第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测B（解析版）-教案课件-人教版高中数学选择性必修二（选修二）

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典

第五章一元函数的导数及其应用单元检测B解析版

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知函数丫=叶'。)的图象如图所示，下面四个图象中y=/(x)的图象大致是()

【答案】c

【解析】

【分析】

根据函数⑴的图象，依次判断f(x)在区间(-如-1).(-1,0),(0,1),(1,+8)

上的单调性即可

【详解】

由函数丫=犷'(x)的图象可知：

当x<-1时，xf(x)<0,f(x)>0,此时/(x)增,

当-l<x<0时，xf(x)>0,f(x)<0,此时/(x)减，

当QVxVl时,xf(x)<0,f(x)<0,此时<(<减,

当x>l时,xf(x)>0,f(x)>0,此时/(x)增.

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题.属于基础题.

TTTTTT

2.若函数/(x)=cosx+2?'Q),则/(一；)与/(；)的大小关系是()

633

A./(J)=/(5)B./(-y)</(y)

c./(-y)>/(y)D・不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

先对函数求导，求出了'(看)进而可判断出函数/(x)单调性，得出结果.

【详解】

因为小)=8"2矿闾，

所以r(x)=—sinx+2f'D故尸闱=_si哈+27闱,解得了'图=；,

所以(x)=-sin%+120,

因此，函数〃x)=cosx+光单调递增；

故选B

【点睛】

本题主要考查导数的计算以及导数的应用，熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可，

属于常考题型.

3.设直线x=/与函数/(£)=2/,g(x)=lnx的图象分别交于点M，N,则当|MN|达到最小

时/的值为()

A.1B.—C.@D.—

222

【答案】B

【解析】

【分析】

将一(X)-g(x)，构建新函数/i(x),对新函数进行求导，分析单调性，求出极小值，则可求得

达到最小值时候f的值.

【详解】

令〃(x)=/(x)-g(x)=2x2-lnx,

故的最小值即为外幻的最小值，

对版X)求导有:

hr(x)=4x一■-,

x

令〃'(x)=0有：x=-,

2

h(x)在(0,；)上单调递减，在上1单调递增,

2

]_

2

故选：B

【点睛】

本题需要学生构建新函数，将原题中两函数间的最小值问题，转化为新函数的最小值问题，考查了

学生对运用导数处理函数最值问题的能力.需要有较强的转化化归思想，为容易题.

4.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分

家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式

来琢磨函数的图象的特征，已知函数y=/(x),2》,2句的部分图像如图所示，则/⑴的

解析式可能为()

A./(x)=sm:B./(x)=(sin2x4-x3)eW

C.于(x)=s，2：+AD./(x)=^in2x+d)e*

e㈤

【答案】C

【解析】

【分析】

首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数/（X）为奇函数，从而排除A,D；之后再利用图象

的变化趋势，可以排除B,得出正确选项.

【详解】

由已知，图象关于原点对称，故函数/（X）为奇函数，排除A,D；

又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0,排除B选项，

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性,

得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的

变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目.

5.曲线y=21nx上的点到直线2x—y+3=0的最短距离为（）

A.75B.275C.3新D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

设与直线2x—y+3=O平行且与曲线y=21nx相切的直线方程为2x—y+m=0.设切点为

尸（不，%），利用导数的几何意义求得切点尸，再利用点到直线的距离公式即可得出结果•

【详解】

设与直线2%-丁+3=0平行且与曲线丁=2111%相切的直线方程为2》一y+，〃=0.

2

设切点为P（Xo,%），对函数y=2Inx求导得y'=—，

由一=2,可得%=1,则%=21nl=0,所以，切点为尸（1,0）.

|2-0+3|

则点P到直线2x—y+3=0的距离d==小

^22+(-l)-

■.曲线y=21nx上的点到直线2x—y+3=0的最短距离是6.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.

6.若曲线/(x)=lnx在处的切线也是曲线g(x)=d—2x—a的切线，则。=()

A.-1B.1C.-1或3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义求出曲线”力在(1,/。))处的切线，将切线斜率代入到g'(x)中，求出切点

坐标，根据切点在曲线上可得。的值.

【详解】

由/(x)=lnx得/(1)=0,/'(x)=5,故/'⑴=1，

故切线方程为y=x-I.

由g(x)=d_2x-a得g'(x)=3x2—2.

令8’(同=3/-2=1,解得i=±l.

代入切线方程y=x-l,求得切点为(1,0)或(一1,一2).将切点坐标代入g(x)=d-2x-a,求得

。二-1或a=3.

故选：C.

7.已知函数/(%)=2/+办+4.过点M(TO)引曲线c：y=/(x)的两条切线，这两条切线与y

轴分别交于N,B两点,若IM4RM3I,则F。)的极大值点为()

A3>/2R3&„V6nV6

4433

【答案】A

【解析】

【分析】

设切点的横坐标为t,利用切点与点”连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立

有关，的方程，得II"的值，再由邳得出两切线的斜率之和为零，于此得出。的值，再利

用导数求出函数y=/(力的极大值点.

【详解】

设切点坐标为«,2尸+必+a),•.•)/=6/+。，6产+a=2"昔+幺,即4r+6产=0,

解得1=0或/=—=...yL=o+yL='=°，即2a+6x(—|)=0，

27/、2273x/2...3V2„,,(x业3夜3五"

则。=----,flx)=6x——.Ix<-----或x>----时，ff(x)>0n：当------<x<----时,

4-444744

/'(切<0.故/(司的极大值点为一手.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设

切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题.

8.已知函数/(x)=—2丁+2++2%+2.则下列结论中错误的是()

A.“X)的极值点不止一个B./(x)的最小值为2&

c.的图象关于)，轴对称D./(X)在(—8,()］上单调递减

【答案】A

【解析】

【分析】

判断函数的值域以及函数的单调性，求解函数的极值，函数的奇偶性、对称性，即可得到结果.

【详解】

因为(X)=2/+4+2新+2j-(2x)2=2/+4+2A/X4+4，/(x)>0,

所以/(x)=)2尤2+4+2>/尤4+：,

则当x20时，“X)单调递增，

当x«0时，“X)单调递减，

所以“外向=/(°)=2夜，且/(x)只有一个极值点・

因为/(—x)=/(x)，所以“X)是偶函数，其图象关于)’轴对称.

所以选项BCD正确，选项A错误，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了函数的图象和性质，函数的关系式，主要考查学牛.的运算能力和转换能力及思维能

力，属于中档题.

二、多选题

9.函数f(x)在定义域R内可导，若/(x)=/(2-x),且(x—l)/'(x)<0,若

a=/(0),^=/W,c=/(3),则明dc的大小关系正确的有()

A.b>aB.c>hC.b>cD.c>a

【答案】AC

【解析】

【分析】

确定函数关于x=l对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.

【详解】

由/(x)=〃2—力得〃x+l)=/(1-x)，则函数关于尤=1对称，

当x>l时，由(x—l)/'(x)<0得/'(x)<0,函数单调递减；

当x<l时，由(x-l)/'(x)<0得/'(x)>0,函数单调递增.

又g=/(。)=/(2)，人=/6)=/(目,c=7(3),故Z?>a>c.

故选：AC.

【点睛】

本题考查导数的方法判定函数单调性，利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考

查学生对于函数性质的综合应用能力，属于常考题型.

10.已知函数/(x)=ax3+/zx2+cx+d(awO)有两个互异的极值点为,/(%]</)，下列说话正确

的是()

A.b2-3ac>0

B.有三个零点的充要条件是/(%)/(尤2)<。

C.a>0时，Ax)在区间(不马)上单调递减

D."0时，/(西)为极大值，/(9)为极小值

【答案】ABC

【解析】

【分析】

求导f'(x)^3ax2+2bx+c,根据/(x)有两个互异的极值点石,々(石<々)逐项验证.

【详解】

因为函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(aW0),

所以f(x)=3ax2+2bx+c,

因为/(x)有两个互异的极值点玉,々(百<w),

所以A=(20)2-12ac=4(加一3ac)>0,故A正确；

所以若/(幻有三个零点则/U,)/(x2)<0,故B正确；

当a>0时，/'(X)=3G?+2bx+c开口向上，则尤仅不刍)时，/'(x)<0,所以/(x)区间(*,9)

上单调递减，故C正确；

当avO时，当无或x>超时，/，(x)<0,当用<》<々时，/,(x)>0,所以/(石)为极小值,

/(马)为极大值，故D错误；

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11.若存在“，使得”X)2〃?对任意恒成立，则函数/(X)在。上有下界，其中S为函数

/(%)的一个下界;若存在M，使得“X)WM对任意xe。恒成立,则函数“X)在。上有上界，

其中例为函数/(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正

确的是()

A.2是函数y(x)=x+—(x>0)的一个下界B.函数/(x)=xlnx有下界，无上界

X

jyxcinx

C.函数〃x)=4有上界，无下界D.函数/'(X)=F—有界

x~X+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由基本不等式可判断A；利用导数可确定即可判断B；山/(%)=q>0恒成立即可

ex

判断C：利用放缩法即可判断D.

【详解】

对于A,当无>0时，%+工22、.・工=2,当且仅当尤=1时取等号，

X\X

.•./(X)22恒成立，.12是/(X)的一个下界，故A正确;

对于B,因为/‘(6=111%+1(%>0),

.,.当xe(0,eT)时，/,(x)<0；xe(eT,+<x>)时，/'(x)>0,

;J(x)在(0,eT)上单调递减，在(/，长。)上单调递增，

=.••/(x)有下界，

又X—>田时，/(x)f+oo,二/(%)无上界，故B正确；

对于C,f〉。，/>0，.♦./(力=4>0恒成立，.•・/(X)有下界，故C错误;

-1<sin尤<1

对于D,,,,sinxG(-l,l]

x2+l-x2+l-x2+l

-11QI八v*

又F—>-1.--<1,-W1,.•./(%)既有上界又有下界,

x2+lx2+lX+1

即〃x)有界，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利

用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题.

12.如图，在四面体ABC。中，点用，G，。分别在棱A8,AC,上，且平面4GA〃平

面BCD,4为\BCD内一点，记三棱锥A-4G。的体积为V,设空LUX,对于函数V=/(X),

AD

则下列结论正确的是()

2

A.当x时，函数/(x)取到最大值

2

B.函数/(x)在(彳,1)上是减函数

C.函数/(X)的图象关于直线》=,对称

2

D.不存在%,使得/(%)＞；匕.so(其中匕-BO为四面体ABC。的体积).

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由题意可知B£Rs.BCD,设匕-88=%，则匕2内A=/(x)=f(l-x)%.利用导数性质求

2

出当X=］时，函数/*)取到最大值.

【详解】

.•在四面体ABC。中，点G，2分别在棱AB，AC,AD上，

且平面BCQJ/平面BCO，

由题意可知B£D[SBCD,

CD_AD^_.Sg1c、队_2

——A,••一人.

CDADS&BCD

,棱锥A—8CA与棱锥A—BCD的高之比为l—x.设匕一SCD=%，

，k“4=/(x)=x2(l—x)%.

2

f\x)=2xV0-3xV(),

22

当了‘(x)>o时,o<x<~,当r(x)<o时，x>-,

33

...当x=2时，函数/(x)取到最大值.故A正确；

3

2

函数在函数/(x)在(§,1)上是减函数，故8正确；

函数f(x)的图像不关于直线x对称，故C错误；

2

/(,|)=(■|)2(1一|)匕-88=-^j^A-BCD,

不存在%，使得/(%)>:匕-88(其中匕-BCD为四面体ABCD的体积)•故。正确•

故选：ABD.

【点睛】

本题考查相似三角形性质的应用，利用导数研究几何体体积最值问题，属于中档题

三、填空题

13.设存在导函数且满足lim］」）—"1-2©）=_i,则曲线9二〃1上的点（1J⑴）处

Ai。2Ax

的切线的斜率为.

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据导数的定义和几何意义即可得到答案.

【详解】

由题知：lim/（l）-/（l-2Ax）

所以曲线y=/（x）卜.的点（1,/。））处的切线的斜率为一1.

故答案为：—1

【点睛】

本题主要考查导数的定义和几何意义，属于简单题.

14.在_ASC中，。力,。分别为角4,3,。的对边，若函数/（幻=$3+辰2+（/+。2-。（舛+1

有极值点，则DB的范围是.

【答案】（小兀）

【解析】

【分析】

【详解】

由题意/'（幻=/+2版+（。2+。2-ac）有两个不等实根，

所以A=4Z?2-4（/+。2-。（?）〉0a2+c2-b2<ac.

所以cos5="一+1—”<].,所以工<B〈万

2ac23

故答案为：(q，万)

【点睛】

对定义域内的可导函数来讲，导函数/'(%)的零点是函数极值点的必要条件，只有在X。的两侧

尸(幻的符号正好相反，X。都是极值点.本题中导函数/'(%)是二次函数，因此要使得/1'(%)的零

点为了(X)的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可.

15.对于三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d\aW0),给出定义：设/'(x)是函数y=fM的导数,

.，(x)是尸(X)的导数，若方程/(x)=o有实数解%,则称点(尤。，/(X。))为函数y=/(x)的“拐

点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就

高++'（瑞

是对称中心.设函数g(x)=2/-3X2+1则《2020卜(2020卜

【答案】0

【解析】

【分析】

由题意对已知函数进行二次求导，得出函数关于点中心对称，即g(l-x)+g(x)=0,有次

即可得到结果.

【详解】

由8（%）=21一3/+；可得g，（x）=6x2_6x,g"（x）=12x-6,令g"（x）=12x-6=0解得

x=3,g（；）=2（；）—+g=0,山题意可得函数8（幻=2丁一3/+（关于点]g,0）中

心对称，所以g(l—x)+g(x)=0,所以

圭卜g1募＞g岛卜+g［黑］

(2019、2018、

+g----++S=0.

(2020〃2Q20))'[2)

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查导函数的求法，以及中心对称问题，解题的关键是找出中心对称的对称中心，考查学

生的综合分析能力.

16.如图，在矩形。43。与扇形OC。拼接而成的平面图形中，Q4=3,AB=5,ZCOD=-

69

7T

点E在弧CD上，尸在AB上，/£0/=耳.设//70。=%，则当平面区域0瓦'8/?(阴影部分)

的面积取到最大值时cosx=

4

【答案】y

【解析】

【分析】

257t199

先将阴影部分的面积表示为15+=一--(——+25x),〃(x)=——+25x,只需求使得〃(x)取

62tanxtanx

最小值的看即可得到答案.

【详解】

jr31jr25九"25

由已知，xG,tan4=一,易得扇形EOC的面积为7x—x)x52=......-~x,

13

四边形尸的面积为3x5—7x3x——，故阴影部分的面积为

2tanx

25〃1/9«、、兀，/、9cum.i>,/x-9sin2x-9cos2x八「

15+--------(------+25x),设/1(%)=------+25x,则，(x)=-----------------------+25=

62tanxtanxsinx

(4sinx+3cosx)dsinL)令方⑴句，得tanx、工,我，记其解为％,

sinx45

JT

并且/l(x)在［%,%］上单调递减，在［/,］］单调递增，所以/X)得最小值为以/)，阴影部

25乃314

分的面积最大值为15+-------h(x),此时tan/=一，cosx=cosx=,=-.

6n40Jl+tairxo5

4

故答案为：—.

【点睛】

本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，

是一道有一定难度的题.

四、解答题

17.已知二次函数/(x)=f+2x.

(1)求/(x)在点(1，/⑴)处的切线方程；

(2)讨论函数g(x)=/(x)+aln(x+l)的单调性

【答案】(1)4x—y—1=0；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

(I)对函数/(x)求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；

(2)先对g(x)求导，分别讨论。<0两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得

出结果.

【详解】

(1)由/(》)=%2+2%得/'(%)=2%+2,

则/(x)在点(1,/(1))处的切线斜率为k=,f(l)=4,

又"1)=3,

所以/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为>一3=4(%—1),即4x-y-l=0：

(2)因为g(x)=f+2x+aln(x+l)(x>-l)

u、a2(x+l)~+a

所cci以g'(x)=2x+2+-^-=-^——1——

')x+lx+\

当aNO时,g'(x)在(一1,+8)上恒正;

所以g(x)在(-1,小)上单调递增

当a<0时，由g'(x)=。得X=—1+J—],

所以当xe-1,-1+时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

1+8

当xe-1+时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

综上所述,

当“20时，g(x)在(-l,+oo)上单调递增;

/、

-外寸，g(x)单调递减；当X

当4<0时，当XG-1,-1+-5，+co时，g(x)单调

7

递增.

【点睛】

本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.

18.如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形

ABCD所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点。为圆心，OM

为半径做圆弧MN，将作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自P点起，改为

直道PN.已知0N=0M=3千米，点A到OM,ON的距离分别为J千米和1千米，AB//ON,

且=1千米，记NPQN=6.

(1)求sin。的取值范围；

(2)已知弧形线路〃尸的造价与弧长成正比，比例系数为3a,直道PN的造价与长度的平方成正

比，比例系数为明当，为多少时，总造价最少？

【答案】(1)设)当。为:时，总造价最少.

【解析】

【分析】

(D以。为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求出直线CN的方程，MN

所在圆的方程，联立直线与圆的方程，求出交点C的坐标，当尸N过点。时，求出sin。，结合图形，

即可得出结果；

(2)先由题意，得到MP的长为设尸(3cose,3sin6),得出

/(e)=3ax3(5—ej+a(18-18cos。)，9e(0,4),sin^=1^,用导数的方法求出其最小值

即可.

【详解】

(1)以。为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则N(3,0),出/)，呜二)

,MK

4

所以直线CN的方程为丁=一^(犬一3),

MN所在圆的方程为x?+y2=9,

4」2,

y=—(x—3),25

联立广3解得：：，

22c

1%+y=9，[y=25,

(2172、24

当尸N过点C时，Fl—Lsin。-----，

25

所以sin。的取值范围是(0,II]

(2)由题意，M尸的长为3径一。]，

设尸（3cos^,3sin6）,

则PN2=（3cos。—3）2+（3sin。）2=18-18cos。,

所以总造价/(。)=3ax3怎—6+8-18cos6)

9%

=a+18-96>-18COS0L6e(0,4)，sin^^—

)25

所以r(6)=a(18sine-9),

1(24\7T71

令/'(夕)=。得，sin6^=-e0,—,所以。=一，列表如下:

2\25/6

e71

屉）6

+

八，）—0

极小值/

TT

所以当时，有极小值，也是最小值.

6

答：当。为5时，总造价最少•

6

【点睛】

本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.

19.已知函数/(x)-^-(i-a^x-ainx.aeR.

⑴若“X）存在极值点1,求。的值;

⑵若/（x）存在两个不同的零点王,々，求证：再+/>2.

【答案】（1）。=1；（2）见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：(1)由f(x)存在极值点为1,得了'(1)=0,可解得a.

⑵是典型的极值点偏移问题，先证明妆x)=/(2a—x)-/(x)>0,再利用f(x)在(0,a)上的单调

性，即可得证.

试题解析：(1)/'(x)=x+l—a—因为/(x)存在极值点为1,所以/'(1)=0,即

2—2a=0,a=l,经检验符合题意，所以。=1.

(2)尸(x)=x+l-a--=(x+l)^l-—^(x>0)

当aVO时，/'(x)>0恒成立，所以/(X)在(0,+。)上为增函数，不符合题意；

□当a>0时，由/'(x)=0得x=a,

当x>a时，/(x)>0,所以/(x)为增函数，

当0<x<a时，r(x)<0,所/(x)为减函数，

所以当x=a时，〃X)取得极小值〃a)

又因为/(X)存在两个不同零点为,々，所以.f(a)<0,即ga?+(l-a)a-alna<0

整理得Inez>1—a,

2

作N=/(x)关于直线x=a的对称曲线g(x)=/(2a-x),

oa__丫

令/z(x)==/(2Q-X)-/(X)=2a—2x—a\n--------

h'(x}=-2+•：—=-2+——丝——>0

(2a-x)x+/

所以h（x）在（0,2a）上单调递增,

不妨设玉＜a＜々＜2。，则。）＞〃（。）=（）,

即晨々）=/（2。-9）＞/（工2）=/（石），

又因为2。一/e（0,a）,玉e（0,a）,且/（x）在（0,a）上为减函数,

故2。一无2＜不，即龙|+%2〉2”,又lna＞l-易知a＞l成立,

故％+龙2〉2.

点晴：I/（%）存在极

值点1,所以/'（1）=0,解得。=1;第二问处理极值点问题有两个关键步骤：一是在（a,2a）构造函

数〃（x）=/（2a-x）-“X）证明其大于于0恒成立，：是利用在（0,a）上为减函数,两者结

合即可证明结论成立.

20.已知函数/（%）=/-2"+21nx（aeR）.

（1）讨论函数/（x）的单调性；

（2）若/（X）存在两个极值点看,吃（工2＞王），求证：/（^）-/（x1）＜（2-a）（x2-x1）.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析：（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（D求出导函数，根据二次函数的』与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根

的正负与定义域的关系；

（2）山石,%（玉＜々）是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将，（电）一/（%）转

变为关于玉，/函数，再运用内，々的关系将不等式转化为证Z一」--21nx2＞°,构造函数

g(x)=x——21nx(x＞l),分析函数g(x)的单调性，得出最值，不等式可得证.

x

【详解】

⑴解：函数“X)的定义域为(0,+8),f\x)=2x-2a+-=2(^-^+0,则△=/一4.

XX

①当”40时，对Vxe(0,+8),/'(x)〉0,所以函数/(X)在(0,+00)上单调递增；

②当0＜aW2时，A＜0.所以对Vxe(0,+oo),/(x)20,所以函数在(0,+8)匕单调递增;

③当。＞2时，令/'(x)＞0,得。＜尤＜伫包心或x＞a+’—-4,所以函数/(X)在

22

„ci—ylci~—4।a+\/cr—4.,,

0,—\——，——-——,+«上单倜速增;

令/(幻＜0,得"与三4＜》＜生咚三a,所以/(X)在小号三，空岑三)上单调递减.

X+X=Q,

(2)证明：由(1)知。>2且〈■9，所以0<%<1<工2.

x]x2=1,

x_xx-

又由/(2)/(i)~(22OX2+21n尤2)--2axi+21nxJ

=(^2-Xj)+21n—=(xf2(x2+Xj)(x2-XJ+21n—=-(x|-x^+21n—

又因为

Z

(2—6)(%2—xj=2(X2—xt)—a(x2—x))=2(x2—Xj)—(x2+%)(只-xj=2(马—七)一卜;一工；)

所以要证/(9)一/(为)＜(2—。)(*2—％)，只需证21n强＜2(々一＞).

x]

因为玉迎=1，所以只需证坨后＜马一一，即证々-----21nx2＞0.

令g(x)=x」-21nx(x>1),则g'(x)=l+3-2=仕一1)>0.所以函数g(x)在(1,+0。)上

xxx)

单调递增，

所以对Vx>l,g(x)>g⑴=0.所以々一---21nx2>0.

所以若/(X)存在两个极值点不，w(w>%)，则/(々)一/(2)<(2—4)(工2—王).

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通

过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量(注意变量的范围)的式

子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.

21.已知函数/(x)=lnx-ax+l,awR.

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式/(x)S0恒成立，求实数。的取值范围；

(3)当〃eN*时，求证：—।—FH------<ln(/?+l)<Id—I—FH—.

23〃+123n

【答案】(1)答案见解析；(2)«>1；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)对函数求导，然后分。>0两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；

(2)利用导数求/(x)的最大值小于零即可，或/(x)=lnx-ar+l40恒成立，等价于a>电出.，

X

%>o,然后构造函数g(x)=5W,利用导数求其最大值即可；

X

(3)由(2)知，当。=1时，/(X)40恒成立，即InxVx—1(仅当x=l时等号成立)1当

%=学■次eN*时，有In学■<5,然后利用累加法可得In(〃+1)<1+?+?+…+，，当

kkk23n

x=—J,ZeN*时，有ln5.>—,再利用累加法可得ln(〃+l)>,+…+」一，从而

k+1k左+1234n+\

可证得结论

【详解】

(1)/(x)=ln%-ax+l,x>0,fix')---a

x

当时，r(x)>0,所以f(x)在(0,用)上递增；

u当a>0时，令/(幻=0,则彳=,，

a

当0<x<L时，/'(幻>0：当X〉，时，f(x)<0,

aa

所以/(X)在区间(0,3上递增，在d,+8)上递减.

aa

(2)方法1：构造函数

/(%)=Inx-or+1,x>0,f\x)=--a

x

口当时，由(1)/(X)在(0,+8)上递增，又/(1)=1—。>0,不符合题意，舍;

□当。>0时、由(1)知/(X)在区间(0」)上递增，在d,+00)上递减；

aa

所以/(©max=/(,)=ln(')W。，解得：a>\.

aa

综」.：ci1

方法2：分离参数

/(x)=lnx-"+l«0恒成立，等价于。zg上1,尤>0

X

5/、lnx+1八，/、一Inx人，/、八.

设g(x)=------,尤>0,g(x)=——,令g(x)=。,x=l,贝|J

XX

当0<尤<1时，g'(x)>0；当X>1时，g'(x)<0.

所以g(以在区间。1)上递增，在a+oo)上递减；

所以g(X)max=g(D=l，所以：a>\

(3)由(2)知，当。=1时，/(x)VO恒成立，即InxVx—1(仅当x=l时等号成立)

女+1,»T*,14k+1_攵+1

当％=——,keN时;<------1,BPIn——<'k'

kkkk

▼,,2,,3I,41,n+11

所以，In—<1,In—<—,In—<-,,In----<-；

12233nn

234,M+l<1+也…+L

上述不等式相加可得：ln-+ln=+ln—++ln----

123n23n

234n+1,111

即：

123n23n

即：ln(〃+l)<ld1—,ne.N*；

23