一元二次不等式及其解法 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

一元二次不等式及其解法一、课前小练(一)判一判(对的打“

√

”,错的打“×”)(1)若不等式

ax²+bx+c<0

的解集为(x₁,x₂),则必有a>0.(

√)(2)若方程ax²+bx+c=0(a≠0)

没有实数根，则不等式ax²+bx十c>0的解集为R.

(×)(3)若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，则不等式

ax²十bx+c<0

的解集一定不是空集.

(

√)所以不等式2x²—x—3>0的解集故选B.答案：B(二)选一选1.

不等式2x²—x—3>0的解集为B.

解析：由2x²—x—3=(2x—3)(x+1)>0,得x<—1,(

)2.

若集合M={xlx²+5x—14<0},N={xl1<x<4},则

MNN

等于

(

)A.0

B.(1,4)C.(2,4)

D.(1,2)解析：因为M={xlx²+5x—14<0}={xl(x—2)·(x+7)<0}={xl—7<x<2},N={xl1<x<4},所以MNN={xl1<x<2}.故

选D.答案：D判别式△=b²—4ac4>0△=04<0二次函数y=ax²+bx+c(a>0)的图象X1

0

X2

xy0

X1=X2

x一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的根有

两

个

相

异实

根

x₁,

x₂(

x₁

<x₂)有两个相等实根没有实数根二、基础知识1.

三个“二次”之间的关系判别式4=4>04=04<0一元二次不等式ax²+>0)的解集{xlx<x₁或x>x₂

}R一元二次不等式ax²>0)的解集{x|x₁

<x<x₂

}2.一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式

ax²+bx十c>0(a>0)或

ax²+bx+c<0(a>0).(2)求出相应的一元二次方程的根.在不等式

ax²+bx+c>0(a≠0)

中，如果二次项系数

a<0,

可根

据不等式的性质，将

其转化为正数.开口向上的二次不等式的解法顺口溜：大于取两边，小于取中间.(3)利用二次函数的图象与x

轴的交点确定一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax²+bx+c>0(a≠0),x∈R

恒成立→a>0

且4<0;(2)不等式

ax²+bx+c<0(a≠0),x∈R

恒成立⇔a<0

且4<0;(3)若a

可以为0,需要分类讨论，

一般优先考虑a=0

的情形.考点一一元二次不等式的解法三、典型例题分析考法(一)不含参数的一元二次不等式[典例]解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;(2)0<x²—x—2≤4;[解](

1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,即(3x—4)(x+2)≤0,

解

得所以原不等式的解集(2)原不等式等价

0,借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{xl—2≤x<一1或2<x≤3}.把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式计算对应方程的判别式求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集[解题技法]解一元二次不等式的4个步骤判

求

写变

—考法(二)含参数的一元二次不等式[典例]解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0).[解]

原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,因

为a>0,

所

以

所以当a>1,

时，解当

a=1时，解集为o;

当0<a<1,艮时，解为综上，当0<a<1时，不等式的解集当a=1时，不等式的解集为o;当a>1

时，不等式的解集为[解题技法]1.

解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于0

,

还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.以(2x+9)(x—1)≤0,

解

得

所以不等式(x+5)(3—2x)≥6

的解集

.故选D.答案：

D[题组训练]1.不等式(x+5)(3—2x)≥6

的解集是解析：不等式(x+5)(3—2x)≥6

可

化

为

2(

)2.

已知不等式ax²—bx—1≥0的解集是

则不等式x²—bx—a<0的解集是

(

)A.(2,3)B.(一，2)U(3,十

一)C.

解析：由题意知,-3是方程ax²—bx—1=0的两根，所以由根与系数的关系解

不等式x²—bx—a<0即为x²—5x+6<0,解集为(2,3).答案：A3.

求不等式12x²—ax>a²(a∈R)的解集.解：原不等式可化为12x²—ax—a²>0,即(4x+a)(3x—a)>0,令(4x+a)(3x—a)=0,

解

得

●当a>0

时，不等式的解集当a=0

时，不等式的解集为(一0,0)U(0,

十一);当a<0

时，不等式的解集为考点二绝对值不等式和分式不等式考法(一)含绝对值不等式的解法【典例】解下列不等式：(1)|2x-1≥3(2)|2x-1≥3x-1(1)解法1:由|2x-1≥3

得2x-1≥3或2x-1≤-3故x≥2

或x≤-1:.

解集为{x|x≥2或x≤-1}(1)解法2:由|2x-1≥3

得(2x-1)²≥9故4x²-4x-8≥0:.解集为{x|x≥2或x≤-1}(2)解：由|2x-1≥3x-1|得(2x-1)²≥3x-1|²故5x²-2x≤0:解集为{x|0≤x≤解题技法：解绝对值不等式的一般步骤是：(1)解对应的方程；(2)把根从小到大排列；(3)利用“大于取两边，小于取中间”的原则去取解集.特别地，若两边都有绝对值，则可两边同时平方求解集.题组训练(1)|3x-2<4(2)|2x-1≥3x-1(2)解集为{x|x≤3(1)解法1:由

∴{x|

或x<-3}(1)解法2:由·:考法(二)分式不等式的解法【典例】解下列不等式：解题技法：解分式不等式的一般步骤是：先移项(必须把所有的项都移到同一边),再通分；题组训练：1-2<-x的解集为解集为{x|x<-2

或0<x<1}考点三

一元二次不等式恒成立问题考法(一)在

R上的恒成立问题[典例]若不等式(a—2)x²+2(a—2)x—4<0

对一切

x∈R恒成立，则实数a

的取值范围是

()A.(

一，

2

)

B.[—2,2]

C.(—2,2)

D.(—,—2)[解析]

当

a—2=0,即

a=2时，不等式为一4<0,对一切x

∈R恒成立.当a≠2

时，贝解得—2<a<2.∴实

数a

的取值范围是[一2,2].[答案]

C日只[解题技法]

一元二次不等式恒成立的条件(1)ax²+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件(2)ax²+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件考法(二)在给定区间上的恒成立问题[典例]

若对任意的x∈[—1,2],

都有常数),则a

的取值范围是

(

)A.[

一

0

,

—

3]

B.(

一

0

,

0

)C.[1,十0]

D.

(

一

0

,

1

)[解析]

法一：令

f(x)=x²

—2x+a,

则由题意，得法二：当x∈[—1,2]时，不等式x²—2x+a≤0恒成立等价于a≤—x²+2x恒成立，则由题意，得a≤(—x²+2x)min(x∈[-1,2]).而

—x²+2x=—(x—1)²+1,则当x=—1

时，(—x²+2x)min=—3,所以

a≤—3,故选A.

[答案]

Af(一1)=(一1)²-2×(一1)+a≤0,

f(2)=2²-2×2+a≤0,解得a≤—3,故选A.[解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)直接转化为最值问题求解：f(x)≥0恒成立→f(x)min≥0;f(x)≤0恒成立→f(x)max≤0.(2)先分离变量，再转化为最值问题求解：f(x)≥a恒成立→f(x)min≥a;f(x)≤a

恒成立→f(x)max≤a.[题组训练]1.(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x²—4x≥m对任意x

∈[0,1]恒成立，则实数m

的取值范围为

(

)A.

(

一

0,

—

3)

B.[—3,

十

一

]C.[—3,0]

D.[一4,十一]解析：x²—4x≥m对任意x∈(0,1)恒成立，令f(x)=x²-4x,∵f