高中数学《函数的极值和最大（小）值》课后分层作业与同步检测试卷

选择性必修二《5.3.2函数的极值和最大(小)值》课后分层作业

第一课时函数的极值

［A级基础巩固］

1.已知函数f(x)=2x，+ax2+36x—24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是

()

A.(2,3)B.(3,+8)C.(2,+°°)D.3)

2.已知f(x)=x'+ax2+(a+6)x+l有极大值和极小值，则a的取值范围是()

A.(-1,2)B.(-3,6)

C.(一°°,—3)U(6,+°°)D.(—8,•—1)□(2,+oo)

3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,

则函数y=xf'(x)的图象可能是()

ABCD

4.已知函数£&)=)-^\一4*的图象与*轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分

别为()

4444

A.7Z,0B.0,—C.0D.0,——

乙/乙/乙/乙/

5.设a£R,若函数y=e，+ax(x£R)有大于零的极值点，则()

11

A.a<—1B.a>—1C.a<--D.a>---

ee

1nv

6.函数y=〒的极大值为

7.若函数yu-x'+Gd+m的极大值为13,则实数m等于.

8.已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，贝！］c=.

9.设a为实数，函数f(x)=e'—2x+2a,xGR,求f(x)的单调区间与极值.

10.已知f(x)=ax"+bx:i+cx(aW0)在x=±l时取得极值，且f(l)=-1.

(1)试求常数a,b,c的值；

(2)试判断x=±l时函数取得极小值还是极大值，并说明理由.

［B级综合运用］

11.(多选)已知函数f(x)=a/+bx2+cx,其导函数y=f，(x)的图象经过点(1,0),

(2,0).如图，则下列说法中正确的是()

A.当x=］时，函数f(x)取得极小值

B.f(x)有两个极值点

C.当x=2时函数取得极小值

D.当x=l时函数取得极大值

12.已知函数f(x)=e*(sinx-cosx),xG(0,2021”),则函数知x)的极大值之和为

()

e2"(l-e2021")e"(l-e2<<2<>B)

A.TniB.■

e-11-e

nIOlOnnI010n

「e(I—ex)八e(l—ex)

l-el-e

13.若函数£&)=*3+/-2*—4在区间(一1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围

为.

14.已知函数f(x)=e'(ax+b)———4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=

4x+4.

(1)求a,b的值；

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

[C级拓展探究]

15.已知函数-X)=--a(aeR,aWO).

e

(D当a=-l时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点，求实数a的取值范围.

答案解析

[A级基础巩固]

1.已知函数f(x)=2/+ax2+36x—24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是

()

A.(2,3)B.(3,+8)C.(2,+8)D.3)

解析：选B因为函数f(x)=2x3+ax?+36x—24在x=2处有极值，又因为f'(x)=6x?+

2ax+36,所以f'(2)=0,解得a=-15.令f'(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数的

一个递增区间是(3,+8).

2.已知f(x)=x3+ax?+(a+6)x+l有极大值和极小值，则a的取值范围是()

A.(-1,2)B.(-3,6)

C.(—8,—3)U(6,+°°)D.(—8,—1)u(2,+°°)

解析:选Cf'(x)=3x?+2ax+a+6,有极大值与极小值，(x)=0有两不等

实根，,A=4a2-12(a+6)>0,；.a(一3或a>6.

3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值，

则函数y=xf'(x)的图象可能是()

解析：选C由题意可得f'(-2)=0,而且当xd(—8,—2)时，*(x)<0,此时

xf'(x)>0,排除B、D；当xG(—2,+8)时，f'(x)>0,此时若xW(—2,0),

xfz(x)<0,若xG(O,+8),xf'(x)>0,所以函数丫=*『(x)的图象可能是C.

4.已知函数f(x)=x3—px2-qx的图象与x轴切于(l,0)点,则f(x)的极大值、极小值分

别为()

4444

A.药,0B.0,药C.D.0,

一斤°27

解析：选Af'(x)=3x?—2px—q,

由f'(1)=0,f(l)=O,

3—2p—q=0,p=2,

解得/.f(x)=x'?—2X2+X.

1—p—q=0,q=—1,

114

由f'(x)=3x?—4x+l=0得x=彳或x=l,易得当x=w时f(x)取极大值方，当x=l时

f(x)取极小值。

5.设a£R,若函数y=e、+ax(x£R)有大于零的极值点，则()

11

A.a<—1B.a>—1C.a<—~D.a>—

ee

解析：选AVy=ex+ax,:•寸=e'+a.令y'=ex+a=O,则0、=—a,Ax=ln(—

a).又一a>1,即a<—1.

InV

6.函数y=——的极大值为

X

解析：函数y=1nTY的定义域为(°，+8)，

,1—Inx.,-Inx八/口

y=---2—•令y=0,即----2—=0,得x=e.

xx

当X变化时，y',y的变化情况如下表：

X(0,e)e(e,+°°)

y'+0一

极大反

y单调递增单调递减

由表可知，当x=e时，函数有极大值!.

e

答案」

e

7.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于.

解析：y'=-3x?+12x=-3x(x—4).由y'=0,得x=0或x=4.且xG(―8,o)U

(4,+8)时，y'<0；xG(0,4)时,y'>0,；.x=4时取到极大值.故一64+96+m=

13,解得m=-19.

答案：一19

8.已知函数y=x'一3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=.

解析:设f(x)=--3x+c,对f(x)求导可得，f'(x)=3x2—3,令析(设=0,可得x=

+1,易知fG)在(-8,-1),(1,+8)上单调递增，在上单调递减.若f(l)=

1—3+c=0,可得c=2；若£(一1)——l+3+c—0,可得c=-2.

答案：一2或2

9.设a为实数，函数f(x)=e'—2x+2a,xGR,求f(x)的单调区间与极值.

解：由f(x)=e'—2x+2a,xGR知f'(x)=e-2,xGR.令f'(x)=0,得x=ln2.

于是当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

X(-8,In2)In2(In2,+°°)

伊(X)一0+

极小值

f(X)单调递减单调递增

2(l-ln2+a)

故f(x)的单调递减区间是(-8,in2),单调递增区间是(In2,+«>)；f(x)在x=ln2

处取得极小值.极小值为f(In2)=2(1—In2+a),无极大值.

10.已知己x)=ax3+bx2+cx(aW0)在x=±l时取得极值,且f(D=-1.

(1)试求常数a,b,c的值；

(2)试判断x=±l时函数取得极小值还是极大值，并说明理由.

解：(1)由已知,f*(x)=3ax2+2bx+c,

且f'(-l)=f'(1)=0,得3a+2b+c=0,3a—2b+c=0.

又-1,/.a+b+c=—1.

.1,3

..a=],b=0n,c=--

13

(2)由(1)知f(x)—2x3—2X，

f'(x)=-1x2——1)(x+1).

当x〈一1或x>l时，f'(x)>0；

当一l〈x〈l时，f'(x)<0,

函数f(x)在(-8,—1)和(1,+8)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.

...当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；

当X=1时，函数取得极小值f(1)=-1.

[B级综合运用]

11.(多选)已知函数f(x)uax'+bx^+cx,其导函数y=f'(x)的图象经过点(1,0),

(2,0).如图，则下列说法中正确的是()

3

A.当x=E时，函数f(x)取得极小值

B.f(x)有两个极值点

C.当x=2时函数取得极小值

1).当x=l时函数取得极大值

解析：选BCD由图象可知，x=l,x=2是函数的两极值点，；.B正确；又xG(—8,1)

U(2,+8)时，f(x)>0；xG(l,2)时，f'(x)<0,；.x=l是极大值点，x=2是极小

值点，故C、D正确.故选B、C、D.

12.已知函数f(x)=e'(sinx-cosx),x£(0,2021n),则函数f(x)的极大值之和为

()

2n2021J>xnIOlOn、nI0l0«

e(1-e”)e7l-e2020")e(Le)e(1—ex)

Bl2Vr.,2KD.———;~L

n./"।1-e"I—e1—e

解析：选Bf'(x)=2exsinx,令f'(x)=0得sinx=0,.'.x=kn,k《Z,当

2kn<x<2kw+Jt时，f'(x)>0,f(x)单调递增,当(2kT)兀<x<2k”时,fz(x)<0,

f(x)单调递减，.•.当x=(2k+l)”时，f(x)取到极大值，021n),.*.0<(2k+

l)n<2021n,.\0^k<l010,k£Z.If(x)的极大值之和为S=f(n)+f(3")+f(5n)

ri_Z0>«-|»n_2020n.

+…+f(2019n)=e"+e3.+e”+•••+e?°.=(2")=(,),故选B.

1—e1—e

13.若函数£&)=*3+/—2乂一4在区间(一1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围

为•

解析：由题意,f'(x)=3x2+2x—a,

则f'(-l)f'(1)<0,即(1一a)(5—a)<0,解得l<a<5,另外，当a=l时，函数f(x)=x

+x2—X—4在区间(一1,1)上恰有一个极值点，当a=5时，函数f(x)=x3+x2—5x—4在

区间(一1,1)没有极值点.故实数a的范围为［1,5).

答案：［1,5)

14.已知函数函x)=eYax+b)—X?—4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=

4x+4.

(1)求a,b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.

解：(l)f'(x)=ex(ax+a+b)—2x—4.

由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8.

从而a=4,b=4.

(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+l)—x2—4x,

f'(x)=4e'(x+2)-2x-4=4(x+2)(e'-；).

令(x)=0得，x=—ln2或x=-2.

从而当x£(—8,—2)U(—In2,+8)时，『(x)>0；当x£(—2,一In2)时，

fz(x)<0.

故f(x)在(一8,-2),(-In2,+8)上单调递增，在(一2,一In2)上单调递减.

当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为£(-2)=4(1一院2).

[C级拓展探究]

15.已知函数函x)="x、&(a£R,aWO).

e

(1)当a=—1时,求函数f(x)的极值;

(2)若函数F(x)=f(x)+l没有零点，求实数a的取值范围.

解：(1)当a=-l时，f(x)=-f'(x)=—.

ee

由f'(x)=0,得x=2.

当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：

X(—8,2)2(2,+8)

f'(X)—0+

f(X)单调递减极小值单调递增

所以函数f(x)的极小值为£(2)=一5

函数f(x)无极大值.

ae'二(ax二a)e"二a(x二2)

e

①当a<0时,F(x),F'(x)的变化情况如下表:

X(—°°.2)2(2,+8)

F'(x)一0+

F(x)单调递减极小值单调递增

若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)W+1>。,

解得a>—e2,所以此时一e2<a<0；

②当a〉0时，F(x),F'(x)的变化情况如下表:

X(―°°,2)2(2,+8)

X(X)+0—

F(x)单调递增极大值单调递减

当x>2时，F(x)=^n+】>i,

当x<2时，令F(x)=aG：D+l<0,

e

即a(x—1)+e*<0,

由于a(x—1)+ex<a(x-1)+e2,

令a(x—1)+eWO,

2

得xWl一旦,

a

2

即xWl一旦时,

a

F(x)<0,所以F(x)总存在零点，

综上所述，所求实数a的取值范围是(一不,0).

《5・3.2函数的极值和最大(小)值》课后分层作业

第二课时函数的最大(小)值

[A级基础巩固]

1.函数f(x)=x'一4x(|x|〈l)()

A.有最大值，无最小值B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

2.函数f(x)=2#+,，xd(0,5］的最小值为()

1

23D+

17一-

A.B.42

1nY

3.函数y=——的最大值为()

X

A.e-1B.eC,e2D.10

4.函数f(x)=——3ax—a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()

A.［0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(0,0

5.若函数f(x)=x；'-3x'-9x+k在区间［-4,4］上的最大值为10,则其最小值为()

A.-10B.-71C.-15D.-22

6.函数y=^/x—x(x^0)的最大值为.

7.若函数f(x)=x'—3x—a在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为m,n,则m—n=—.

8.设函数fG)』/,若当xe［-2,2Wh不等式f(x)>m恒成立，则实数m的取值范

围是________.

9.设函数f(x)=e，一%一x.

⑴若k=0,求f(x)的最小值；

(2)若k=l,讨论函数f(x)的单调性.

10.已知函数f(x)=x'+ax"+bx+5,曲线y=f(x)在点P(Lf(1))处的切线方程为y=3x

+1.

⑴求a,b的值；

⑵求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.

［B级综合运用］

11.设直线x=t与函数f(x)=x:g(x)=直x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最

小值时t的值为()

1亚也

A.1B.-C.勺D.^

12.(多选)设函数f(x)=xlnx,g(x)=y」，则下列命题正确的是()

A.不等式g(x)>0的解集为g,+8

B.函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减

C.当xi>X2>0时，彳(X：—xg)>f(xi)—f(X2)恒成立，则

D.若函数F(x)=f(x)—ax2有两个极值点，则实数a£(0,1)

15

13.己知函数y=-x?—2x+3在区间［a,2］上的最大值为才，则a=

14.已知函数f(x)In=3x.

x

(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；

(2)求函数f(x)在［1,t］上的最大值.

［C级拓展探究］

15.已知函数f(x)=lnx+冬.

x

(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在［1,e］上的最小值是|,求a的值.

答案解析

［A级基础巩固］

1.函数f(x)=x'一4x(|x|〈l)()

A.有最大值，无最小值B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

解析：选Df'(x)=4x‘一4=4(x—1)(x?+x+l).

令f'(x)=0,得x=l.又xW(—1,1)且1阵(一1,1),

该方程无解，故函数f(x)在(一1,1)上既无极值也无最值.故选D.

2.函数f(x)=2#+g,xC(0,5］的最小值为()

115?—1

解析：选B由f'(x)=-p--=——=0,得x=l,

5xx

且xG(0,1)时，/(x)<0,xG(l,5］时,f'(x)>0,

•••x=l时，f(x)取得极小值且为最小值，故最小值为f(1)=3.

3.函数y=1nUY的最大值为()

A.e-1B.eC.e2D.10

、〃(Inx)*x—Inx1—Inx„

解析：选A令Ay=-------2------=-------=0得x=e.当x>e时,y<0；当OVx

xx

Ve时，y'>0,所以y极大值=f(e)=e，在定义域内只有一个极值，所以丫即=2一)

4.函数f(x)=x：'一3ax—a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(0,

解析：选BVf,(x)=3x‘一3a,

令f'(x)=0,可得a=x?,

又：xG(0,1),.,.0<a<l,故选B.

5.若函数£«)=(-3*2-9*+1<在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为()

A.-10B.-71C.-15D.一22

解析：选Bff(x)=3x2—6x—9=3(x—3)(x+1).

由f'(x)=0,得x=3或x=-1.

又因为f(—4)=k—76,f(3)=k—27,

f(-l)=k+5,f(4)=k—20.

由f(x)max=k+5=10,得k=5,

f(x)min=k—76=—71.

6.函数y=4—x(x2O)的最大值为.

ell,1l—2\lx.1

解析：y二环*2市’令y=°得x=w

•••0Vxv[ll寸，yf>0；x>；时，y'<0.

答案：:

7.若函数f(x)=x，-3x—a在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为m,n,则m—n=

解析：：伊(X)=3X2-3,

...当X>1或X<-1时，f'(x)>0；

当一IVxVl时,f'(x)<0.

在［0,1］上单调递减，在［1,3］上单调递增.

f(x)min=f(1)=1—3—a=—2—a=n.

又・・,f(0)=—a,f(3)=18-a,Af(0)<f(3).

••f(x)max=f(3)=18-a=m,

m—n=18—a—(—2—a)=20.

答案：20

1

2

8.设函数f(x)2-Xe若当xC[-2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，则实数m的取值范

围是.

解析：f'(x)=xe'+%'e'=，•x(x+2),

令f'(x)=0得x=0或x=-2.

当xG［—2,2］时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:

X-2(—2,0)0(0,2)2

f'(x)0—0+

f(x)单调递减极小值0单调递增

.•.当x=0时，f(x)mi„=f(0)=0,要使f(x)>m对x、［-2,2］恒成立,只需m<f(x)」

答案：(一8,0)

|z

9.设函数f(x)=e'一那"一x.

(1)若k=0,求f(x)的最小值；

(2)若k=l,讨论函数f(x)的单调性.

解：⑴k=0时，f(x)—ex—x,f'(x)=e“—1.

当xW(—8,0)时，当(x)<0；

当xG(O,+8)时,f'(x)>0,

所以f(x)在(-8,0)上单调递减，

在(0,+8)上单调递增，

故f(x)的最小值为f(O)=L

(2)若k=l,则f(x)=e”一宗一x,定义域为R.

所以f'(x)=ex—x—1,令g(x)=e'—x—1,

则g'(x)=e»—1,

由g'(x)》0得xNO,所以g(x)在［0,+8)上单调递增，

由g'(x)<0得x<0,所以g(x)在(-8,0)上单调递减，

所以g(x)”i„=g(O)=0,即f'(X)M"=0,故f'(x)20.

所以f(x)在R上单调递增.

10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(l,f(D)处的切线方程为y=3x

+1.

(1)求a,b的值；

(2)求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.

解：(1)依题意可知点P(l,f(D)为切点，代入切线方程y=3x+l可得,

f(l)=3Xl+l=4,

.•,f(l)=l+a+b+5=4,即a+b=-2,

又由f(x)=x3+ax2+bx+5得,

f'(x)=3x'+2ax+b,

而由切线y=3x+l的斜率可知f'(1)=3,

・・・3+2a+b=3,

即2a+b=0,

a+b=-2,［a=2,

由。…八解得L』

2a+b=0,〔b=一4,

.*.a=2,b=­4.

(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,

f(x)=3x?+4x—4=(3x—2)(x+2),

令f'(x)=0,

2

得x=w或x=-2.

当X变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表:

(-3,—2

X-3-21

2)62,(I3

f'(X)+0一0+

f(x)8单调递增极大值单调递减极小值单调递增4

；.f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为

又(-3)=8,又1)=4,

；.f(x)在［-3,1］上的最大值为13.

［B级综合运用］

11.设直线x=t与函数f(x)=x\g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|啾|达到最

小值时t的值为()

1c乖A/2

A.1B.-C.~~D.

解析：选D因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|=f(x)—g(x)=x2—Inx,设

h(x)=x2—Inx,则h'(x)=2x-----令h'(x)=-----------=0,得*=坐或x=一

xxx2

平(舍去)，所以h(x)在(o,由上单调递减，在俘，+8)上单调递增，所以当x=平时

有最小值，故1=乎.

12.(多选)设函数f(x)=xlnx,g(x)=—则下列命题正确的是()

A.不等式g(x)>0的解集为g,+8)

B.函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减

C.当Xi>X2>0时，5(x：—x。>f(xi)—f(X2)恒成立，则mel

D.若函数F(x)=f(x)—ax?有两个极值点，则实数(0,1)

解析：选ACf(x)=xlnx的导函数为f，(x)=l+lnx,则g(x)=^―

xx

—InY1+InXI

g'(x)=-L,对于A,g(x)>0,即------->0,解得X>一,故A正确；对于B,

xxe

—1nY

g，(x)=r^,当xe(0,1)时，gz(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增，故B错误；对于

C,3(x；—X。>f(X1)-f(X2)可化为f(X2)—能>f(X1)—设6(x)=f(x)—齐，又X1>X2

>0,・••小(x)在(0,+8)上单调递减，.・.4)'(x)=l+lnx—mxWO在(0,+8)上恒成

立，即上?口在(0,+8)上恒成立.又g(x)=上¥=在(0,1)上单调递增，在(1,

+8)上单调递减，.・.g(x)在x=l处取得最大值，g(l)=l,故C正确；对于D,

若函数F(x)=f(x)—ax?有两个极值点，则伊(x)=l+lnx—2ax有两个零点，即1+ln

x—2ax=0有两个不等实根.2a=l+「x,又=1±詈£在(0门)上单调递增，在(晨

+8)上单调递减，g(l)=1,X—+8时，g(x)-0,即2a£(0,1),a£(0,故D错

误.故选A、C.

15

13.已知函数y=—x?—2x+3在区间［a,2］上的最大值为牙，贝I」a=.

解析：y'=-2x—2,令y'=0,得x=-1,

・・・函数在(一8,—1)上单调递增，

在(-1>+8)上单调递减.

15

若a>一1,则最大值为f(a)=—a——2a+3=-p

解得a=一芥=一亭舍去)；

15

若aW-l,则最大值为f(-l)=-1+2+3=421.

1

综上知,a-2-

答案：一5

14.已知函数f(x)=1n3.Y

X

(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程;

⑵求函数f(x)在［1,打上的最大值.

解：f(x)的定义域为(0,+8),

f(x)的导数f'(X)」—「x.

(l)f'(1)=1,所以切线方程为y=x-l.

1—1nY

⑵令f'(x)=——=0,解得x=e.

X

当x£(0,e)时，f'(x)>0,f(x)单调递增,

当xW(e,+8)时,fz(x)<0,f(x)单调递减,

当l〈t<e时，f(x)在［1,t］上单调递增,

f(X)max=f(t)=3工，

当t2e时,门外在口，当上单调递增,

在［e,t］上单调递减，f(x)=f(e)

maxe

［C级拓展探究］

15.已知函数函x)=lnx+-.

x

(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在［1,e］上的最小值是5,求a的值.

解：函数f(x)=lnx+色的定义域为(0,+8),

x

”/、1ax-a

f(x)----2=——,

XXX

(1)Va<0,：.f'(x)>0,

故函数在其定义域(0,+8)上单调递增.

(2)xG［l,e］时，分如下情况讨论：

①当a〈l时，f'(x)>0,

函数f(x)单调递增，其最小值为f(l)=a〈L

这与函数在［1,e］上的最小值是］相矛盾；

②当a=l时;函数f(x)在［1,e］上单调递增，其最小值为f(l)=l，同样与最小值是5相

矛盾；

③当l<a<e时，函数f(x)在［1,a)上有f'(x)<0,f(x)单调递减,在(a,e］上有

f(x)>0,f(x)单调递增，

Q

所以，函数f(X)的最小值为f(a)=lna+1,由Ina+l=］,得a=«.

④当a=e时，函数f(x)在［1,e］上有f'(x)〈函f(x)单调递减，其最小值为f(e)=2,

这与最小值是那矛盾；

⑤当a>e时，显然函数f(x)在［1,e］上单调递减，其最小值为f(e)=1+当2,仍与最小值

e

是郛矛盾；

综上所述，a的值为十.

《5.3.2函数的极值和最大(小)值》同步检测试卷

注意事项:

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色

签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.已知函数=则（）

A.函数/（%）的极大值点为户血

B.函数/（力在卜8,—0）上单调递减

C.函数/（X）在R上有3个零点

D.函数“X）在原点处的切线方程为y=-3e3工

2.已知函数f（x）=d—p/—/的图象与x轴相切于点（1,0）,则“X）的极小值为

（）

3.若函数y=有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（）

A.m<-B.0<m<—C.m>—D.0<m<l

222

4.已知可导函数/（x）的导函数为尸（x）,则“1（%）=0"是=是函数/（x）的

一个极值点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数/（刈=^^（。>0）在口,”）上的最大值为@，则a的值为（）

+a3

「34

A.A/3—1B.—C.一D.G+l

“43

6.若函数/(幻=(/+》2一1在区间(九m+3)上存在最小值，则实数m的取值范围是

()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

7.已知函数/(x)=x2—21nx,若在定义域内存在看,使得不等式/(/)—，％,0成立，

则实数m的最小值是()

A.2B.-2C.1D.-1

8.若函数=+如2+1(加力0)在区间(0,2)上的极大值为最大值，则m的取值范

围是()

A.(0,3)B.(-3,0)C.(一8,-3)D.(3,+«))

二、多选题

9.已知函数/(x)="-Inx-2,则下列说法正确的是()

A.f(x)有且仅有一个极值点

B./(x)有零点

C.若/(x)的极小值点为/,则0</(/)<g

D.若/(x)的极小值点为则;</(/)<1

10.(多选)已知函数/(x)=or—Inx(aeR),则下列说法正确的是()

A.若a40,则函数/(x)没有极值

B.若。>0,则函数/(x)有极值

C.若函数/(X)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是1-8,3)

D.若函数/(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(—8,0]

11.定义在R上的函数/(x),若存在函数g(x)=，w+8(a,b为常数)，使得

/(x)Ng(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数/(X)的一个承托函数，下列命题中

正确的是()

一Inx,x>0

A.函数g(x)=-2是函数/口)=4,的一个承托函数

i,x,o

B.函数g(x)=x-l是函数/(x)=x+sinx的一个承托函数

C.若函数g(x)=ca是函数“r)="的一个承托函数，则a的取值范围是［0,e］

D.值域是R的函数〃x)不存在承托函数

12.设函数八力=优-4“>1)的定义域为(0,+“)，己知/(X)有且只有一个零点，下

列结论正确的有()

A.a=eB./(x)在区间(l,e)单调递增

C.x=l是/(力的极大值点D./(e)是“X)的最小值

三、填空题

13.已知x=l是函数〃力=£+/的极值点，则实数。的值为.

14.已知函数/(》)=63+2彳2-4x+5,当x=g时，函数“X)有极值，则函数在

［-3,1］上的最大值为.

2x-e\x<0

15.对于函数/(九)=721有下列命题：

x—2xH—,x>0

2

2

①在该函数图象上一点(-2,f(-2))处的切线的斜率为T-；

e

2

②函数f(x)的最小值为--；

e

③该函数图象与x轴有4个交点；

④函数f(x)在(-8,-1］上为减函数，在(0,1］上也为减函数.

其中正确命题的序号是.

四、双空题

]nx

16.已知函数f(x)=——.

X

(1)函数的最大值等于;

(2)若对任意看,工2e[a,xo),都有成立，则实数a的最小值是

答案解析

一、单选题

1.已知函数/(%)=1#-3x|",则()

A.函数/(x)的极大值点为x=V5

B.函数/(x)在卜8,_应)上单调递减

C.函数“X)在R上有3个零点

D.函数/(x)在原点处的切线方程为y=-3e'x

【答案】D

【解析】A选项：由/(尤)=(|尤2-3x卜，得r(x)=e3(3x—3),令f(x)=O,

得x=l,故xe(-oo,l),f'(x)<0,/(x)=[Tf-3x卜3为减函数，

XG(L+OO),/'(x)>0,/(x)=(Tx2—3x}e3为增函数，所以x=l

是函数/(x)的极小值点，无极大值点，故A错;

(5),/(幻=(#-3%)

B选项：当xe/为减函数，故B错;

C选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C错;

D选项：切线斜率左=/'(0)=-3e3,所以切线方程为y=-3e3x,D正确.故选：D

2.己知函数〃X)=X3—/的图象与工轴相切于点(1,0),则/(%)的极小值为

()

45

A.0B.---C.——D.1

2727

【答案】A

【解析】由题知/'(x)=3%2-2Px-q,由于函数“力=/一〃/一"的图象与x轴相

2。工。,解得彳P=2

切于点(1,。)，则，

f(\)=\-p-q=Q4=一1

.\/(x)=x3-2x2+x,「./'(%)=3x2-4x+l,

令r(无)=o,可得x=g或x=i,列表如下:

X1。,+8)

H)3

r(x)