高中数学圆的方程典型例题

中学数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1求过两点41,4)、3(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并推断点

P(2,4)与圆的关系.

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要推断点

P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大

于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在

圆内.

解法一：(待定系数法)

设圆的标准方程为(x-a)2+(),-份2=r.

,圆心在y=0上，故)=0.

圆的方程为(x-aF+y?=r-.

又「该圆过A(l,4)、3(3,2)两点.

.J(l-a)2+16=r2

,・[(3-4)2+4=/

解之得：a=-1>r2=20.

所以所求圆的方程为(x+l)2+y2=20.

解法二：(干脆求出圆心坐标和半径)

因为圆过41,4)、8(3,2)两点，所以圆心C必在线段A8的垂直平分线/上，又

因为原3=土工=-1，故/的斜率为1，又A8的中点为(2,3),故43的垂直平分线/

1—3

的方程为：y-3=x-2即x-y+l=0.

又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为C(-1,0)

半径r=[A。=7(1+1)2+42=V20.

故所求圆的方程为(x+l)2+V=20.

又点尸(2,4)到圆心C(-l,0)的距离为

</=|F^=7(2+l)?+4T=V25>r.

...点P在圆外.

说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围围着求圆的圆心和半径这两

个关键的量，然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的

位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

例2求半径为4,与圆/+丫2_4》-2了-4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程.

分析：依据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.

解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x-a)2+(y-/?)2=/.

圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为G(a,4)或G(。，-4).

又已知圆/+产_以一2)，-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.

若两圆相切，则|C4|=4+3=7或|6=4-3=1.

(1)当G(a,4)时，(。-2)2+(4-1>=72,或3-2)2+(4-1尸=「(无解),故可得

。=2±2炳.

所求圆方程为“一2-2何)2+(y—4)2=4?,或(》一2+2加尸+(y-4)2=42.

(2)当G(a，—4)时，(a-2)2+(-4-l)2=72,或(4—2)?+(—4-1>=/(无解)，故

a=2±2-76.

•・.所求圆的方程为。一2—2通尸+(丁+4尸=42,或“一2+2逐尸+口+4)2=42.

说明：对本题，易发生以下误会：

由题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a,4),且方程

形如(x_q)2+(y_4)2=42.X0x2+/-4x-2y-4=0,(x-2)2+(y-l)2=32,其圆心

为A(2,l),半径为3.若两圆相切，则|。|=4+3.故(。-2)2+(4-1)2=72,解之得

。=2±2何.所以欲求圆的方程为*-2-2加)2+(尸4尸=42,或

(x-2+2V10)2+(3；-4)2=42.

上述误会只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,而疏漏了圆心在直线>=0下方的

情形.另外，误会中没有考虑两圆内切的状况.也是不全面的.

例3求经过点40,5),且与直线x-2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程.

分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A,故

只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.

解：,圆和直线x-2y=0与2x+y=0相切，

...圆心C在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线x-2y=0和2x+y=0的距离相等.

•|-r"2y|_|x+2j|

.••两直线交角的平分线方程是x+3y=0或3x-y=0.

又•・•圆过点A(0,5),

圆心C只能在直线3x-y=0上.

设圆心C«,3f)

•「C到直线2x+y=0的距离等于1A。，

化简整理得产-6/+5=0.

解得：，=1或/=5

，圆心是(1,3),半径为有或圆心是(5,15),半径为5心.

.•.所求圆的方程为(x-l)2+(y-3)2=5或0-5)2+(,-15)2=125.

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而

确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规

求法.

例4、设圆满意：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比

为3:1,在满意条件(1)(2)的全部圆中，求圆心到直线/：x-2y=0的距离最小的

圆的方程.

分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标

准方程.满意两个条件的圆有多数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求

出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合

题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.

解法一：设圆心为P(a,»,半径为r.

则P到x轴、)，轴的距离分别为网和时.

由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90。，故圆截x轴所得弦长为

：.r=2/

又圆截y轴所得弦长为2.

r2=a2+1.

又「P(a,6)到直线x-2y=0的距离为

仁)

75

/.5d2^\a-2hf

=a2+4〃-4ab

>a2+4b2-2(a2+b2)

=2b2-a2=1

当且仅当a=8时取“=”号，此时41M=4.

这时有2

[2b2-a2=}

.一=1或k=T

b=l[Z?=-l

又产=2b2=2

故所求圆的方程为。一1)2+口一1)2=2或(》+1)2+('+1)2=2

解法二：同解法一，得

仁用

75

a-2b=±y[5d.

a2-4b2±445bd+5d2.

将/=2〃-1代入上式得：

2b2+445bd+5d2+]=0.

上述方程有实根，故

A=8(5J2-l)>0,

：.d>—.

5

将〃=当代入方程得8=±1.

又2h2=a'+\••a=±1.

由|所明=1知4、6同号.

故所求圆的方程为(x-l)2+(y-l)2=2或(x+l>+(y+l)2=2.

说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5已知圆。：Y+y2=4,求过点p(2,4)与圆。相切的切线.

解：•.•点P(2,4)不在圆。上，

切线PT的直线方程可设为y=&(x-2)+4

依据d=r

解得&=3

4

所以）=%_2）+4

即3x-4y+10=0

因为过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易

求另一条切线为x=2.

说明：上述解题过程简单漏解斜率不存在的状况，要留意补回漏掉的解.

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解

决（也要留意漏解）.还可以运用/犬+%片产，求出切点坐标x。、%的值来解决,

此时没有漏解.

例6两圆G：r+V+Ox+gy+G=0与。2：/+产+与1/尹心=0相交于A、B两

点，求它们的公共弦48所在直线的方程.

分析：首先求A、8两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两

圆交点坐标的过程太繁.为了避开求交点，可以采纳“设而不求”的技巧.

解：设两圆G、G的任一交点坐标为（/，％），则有：

V+%2+Dixo+Etyo+Fi=0①

%2+%2+£>2%+后2%+6=。②

①一②得：（R-2）x0+（g—4力。+耳-工=。•

：A、B的坐标满意方程（R-。2〃+（4-E2）'+4-玛=。・

方程（R-2）x+（&-4）y+1-8=0是过A、B两点的直线方程.

又过A、8两点的直线是唯一的.

...两圆G、C2的公共弦A3所在直线的方程为（。一2）x+（g—反）y+大一6=0.

说明：上述解法中，奇妙地避开了求A、8两点的坐标，虽然设出了它们的

坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度

上说，这是一种“设而不求”的技巧，从学问内容的角度上说，还体现了对曲线

与方程的关系的深刻理解以与对直线方程是一次方程的本质相识.它的应用很广

泛.

例7、过圆/+y2=i外一点“(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是4、

B,求直线A8的方程。

练习：

1.求过点M(3,l),且与圆(》-1尸+产=4相切的直线/的方程.

解：设切线方程为y-1=Z(x-3),即依-y-3Z+l=0,

•.•圆心(1,0)到切线/的距离等于半径2,

.•「尸+”=2,解得女=—3,

/+(-1)'4

•••切线方程为y-1=-1(》-3),即3x+4y-13=0,

当过点〃的直线的斜率不存在时，其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于

半径2,

故直线x=3也适合题意。

所以，所求的直线/的方程是3x+4y-13=0或无=3.

2、过坐标原点且与圆/+y2一八+2"：=0相切的直线的方程为

解：设直线方程为y=即kx-y=0.•.,圆方程司化为(x-2)2+(y+l)2="|,.,.圆

心为(2,-1),半径为叵.依题意有用士=巫，解得％=-3或％=」，.•.直线

2VF7T23

方程为y=-3工或y=(x.

3

2

3、已知直线5x+12y+Q=0与圆，-2x+y=0相切，贝！Jo的值为.

解：:圆(x-1)2+y2=\的圆心为(1,0),半径为1,「•-J，上@_=J,解得〃=8或a=-18.

行+122

类型三：弦长、弧问题

例8＞求直线/:3%-了-6=0被圆。:/+V一2%-4y=0截得的弦A3的长.

例9、直线6x+y-2百=0截圆%?+/=4得的劣弧所对的圆心角为

解：依题意得，弦心距d=百，故弦长|4q=2产工7=2,从而AOAB是等边三

角形，故截得的劣弧所对的圆心角为NA03=。.

例10、求两圆/+/一x+y—2=0和x?+y2=5的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例11、已知直线岳+y-2g=0和圆/+y2=4,推断此直线与已知圆的位置关

系.

例12、若直线y=x+m与曲线丁=7^二7有且只有一个公共点，求实数机的取值

范围.

解：•.•曲线尸表示半圆/+^=4(”0),.•.利用数形结合法，可得实数加

的取值范围是-2M〃?<2或根=25/2.

例13圆(》一3)2+(丁一3)2=9上至1」直线3；1+4>—11=0的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解.或先求出直线4的方程，从代数计算中找寻

解答.

解法一:圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为q(3,3),半径r=3.

设圆心。到直线3x+4y-11=0的距离为d,则d」3x3+4x3-ll|=2<3.

V32+42

如图，在圆心。同侧，与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线4与圆有两

个交点，这两个交点符合题意.

x

0

又r-d=3-2=l.

与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.

，符合题意的点共有3个.

解法二：符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和

圆的交点.设所求直线为3x+4y+m=0,则d=%l=l,

V32+42

m+11=±5»即加=—6,或7〃=—16,也即

/1：3x+4_y—6—0>§Si/,：3x+4y—16=0.

设圆Oi：(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线4、4的距离为4、d2,则

|3x3+4x3-q_|3x3+4x3-iq_

4==3，&=物+4，=L

••“与。相切，与圆。有一个公共点；6与圆。相交，与圆a有两个公共点.即

符合题意的点共3个.

说明：对于本题，若不留神，则易发生以下误会：

设圆心。倒直线3x+4y-11=0的距离为d,则J3x3+4x3ll|=2<3.

V32+42

二.圆。i至l」3x+4y-ll=0距离为1的点有两个.

明显，上述误会中的d是圆心到直线3x+4y-11=0的距离，d<r,只能说明此

直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.

到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直

线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共

点个数，一般依据圆与直线的位置关系来推断，即依据圆心与直线的距离和半径

的大小比较来推断.

练习1:直线x+y=1与圆/+V一2"〉=0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是,

解：依题意有与』>a，解得嬷-1.,/a>0,0<a<V2-1.

练习2:若直线y=Zx+2与圆2尸+(y-3尸=1有两个不同的交点，则k的取值范

围是，

解：依题意有mm<i,解得0<%<，的取值范围是(0,，

3、圆/+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+l=O的距离为行的点共有().

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

分析：把F+/+2x+4y一3=0化为(x+iy+(y+2)2=8,圆心为(-1,-2),半径为

r=2V2,圆心到直线的距离为后，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于行，

所以选C.

4、过点尸(-3,-4)作直线/,当斜率为何值时，直线/与圆C：(x-iy+(y+2)2=4有

公共点，如图所示.

分析：视察动画演示，分析思路.

解：设直线/的方程为

y+4=k(x+3)

即

kx-y+3k-4=0

依据有

\k+2+3k-4\

<2

J1+G

整理得

3%2—4%=0

解得

4

0<A:<-.

3

类型五：圆与圆的位置关系

问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？

例14、推断圆G：x?+y。+2x-6y-26=0与圆：州+y?-4x+2y+4=0的位置关系,

例15：圆一+/_2》=0和圆，+丁+4>=0的公切线共有条。

解：•圆(X-l)2+y2=1的圆心为"(1,0),半径八=1,圆Y+(y+2)2=4的圆心为

O2(0,-2),半径r2=2,\OtO2\=V5,f|+々=3,々一外=1.二•外一八<|0,(?2|<4+弓，两

圆相交.共有2条公切线。

练习

1：若圆/+y2一2/HT+—4=0与圆X?++2x-4冲+462一8=0相切，贝I］实数m的

取值集合是.

解:,圆(x-/n)2+y2=4的圆心为。|(/«,0),半径外=2,圆(x+1)2+(>-2附2=9的圆

心为。2(-1,2m)，半径「2=3,且两圆相切，gal=八+〃或|aa|=々-^，*,•

J(/?7+l)2+(2附2=5或J(帆+1)2+(2勿)2=1,解得"2=，或帆=2,或机=0或加=_,,

•••实数机的取值集合是0,21.

2:求与圆/+y2=5外切于点P(T2),且半径为2方的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为。|(凡。,则所求圆的方程为(x—)2+(y-疗=20.,两圆外

切于点P,•••丽.,.(T,2)=g(a,»,。=-3/=6,.,.所求圆的方程为

(x+3)2+(y-6产=20.

类型六：圆中的对称问题

例16、圆/+产-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是

例17自点A(-3,3)发出的光线/射到X轴上，被X轴反射，

反射光线所在的直线与圆c：V+y2_4x_4y+7=o相切

(1)求光线/和反射光线所在的直线方程.

(2)光线自A到切点所经过的路程.

分析、略解：视察动画演示，分析思路.依据对称

关系，首先求出点A的对称点4的坐标为(-3,-3),其次

设过A的圆C的切线方程为

y=%(x+3)-3

依据d=即求出圆C的切线的斜率为

左=3或z=3

34

进一步求出反射光线所在的直线的方程为

4x-3y+3=0或3x-4y-3=0

最终依据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为

4》+3>3=0或3%+4、-3=0

光路的距离为|AM|,可由勾股定理求得|4〃『=|4[2-总照2=7.

说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解.

类型七：圆中的最值问题

例18:圆一4%一分一10=0上的点至IJ直线x+y—14=0的最大距离与最小距离

的差是_______

解：•.•圆(x-2)2+(尸2)2=18的圆心为(2,2),半径「=3忘，.•.圆心到直线的距

1()

离d=5后>r，...直线与圆相离，.•.圆上的点到直线的最大距离与最小距离

的差是3+r）—（d—r）=2〃=65/2.

例19⑴已知圆。伞-3)2+(y-4)2=1,P(x,y)为圆。上的动点，求[二/+/的最

大、最小值.

(2)已知圆Q：(x+2)2+y2=i,P(x,y)为圆上任一点.求工E的最大、最小值,

x-1

求x-2y的最大、最小值.

分析：(1)、(2)两小题都涉与到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数

形结合解决.

解：（1）（法1）由圆的标准方程（X-3尸+（y-4）2=1.

可设圆的参数方程为F=3+cos,‘（。是参数）.

y=4+sin。，

则d=x2+y2=9+6cos0+cos2^+16+8sin^+sin20

=26+6cos6+8sine=26+10cos（6-0）（其中tanO=g）.

所以"max=26+10=36，dmin=26-10=16.

(法2)圆上点到原点距离的最大值/等于圆心到原点的距离小加上半径1,

圆上点到原点距离的最小值乙等于圆心到原点的距离d；减去半径1.

所以4=打+#+1=6.

d2="+42-1=4.

所以“max=36•=16.

⑵(法1)由(x+2)2+y2=i得圆的参数方程：卜-2+cosQ是参数.

[y=sin6,

则y-2sine-2.令sin"2」,

x-1cos。-3cos。-3

得sin9-fcos8=2-3f，J1+产sin(e-0)=2-3/

=1;^卜卜"°一姆’1=苧"/苧.

rrpI3+VS3—V3

所以fmax=：-''min=：­"

即上匚的最大值为三且，最小值为

x-144

止匕时x-2y=-2+cos。-2sin9=-2+V^cos(e+0).

所以x-2)，的最大值为-2+6，最小值为-2-右.

(法2)设匕工=%,则％x-y-&+2=0.由于PCr,y)是圆上点，当直线与圆有

x-1

由公|一27+2|=],得心也I.

所以上工的最大值为学，最小值为学.

x-l44

令x-2y=f,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.

由d=।2/”=],得m=一2土百.

V5

所以x-2y的最大值为-2+6，最小值为-2-6.

例20:已知A(-2,0),8(2,0),点P在圆3产+(y-4>=4上运动，贝期叶+归炉的

最小值是.

解：设P(x,y),贝可尸才+伊耳2=(%+2)2+/+(%一2)2+丫2=2(/+丫2)+8=2|0叶+8.设圆心

为C(3,4),贝1o4『|0。_/=5-2=3，|尸4°+归却2的最小值为2*3?+8=26.

练习：

1：已知点P(X,y)在圆/+(y—l)2=1上运动.

(1)求二的最大值与最小值；(2)求2x+y的最大值与最小值.

x-2

解：(1)设匕=%,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆

x-2

相切时，k取得最大值与最小值.由，些L=i,解得％=±如，上的最大值为

Jl+i3x-2

且，最小值为-虫.

33

(2)设2x+y=m，则机表示直线2x+y=〃?在)，轴上的截距.当该直线与圆相切

时，机取得最大值与最小值.由,解得帆=1土石，.)2x+y的最大值为

1+V5,最小值为1-石.

2设点尸(XQ)是圆/+y2=］是任一点，求“=212的取值范围.

X+1

分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替尤、y,转化为三角问题来解决.

解法一：设圆/+)/=］上任一点p(cos6,sin。)

则有x=cosC，y=sin0。£[0,24)

•sin。一2・八.八八

・・u=----------9・・WCOS6/+W=sin”—2

cos6+l

:・ucosff-sin。=—(〃+2).

BPvw2+lsin(6-0)=〃+2(tan夕=〃)

sin/-)："?)

Vw24-1

又丁酬(。-°)|41

解之得：“4-3.

4

分析二：〃=匕工的几何意义是过圆/+/=］上一动点和定点(—1,2)的连线的

X+1

斜率，利用此直线与圆/+/=］有公共点，可确定出“的取值范围.

解法二：由〃~~^得：y-2=〃(x+l),此直线与圆/+丫2=1有公共点，故点

x+1

(0,0)到直线的距离d41.

解得：〃W-3.

4

另外，直线y-2=〃(x+l)与圆/+y2=l的公共点还可以这样来处理：

由<2消去y后得：(/+1)Y+(2i?+4")x+(〃2+4〃+3)=0,

x2+y2=l

此方程有实根，故△=(2M2+4M)2-4(/+1)(W2+4M+3)>0,

解之得：“£-3.

4

说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量〃的范围问题

转化成三角函数的有关学问来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,

使问题变得简捷便利.

3、已知点A(-2,-2),伙-2,6),C(4,-2),点P在圆Y+y2=4上运动，求俨才+|PCf

的最大值和最小值.

类型八：轨迹问题

例21、基础训练：已知点M与两个定点。(0,0),A(3,0)的距离的比为;，求点M的

轨迹方程.

例22、已知线段的端点5的坐标是(4,3),端点A在圆*+1尸+/=4上运动,

求线段的中点M的轨迹方程.

例23如图所示，已知圆。：/+^=4与y轴的正方向交于A点，点8在直线y=2

上运动，过5做圆。的切线，切点为C,求AA5C垂心”的轨迹.

分析：按常规求轨迹的方法，设〃(x,y),找的关系特别难.由于”点随

B,C点运动而运动，可考虑“，B,C三点坐标之间的关系.

解：设H(x,y),C(x,y),连结A",CH,

则AHLBC,CHLAB,BC是切线OCL3C,

所以OC7/A",CH//OA,OA=OC,

所以四边形AOC”是菱形.

所以|田=侬=2,得)：=)'一)

X=x.

又C(x',yj满意x~+y'"=4,

所以/+(y_2尸=4(XH0)即是所求轨迹方程.

说明：题目奇妙运用了三角形垂心的性质与菱形的相关学问.实行代入法求

轨迹方程.做题时应留意分析图形的几何性质，求轨迹时应留意分析与动点相关

联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.

例24已知圆的方程为Y+y2=产，圆内有定点外即切，圆周上有两个动点A、B,

使PALPB,求矩形AP3Q的顶点Q的轨迹方程.

分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.

解法一：如图，在矩形APBQ中，连结A3,PQ交于M,明显

陷=闿，

£n芋J

在直角三角形AOM中，若设Q(x,y),则“(签,营).

由|。闾2+g航『=|0>2,即

/X+Q、2/丁+久21r/、2/7、2】2

(~^~)+C2—)+(y-。)]=/，

也即/+V=2r2-(a2+y),这便是Q的轨迹方程.

222

解法二：设Q(x,y)、4芭，M)、B(X2,y2),则科+才=/,%2+y2=r.

又1尸@2=伊耳二即

22222

(x-a)+(y-b)=(%]-x2)+(yt-y2)=2r-2(x,x2+yty2).①

又AB与PQ的中点重合，^Lx+a=xi+x2,y+b=yt+y2,即

222

(x+a)+(y+b)=2r+2(X]X2+y,y2)②

①+②,有炉+丁=2/-(/+/).

这就是所求的轨迹方程.

解法二：设A(rcosa,rsina)、B(rcos£,rsin/?)、Q(x,y),

由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有

x+a=rcosc+rcos/7,①

y+b=rsina+rsinJ3,②

又由PALPB有③

rcosa-arcos（3-a

联立①、②、③消去a、即可得。点的轨迹方程为/+/=2，_（/+〃）.

说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清楚，且应充分利用图形

的几何性质，否则，将使解题陷入逆境之中.

本题给出三种解法.其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的

数量关系.而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法

二涉与到了再、X1、弘、力四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借

助了圆1+丁=r2的参数方程，只涉与到两个参数a、P，故只需列出三个方程

便可.上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思

想方法求解.

练习:

1、由动点P向圆/+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,ZAP3=60°,

则动点P的轨迹方程是.

解：设P(x,y).：ZAPB=60°,/.ZOPA=30°.VOALAP,：.\OF\=2|O^=2,/.

y]x2+y2=2,化简得/+y2=4,.•.动点p的轨迹方程是+y2=4.

练习巩固：设A(-GO),3(C,O)(C>O)为两定点，动点「到A点的距离与到8点的距离

的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹.

设动点P的坐标为P(x,y).由粤=a(a>0),

解:

222

化简得（1-+（i_〃2）y2+2c（i4-n）x+c（1-a）=0.

当时，化简得X、y2+邺匕0》+,2=0,整理得(X-Mc)2+y2=(学1)2；

1-a-a~-1a"-1

当Q=1时，化简得无=O.

所以当axl时，P点的轨迹是以(黑c,O)为圆心，怒为半径的圆；

当a=l时，P点的轨迹是y轴.

2、已知两定点A(-2,0),3(1,0),假如动点P满意|曰=2|心，则点P的轨迹所包围

的面积等于

解：设点尸的坐标是(x,y).由|曰=2|「牛得"(x+2)2+y2=2j(x-l)2+/,化简得

(X-2)2+y2=4,.,.点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，，所求面积

为4万・

4、已知定点5(3,0),点A在圆，+y2=i上运动，知是线段A区上的一点，且

AM=-MB,问点M的轨迹是什么？

3

解：设M(x,y),丁AM二・(工一冷、一切)=g(3-羽一y),

’1小、4.

x-x=-(3-x)%,=-x-l

13[,；I3.•点A在圆》2+y2=i上运动，...22+必2=],...

y-力=5,

(-x-l)2+(-y)2=1,E[J(X--)2+/=—,，点”的轨迹方程是a一3尸+尸=2.

33416416

例5、已知定点8(3,0),点A在圆炉+>2=]上运动，ZAOB的平分线交45于点M,

则点M的轨迹方程是.

解：设M(x,y),A4，M).丁OM是ZAOB的平分线，.•.她L㈣」,「•1M=-MB-

眼却|。耳33

由变式1可得点M的轨迹方程是(X-V=2.

416

练习巩固：已知直线>=日+1与圆X、y2=4相交于4、8两点，以OA、03为邻

边作平行四边形。APB,求点P的轨迹方程.

解：设P(x,y),AB的中点为MOAP8是平行四边形，M是。P的中点，...点

M的坐标为(二马，且OM_LA3.,直线y=Zx+l经过定点C(0,l),

22'

丽.丽=(二马.臣"1)=心2+々纥])=。化简得/+(y_l)2=l..•.点p的轨迹方程

2222222

是一+(y-l)2=1.

类型九：圆的综合应用

例25、已知圆x2+y2+x_6y+〃z=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，。为原

点，且OPLOQ,求实数〃?的值.

分析：设P、Q两点的坐标为（％,y）、（x2,y2）,则由%，•殳2=-1,可得

玉々+M乂=0,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直

线的斜率为上，由直线/与圆的方程构造以上为未知数的一元二次方程，由根与

XX

系数关系得出的值，从而使问题得以解决.

解法一：设点P、。的坐标为（％，x）、（々，巴）・一方面，由OPLOQ，得

kOP-kOQ=-\,即工.乂=7,也即：%比2+/%=。・①

X)x2

另一方面，区，y）、（々，%）是方程组*273=°的实数解，即苞、々

x4-y+x-6y+〃z=0

是方程5犬+10冗+4加-27=0②

的两个根.

•_4m-27③

・•X]+工2=-2,x)x2=---------

又P、。在直线x+2y-3=0上，

=—(3-A：1)-—(3-x2)=­[9-3(A^+x2)+xtx2].

将③代入，得必当=喈④

将③、④代入①，解得机=3,代入方程②，检验△＞（）成立,

/•m=3.

解法二：由直线方程可得3=x+2y,代入圆的方程r+y2+x-6y+m=(),有

1»2?

F+,2+1(x+2y)(x-6))+§(x+2y1=0,

整理，得(12+，〃)1+4("?一3)孙+(4〃?-27))2=。.

由于XH0,故可得

(4m-27)(少+4(加一3)上+12+m=0.

XX

*•*kop,&02是上述方程两根.故％OK%。。=-1.得