入得：解得：，∴，∴，，当的面积等于2时，，解得：，负值舍去，∵，点D越靠左，越大，∴当时，的面积大于2；当点D在点C的右侧，即时，过点D作轴，交直线于点E，如图所示：把代入得：解得：，∴，∴，，当的面积等于2时，，解得：，负值舍去，∵，点D越靠右，越大，∴当时，的面积大于2；综上分析可知：当或时，的面积大于2．故答案为：或．三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：解分式方程：解：……第一步……第二步………第三步……（1）第二步的解题依据是______；A．分式的性质B．等式的性质C．单项式乘以多项式法则（2）以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______；（3）请写出该分式方程的正确解答过程．【答案】（1）B（2）三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算．（1）根据去分母的基本原理进行解答即可；（2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可；（3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．【小问1】解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确；故选：B．【小问2】解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号．【小问3】解：，整理得：，去分母得：去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：把代入得：，∴是原方程的解．18.如图是某公司产品销往国内和销往国外的相关数据的统计图表，根据图表信息，解答下列问题：2017年产品销售量所占比例统计表产品销售量所占百分比销往国内产品销往国外产品公益资助产品合计（1）将2017年产品销售量绘制成扇形统计图，则销往国内产品所对应的扇形的圆心角度数为______；（2）2018年销往国内的产品量比销往国外的产品量______（填“多”或“少”）；（3）小明说：“该公司2018年至2022年销往国外的产品量逐渐增加，2022年至2023年明显减少．”你同意他的说法吗？请结合统计图表说明你的理由．【答案】（1）（2）少（3）不同意小明的说法，理由见解析【解析】【分析】本题考查了扇形统计图、折线统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）用乘以销往国内产品所占的百分比即可；（2）分别表示出销往国内的产品量和销往国外的产品量，即可得出答案；（3）根据折线统计图和增长率的意义即可作出判断．【小问1】解：销往国内产品所对应的扇形的圆心角度数为；【小问2】解：设年产品销售量为，则年销往国内的产品量为，销往国外的产品量为，∴年销往国内的产品量为，销往国外的产品量为，∵，∴2018年销往国内的产品量比销往国外的产品量少；小问3】解：不同意小明的说法，理由：因为折线统计图表示的是增长率，2018年至2023年增长率都是正数，所以该公司2018年至2023年销往国外的产品量是逐渐增加的，故不同意小明的说法．19.“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题：（1）得到以下奖品的可能性最小的是______；A．平板B．手机C．球拍D．水壶（2）请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性．【答案】（1）B（2）见解析（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式．（1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可；（2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可．【小问1】解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为，∴得到“手机”的可能性最小，故选：B．【小问2】解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示：如图所示，20.如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①为的中点，②，③中，选择一个合适的选项作为条件，使为矩形．（1）你选择的条件是______（填序号），并证明为矩形；（2）若，求矩形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）选择的条件是①，由平行四边形的性质得出，，推出，利用证明，得出，即可得证；选择的条件是②，由平行四边形的性质得出，，推出，利用证明，得出，即可得证；（2）分别求出、的长，再由矩形的面积公式计算即可得解．【小问1】解：选择的条件是①，证明如下：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形为矩形；选择的条件是②，证明如下：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四边形为矩形；【小问2】解：∵，为的中点，∴，∵，∴，∴矩形的面积为．21.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F，（1）求动力F与动力臂l的函数表达式；（2）若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？（3）现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析．（1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可；（2）将代入函数解析式，求出l的值即可；（3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可．【小问1】解：∵阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，∴，即；【小问2】解：把代入得：，解得：，答：他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头；【小问3】解：∵动力臂为，∴若想撬动石头，必须使，即．22.已知关于x的一元二次方程．（1）当时，解这个方程；（2）试判断方程根的情况，并说明理由．【答案】（1）（2）有两个实数根，理由见解析【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．（1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可；（2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根．【小问1】解：当时，原方程为，即为，∴，∴；【小问2】解：由题意可知，，，∴，∴原方程有两个实数根．23.嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……（1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整；（2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；（3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．（1）根据前个的规律即可得出答案；（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【小问1】解：由题意得：等式④：；【小问2】解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，证明如下：等式左边右边；【小问3】解：∵（均正整数），∴，，∴．24.近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：x（元/本）…1525…y（本）…600400…（1）直接写出y关于x的函数关系式；（2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价；（3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由．【答案】（1）（2）20元（3）销售该书每天的利润不能达到8000元，理由见解析【解析】【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．掌握利用待定系数法求一次函数解析式和理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．（1）设y关于x的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可；（3）根据题意可列出关于x的一元二次方程，根据其根的判别式小于0，可判断其无解，即说明销售该书每天的利润不能达到8000元．【小问1】解：设y关于x的函数关系式为，根据题意得：，解得：．∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，∴，∴y关于x的函数关系式为；【小问2】解：根据题意得：，即，，整理得：，解得：，（舍），答：该书的销售单价为20元；【小问3】解：根据题意得：，即，，整理得：，∵，∴原方程无解，∴销售该书每天的利润不能达到8000元．25.如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为，（1）①若，则______；②若，则______；（2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得；（3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D；①试说明的面积为定值，并求出该值；②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数．【答案】（1）；（2）见解析（3）①说明见解析；；②【解析】【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案；（2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求；（3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论；②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出，，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案．【小问1】解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示：则，∵，∴和为等腰直角三角形，∴，，∴设，，∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上，∴，解得：，负值舍去，，负值舍去，∴，，∴，，∴；∵，∴，，∴，，∴，，设，，∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上，∴，解得：，，，∴；【小问2】解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H；连接，，∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题，∴根据解析（1）可知：，∴，∴，，∴、分别为，的中点，∴为的中位线，∴；【小问3】解：①设点，则，，∴，，∴，∴的面积为定值．②∵，∴，解得：，∴，，，∴根据解析（1）可知：此时，即，∴，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴，∵，，，∴，∴为直角三角形，．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关