专题10 有理数的乘方（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

专题10.有理数的乘方1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；2.会求有理数的正整数指数幂；3.熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则；4.感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心。题型探究题型1、有理数乘方的概念 3题型2、有理数乘方的运算 5题型3、乘方运算的符号规律 6题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 8题型5、含乘方的混合运算 10题型6、偶次方的非负性的运用 12题型7、有理数乘方的实际应用 13题型8、有理数乘方的新定义问题 16培优精练A组（能力提升） 20B组（培优拓展） 26【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。1.有理数的乘方乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来；③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。2．整数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。题型1、有理数乘方的概念【解题技巧】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即：。在中，叫做底数，n叫做指数。例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是，指数是，幂是．例2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（

）A． B． C． D．变式1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（）A．的底数是B．表示5个2相加C．与意义相同D．的底数是2变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）对于式子，下列说法正确的是（

）A．指数是 B．底数是3 C．幂为 D．表示3个相乘变式3．（23-24九年级·山东德州·阶段练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．题型2、有理数乘方的运算【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。例1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（

）A．B．C．D．例2．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是

）A．B．C．D．题型3、乘方运算的符号规律【解题技巧】乘方的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。例1．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（2023·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2变式1．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：变式2．（2023·广东·七年级期中）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（

）①与；②与；③与；④与A．0 B．1 C．2 D．3变式3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（

）A． B． C． D．题型4、有理数乘方的逆运算（简算）【解题技巧】性质：例1．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：①与；

②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求的值．变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（

）A． B．1 C．0 D．2023变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（

）A． B． C． D．题型5、含乘方的混合运算【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．例1．（2024·广西贺州·三模）计算：．例2．（23-24七年级·湖北·七年级期中）计算下列各题：(1)(2)(3)(4)变式1．（23-24七年级·上海·期中）计算：．变式2．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）题型6、偶次方的非负性的运用例1．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则，．例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（）A．是正数B．是正数C．是负数D．的值不小于变式1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若，则．变式2．（23-24七年级·上海宝山·期中）若，那么．题型7、有理数乘方的实际应用【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（

）A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出根细面条．例3．（23-24七年级·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的．变式1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10变式2．（22-23七年级·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴”的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次变式3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米变式4．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（

）A． B． C． D．题型8、有理数乘方的新定义问题【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如，(1)求的值；(2)求的值．例2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果________，________，________．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：___，___，___．（3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________．变式1．（2023·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．变式2．（2023·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．变式3．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；（2）()．A组（能力提升）1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（

）A．数学课本的厚度B．姚明的身高C．一层楼房的高度D．一支中性笔的长度2．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（

）A． B． C． D．3．（2024·山东淄博·模拟预测）的相反数是（

）A． B． C． D．4．（23-24七年级·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（

）A．B．C．D．5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（

）A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等6．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（

）A． B． C． D．7．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是．8．（2023·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.9．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是．填空（每小题25分，共100分）姓名：张小琴得分：①的底数是；②的立方是；③若，则；④若，则．10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．11．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？12．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．B组（培优拓展）1．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（

）A． B．2 C．1 D．42．（2023·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻烦3．（2023·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（

）A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个4．（2023·广东东莞·九年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（

）A． B．4039 C．8124 D．163045．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（

）A．3 B．5 C．7 D．96．（2023·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（

）A．1 B． C．0 D．或07．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．8．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（

）（1）总是正数；（2）总