湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题

湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数A．(34,32] B．[2．已知复数z=cosπ6+isinπ6A．12 B．32 C．1 3．平面向量a,b满足|b|=aA．−12b B．12b 4．将函数f(x)=cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=2A．π6 B．π4 C．π35．若椭圆x2A．55 B．33 C．55或12 6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸7．已知等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若aA．−9 B．−7 C．−7或1 D．−9或18．如图，已知M为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一动点，过M作双曲线E的切线交xA．2 B．62 C．3 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知z1A．若z1=z2，则B．若z1+z2C．若z1,zD．若z1z210．已知非零函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2−x)，则（）A．f(1)=0B．4是函数f(x)的一个周期C．f(x+1)=−f(−x−1)D．y=f(x)在区间[0,11．已知6lnm=m+a，6n=en+a，其中m≠A．e B．e2 C．3e2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．(x2+1)13．在公差为正数的等差数列{an}中，若a1=3，a3，a614．已知圆C:mx2+(2m−1)y四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为（1）求证：A+2B=π（2）求a216．如图1，菱形ABCD的边长为5，BD=2，将其沿BD折叠形成如图2所示的三棱锥A−BCD．图1图2（1）证明：三棱锥A−BCD中，BD⊥AC；（2）当点A在平面BCD的投影为△BCD的重心时，求直线AC与平面BCD所成角的正弦值．17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角．若点P(1,32)到直线l与的距离为3518．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1)，且不同对阵的结果相互独立．（1）若p=0.①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．19．罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔⋅罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,（1）运用罗尔定理证明：若函数f(x)在区间[a,b]连续，在区间(a,b)上可导，则存在（2）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=12x2−bx+1，若对于区间(1,2)（3）证明：当p>1，n≥2时，有1n

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】A,B,C10．【答案】A,B,D11．【答案】C,D12．【答案】1613．【答案】16514．【答案】7+1或15．【答案】（1）解：由1−sinAcosA=即sinAcosB+cosAsinB=cosB，∴sin(A+B)=cosB=sin(∴A+B=π2−B（2）解：由（1）知A=π2−2B，C==∴当且仅当cos2B=216．【答案】（1）证明：已知如图所示：

记BD的中点为E，由菱形的性质，有AD=AB，CD=CB，所以AE⊥BD，CE⊥BD．而AE和CE在平面ACE内交于点E，故BD垂直于平面ACE．又因为AC在平面ACE内，所以BD⊥AC．（2）解：设△BCD的重心为点G，则AG垂直于平面BCD．这表明直线AC与平面BCD所成角等于∠ACG，故所求正弦值即为sin∠ACG的值．由于CE=BC2CG=23CE=从而AG=Asin∠ACH=AG所以直线AC与平面BCD所成角的正弦值是6317．【答案】（1）解：由题意知a+c=3得a2+2ac+c2=3化简得a=2c，所以b=3又因为椭圆过点P(1,32所以14c2所以a=2，b=3，即C的方程为x（2）解：设直线l的方程为x=my+1，(m>0)，由点P(1,32)到直线得32m1+联立x=2y+1x24设M(x1,y1)，所以直线PM与直线PN的斜率的和为y118．【答案】（1）解：①记“甲获得第四名”为事件A，则P(A)=(1−0②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2,连败两局：P(X=2)=(1−0X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；P(X=3)=0.P(X=4)=(1−0.故X的分布列如下：X234P0.160.5520.288故数学期望E(X)=2×0.（2）解：“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P=p在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2由(3−2p)p3所以p∈(12,p∈(0,12p=119．【答案】（1）解：令f(b)−f(a)b−a=t，则令函数F(x)=f(x)−tx，则F(a)=F(b)，F'显然F(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，由罗尔定理，存在即f'(x（2）解：依题意，f'(x)=lnx+1，不妨令x1>x由（1）得|f'(x)|>|g'(x)|，因此x−lnx−1<b<x+lnx+1，令φ(x)=x−lnx−1(1<x<2)，求导得φ'(x)=x−1x>0，函数φ(x)