高考备考：高中数学易错点80个公开课

高中数学易错点梳理附详细解析

数学(精品课)中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的"陷阱"，解

题过程中一不小心就会掉进去。下面总结了高考复习中的高中数学易错点分析梳理，希望同学们

在今后的学习中引以为戒，对这些列出来的易错点别中招了。

一、集合与简易逻辑

易错点1对集合表示方法理解存在偏差

【问题】1：已知A={x|x>O},B={y|y>l},求AflB。

错解：4「8=中

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

正确结果：A^B=B

【问题】2：已知A={y|y=x+2},8={(x,y)|x2+y2=4},求4口8。

错解：An8={(0,2),(—2,0)}

正确答案：An3=0>

剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。

反思：对集合表示法部分学生只从形式上"掌握"，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理

解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易错点2在解含参数集合问题时忽视空集

【问题]：已知4={x|2a<x<a2},B={x[—2<x<l},且A=求a的取值范围。

错解：0)

剖析：忽视A=0的情况。

正确答案:[-1,2]

反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合Aq8就有可能忽视

了A=0,导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范

围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了

这个集合，导致答案错误或答案不全面。

易错点3在解含参数问题时忽视元素的互异性

【问题]：已知：LG{a+2,(a+l)2,a2+3a+3],求实数a的值。

错解：a=-2,-1,0

剖析：忽视元素的互异性，其实当a=—2时，(。+1)2="+3。+3=1；当。=一1时，

a+2-a2+3a+3-l；均不符合题意。

正确答案：a-0

反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最

大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的

值，再代入验证。

1

易错点4命题的否定与否命题关系不明

【问题]：写出“若。£用或aeP,则a任MAP"的否命题。

错解一：否命题为“若。史闻或则

剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。

错解二：否命题为“若aeM或aeP,则aeMDP”

剖析：知识不完整，〃必用或“纪2的否定形式应为^^用且。6/3。

正确答案：若aeM一旦awP,则awMClP

反思：命题的否定是命题的非命题，也就是"保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结

论"所得的命题，但否命题是"否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论"所得的

命题。对此。考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题

不够细心。

易错点5充分必要条件颠倒出错

【问题]：已知a1是实数，贝y。>0且。>0"是"a+Z?>0且">0"的

A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

错解：选B

剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。

正确答案：C

反思：对于两个条件A6,如果An3,则A是8的充分条件，8是A的必要条件，如果

A<=>B,则A是3的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结

论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。

易错点6对逻辑联结词及其真值表理解不准

【问题】：命题p：若a、bGR,则同+W>1是|a+4>1的充分而不必要条件；命题q：函数

y=Jlx-lI-2的定义域是(—8,—1]u[3,+8),则

A"p或4"为假B"p且4"为真C〃真g假D〃假(7真

错解一：选A或3

剖析：对真值表记忆不准，本题中〃假4真，因此"p或q"为真，而"p且q"为假。

错法二：选C

剖析：基础不牢，在判断命题真假时出错。

正确答案：D

反思：含逻辑联结词"或"、"且"、"非"的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为

对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。

2

这里介绍一种快速记忆真值表的方法：

"p或4"一一有真则真；"p且q"一—有假则假；"非p"一—真假相反。

易错点7否定全称、特称命题出错

【问题】写出下列命题的否定：

①p：对任意的正整数x,x2>x：

(2)q：存在一个三角形，它的内角和大于180°；

③r:三角形只有一个外接圆。

错解：①「0：对任意的正整数x,x2<x；

②所有的三角形的内角和小于180°；

③「广存在一个三角形有且只有一个外接圆。

剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。

正确答案：①「夕：存在正整数x,使x2<x；

②所有的三角形的内角和都不大于180°；

③「广存在一个三角形至少有两个外接圆。

反思：全称命题p:VxeA/,p(x),它的否定->p:玉e,特称命题0:玉€川,〃(幻，

它的否定r?：VxwM,「p(x)。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全

称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论p(x),而且还要对量词"V和丁，进行

否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否

定形式。

二、函数与导数

易错点8求函数定义域时条件考虑不充分

【问题】：求函数y=一———+(x+l)°的定义域。

,3-2x—x"

错解：[-3,1]

剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为(x+l)°=l对任意实数成立。

正确答案：(―3,T)U(—U)

反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把

各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在

求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真

数大于零；④零的零次幕没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。

3

易错点9求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域"

【问题】已知函数/(x)=log3X+2,xe[l,9]求函数y=[/(x)]2+/(/)的值域。

错解：设t=log3x,G[0,2],.,.y=〃+6r+6,te[0,2],

・・・函数的值域是[6,22]0

剖析：知识欠缺，求函数y=[/(%)『+/(/)定义域时，应考虑

1WxW9

正确答案：函数的值域是[6,13]

反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：

①若已知/(X)的定义域为可，其复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a<g(x)<b解出即

可；②若已知/[g(x)]的定义域为[a,可，求g(x)的定义域，相当于xe®b]时，求g(x)的值域

(即/(无)的定义域)。

易错点分析10判断函数奇偶性时忽视定义域

【问题】1：判断函数8=狂二1乂'+(的奇偶性。

x(x-l)

f+1

错解：原函数即y=——，，为奇函数

x

剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。

正确答案：非奇非偶函数。

【问题】2:判断函数/(x)=jd—1+J1一寸的奇偶性。

错解：•••/(-x)=f(x),.,.为偶函数

剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。

正确答案：既奇且偶函数。

反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇

非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意X都有/(-x)=-/(x),则

/(X)为奇函数；如果对定义域内任意X都有/(-x)=/(x),则/(X)为偶函数，如果对定义域

内存在X。使/(一/)丰一/(X0)，则/(X)不是奇函数；如果对定义域内存在不使

f(-x0)丰f(x0),则/(X)不是偶函数。

易错点11求复合函数单调区间时忽视定义域

【问题】：求函数y=k)go,5(4+3x—x2)的增区间。

4

错解一：...外层函数为减函数，内层函数M=4+3X—/减区间为［|,+8),.•.原函数增区间为

3、

［r―,+00)。

剖析：基础不牢，忽视定义域问题

错解二：•••4+3%-/>0,函数定义域为(—1,4),又内层函数〃=4+3x—x2在(一1,自为增

33

函数，在［—,+8)为减函数，.•.原函数增区间为(-1,1］。

22

剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。

正确答案：［9,4)

2

反思：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用"同增

异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是“同增异减"

法则不会或法则用错。

易错点12解"二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

【问题】：函数/(x)=(/〃-1)/+2(m+1)》一1的图象与X轴只有一个交点，求实数m的取值

范围。

错解：由A=0解得加=0或m=一3

剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑机-1=0的情况。

正确答案：{—3,0,1}

反思、：在二次型函数y=ox?+瓜+。中，当。。o时为二次函数，其图象为抛物线：当。=()力/o

时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意一项的系数是否为o,若不能

确定，应分类讨论，另外有关三个"二次"之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：

ax2+Z?x+c>0解集为R<=>。>0,A<0或24=0">0

ax2+陵+。>0解集为0<=>。<0,2\<0或2=6=0340

易错点13用函数图象解题时作图不准

【问题】：求函数/(幻=/的图象与直线/(x)=2*的交点个数。

错解：两个

剖析：忽视指数函数与幕函数增减速度快慢对作图的影响。

正确答案：三个

反思："数形结合"是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学

学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形"失

真"，从而得出错误的答案。

易错点14忽视转化的等价性

【问题】1：已知方程3%+1=0有且只有一个根在区间(0,1)内，求实数m的取值范围。

5

错解：•.•方程加/—3x+l=0有且只有一个根在区间(0,1)内，.•.函数丁=如2-3》+1的图

象与x轴在(0,1)内有且只有一个交点，.•./(())/⑴<0,解得加<2

剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到△=()情况。

正确答案：m<2且m=9/4

剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。

②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。

正确答案：D

反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前

提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。

易错点15分段函数问题

【问题】1：.已知/(x)=!(2—”)x+lx<l是R上的增函数，求。的取值范围。

axx>\

错解：(L2)

剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视/(x)在分界点附近函数值

大小关系。

正确答案：1,2)

【问题】2:设函数f(x)=F+bx+c，x40，x40，苟■(_4)=/(0),f(-2)=-2,求关于x的方程

[2,x>0.

/(%)=%解的个数。

错解：两个

剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程/(%)=%分两种情况来解。

正确答案：三个

反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇

偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不

能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

易错点16函数零点定理使用不当

6

【问题】若函数/(x)在区间卜2,2］上的图象是连续不断的曲线，且/(x)在(-2,2)内有一个零点，

则乃的值()

A大于0B小于0C等于0D不能确定

错解：由函数零点存在定理知，川-2)力2k0,故选B

剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数/(x)在(-2,2)内有一个零点，且该零

点为"变号零点"，则力-2)力2k0,否则力-2,力2左0.

正确答案：D

反思：函数零点定理是指如果函数/(x)在区间［a,句上的图象是一条连续不断的曲线，并且有

/(aW)<0,那么函数/(x)在区间(。力)内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、

图象法和方程法。函数零点又分为"变号零点"和"不变号零点”，函数零点定理仅适用于"变号零

点"，对"不变号零点"无能为力。

易错点17混淆两类切线的概念

【问题】：若直线y=kx与曲线y=丁-3/+2》相切试求k的值。(提示y=kx即过原点

的切线)

错解：：9二？/一6x+2,.•.斜率Z=2,

剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。

正确答案：％=2或4=一,

4

反思：曲线在点P处的切线”P为切点且P在曲线上，而"过点P的切线”仅能说明点P在曲线的

切线上。

易错点18误解"导数为0"与"有极值"的逻辑关系

【问题】：函数/(X)=/+公2+法+。2在X=1处有极值10,求a,b的值。

错解：由/(1)=10,/'(I)=0解得。=4/=—11或。=—3力=3

剖析：对“导数为0"与"有极值"逻辑关系分辨不清，错把/(%)为极值的必要条件当作充要条件。

正确答案：a=4,b=-ll

反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有

对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现

这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为。只是这个函数在

此点取到极值的必要条件，充要条件是/'(/)=。且/"'(X)在/两侧异号。。

易错点19对"导数值符号"与"函数单调性”关系理解不透彻

【问题】：若函数/(x)=o?—%在R上为减函数，求实数a的取值范围。

7

,o6?<0

错解：由/'。)=3以2_1<0在R上恒成立，.•.《,解得。<0

A=12a<0

剖析：概念模糊，错把/(x)在某个区间上是单调增(减)函数的充分条件当成充要条件。事实

上a=0时满足题意。

正确答案：a<0

反思：一个函数在某个区间上单调增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)

于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大(小)于

0仅为该函数在此区间上单调增(减)的充分条件。

易错点20对"导函数值正负"与"原函数图象升降"关系不清楚

【问题】：已知函数/(x)的导函数r(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象最有可能的是.

错解：选

剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于/'(0)=/<2)=0,且两边值符号相反，故。和2

为极值点；又因为当x<0和x>2时，/'(x)>0,当0<x<2时，/'(x)<0,所以函数/(x)

在(-8,0)和(2,+oo)上为增函数，在(0,2)上为减函数。

正确答案：C

反思:解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系一一极值点的导数值为0：

②导函数值的符号与原函数单调性的关系一一原函数看增减,导函数看正负。

易错点21原解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域J

例/(%)=—H%4是R上的奇函数，(D求a的值(2)求的反函数/T(X)

剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。

解析：(1)利用"x)+/(—X)=0(或/(())=())求得a=l.

2*-1i+y

(2)由a=l即/(x)设3=/(x),则2"(1—、)=1+卜由于丁#1故2”

2x+\1一>

ItzY—\9

x=log,1-",而y(x)=^7—j-=1-^—(T，l)所以尸W=1唯1(T<X<1)

8

反思：(1)在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明

(若反函数的定义域为R可省略)。

(2)应用/T(Z?)=a=/(a)=b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值

要互换。

【练3】函数/(%)=J^T+1(XZ1)的反函数是()

A、y-jc-2x+2(x<l)B,y-x2-2x+2(x>1)

11

c、y-x-2x(x<l)D、y-x-2x(x>l)

答案B

三、数列

易错点22由S“求a”时忽略对"n=1"检验

【问题】：已知数列｛%｝的前n项和S“=〃2一〃+1,求%。

错解:由a,=Sn_S,T解得a“=2〃-2

剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了%=Sn-S,i成立的条件也2,实际上当n=l时就出现了

So,而So是无意义的，所以使用4,=Sn-S,i求/，只能表示第二项以后的各项，而第一项能

否用这个4表示，尚需检验。

正确答案：％=厂(〃=?

"[2n-2(n>2,neN)

反思：在数列问题中，数列的通项凡与其前n项和S,之间关系如下

a=(H("=?,在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数

"—S,u(〃N2,〃eN)

列｛”“｝的勺与S“关系时，先令〃=1求出首项q,然后令“N2求出通项a“=S“—S"T，最

后代入验证。解答此类题常见错误为直接令“22求出通项a“=S“-S,i，也不对〃=1进行检

验。

易错点23忽视两个“中项"的区别

【问题]：b[=ac是a,b,c成等比数列的()

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分有不必要条件

9

错解：c

剖析：思维不缜密，没有注意到当b2=ac时，a,A,c可能为0。

正确答案：B

反思：若。,仇c成等比数列，则6为。和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中

项，"b2=ac"仅是"。为。和c的等比中项"的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

易错点24在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答

结果不到位。

【问题】已知数列｛a“｝是等差数列，且6=2,q+%+%=12

（1）求数列｛〃,｝的通项公式（2）令2=4,乂'（兀€7?）求数列｛4｝前项和的公式。

剖析：本题根据条件确定数列｛a“｝的通项公式再由数列｛%｝的通项公式分析可知数列｛5｝是一个等差数列

和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。

解析：（1）易求得=2n

（2）由（1）得仇=2MX"令s“=2x+4%2+6*3+...+2nr”（I）则

23用减去（注意错过一位再相减）得

xsn=2x+4x+...+2（“-l）x"（U）（1）（II）

2-x"）

(1-x)s“=2x+2x2+2x3+...+2xn-2nxn+y当xw1s=-----.........nx"+'当x=l时

n1-X

力=〃（〃+

sn=2+4+6+...+21）

练上可得：

2

当XW1S”=-----当x=l时=2+4+6+=

"1-X1-x

反思：一般情况下对于数列｛q,｝有g=。也，其中数列｛q｝和也,｝分别为等差数列和等比数列，则其前n

项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比

数列的求和公式就是这种情况的特例。

【练】已知〃“=a"+an~'b+an~2b2+...+ab"~'+b"eN+,a>0,b>0）当。=Z?时，求数列

｛a„｝的前n项和s“

10

(n+l)tz,,+2~(n+2)an+'-a2+2a〃(〃+3)

答案：aw］时s=-------------------------------------------当a=］时s“=------------.

n(1-«)22

易错点25:不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不

清，导致多项或少项。

例、求s”='+-^―+——?——+•••+---------!-----------.

11+21+2+31+2+3+…+〃

剖析：本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过

程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。

解：由等差数列的前〃项和公式得1+2+3+—・+〃=］——

---------!---------=---=2(-———),〃取1,2,3,…，就分别得到1,——，-----------

1+2+3+•♦•+〃n{n+1)nn+l11+21+2+3

・・S〃=2(1---)4-2(---)+2(---)+•••+2(---------)

22334nn+\

=2(1-——)=—.

〃+1n+l

反思、：“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数(也可三个或更多)相乘，

且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般

情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求

———+——+•••+——，方法还是抓通项，即

I2+222+432+6/2+2〃

111/1、

—......=----------=-(----------)，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：

n+2n〃(〃+2)2nn+2

a„=-j=~-j=,求其前〃项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相

+J”+1

消法、错位相减法、倒序相加法等。

【练】求和S“出+D+

22-142-162-1(2〃1一1

112n

答案：S=1H---------bld---------bld----------!-•••+1+=〃+

133557211—\2〃+12/?+1

易错点26等比数列求和时忽视对q讨论

【问题】：在等比数列｛%｝中，5〃为其前n项和，且邑=3%，求它的公比q。

错解：•.•魂3=4(1一炉)=3%，解得q=-,

l-q2

剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。

11

正确答案：q=-；或q=l

反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0,等

比数列的其前n项和S“为分段函数，其中当q=l时，S“=〃4o而这一点正是我们解题中被忽

略的。

易错点27用错了等差、等比数列的相关公式与性质

【问题］：已知等差数列｛凡｝的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项和S3,,,。

错解一：170

剖析：基础不实，记错性质，误以为S,“,S2„,,S3,“成等差数列。

错解二：130

剖析：基础不实，误以为S,“,S2m，S3M满足邑皿=鼠+52皿。

正确答案：210

反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错

了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各

种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。

易错点28用错位相减法求和时项数处理不当

【问题】：求和S“=1+3。+5/+…+（2〃-。

剖析：①考虑不全面，未对。进行讨论，丢掉a=1时的情形。

②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。

③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。

(。=1)

正确答案:12〃(1一/

1a"(ah1)

\-a-----(1-a)2

反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相

减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个

和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个

等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要

处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共“项，有时只有“一1项。

另外，如果公比为字母需分类讨论。

易错点29利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从

1开始）

【问题】等差数列｛4｝的首项%>0,前n项和S“，当时，Sm=S/。问n为何值时S.最大？

剖析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记

此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件】

12

解析：由题意知L=/（〃）=+a｝一一〃此函数是以n为变量的二次函数，因

为6>0,当/wm时，s,〃=s,故dv0即此二次函数开口向下，故由/（/）=/（加）得当x=

I+

/（x）取得最大值，但由于〃eN+,故若/+/W为偶数，当〃=-----时，％最大。

,I+m±l

当/+加为奇数时，当〃=--------时s“最大。

2

反思：数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解

题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数

且没有常数项，反之满足形如,=。〃2+。〃所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由

&知数列中的点是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和

=ca"-c所对应的数列必为-等比数列的前.n项和。

【练】设｛《,｝是等差数列，S,是前n项和，且$5<$6，$6=$7>$8,则下列结论错误的是（）

A、J<0B、%=°C、％>$5口、$6和57均为的最大值。

答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）

易错点30解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。

【问题】已知关于的方程12—3了+〃=0和％2—3%+人=0的四个根组成首项为一的等差数列，求a+h

的值。

剖析：注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。

解析：不妨设一是方程d-3x+a=0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程

4

x2-3x+a=0的另一根是此等差数列的第四项，而方程X?-3x+b=0的两根是等差数列的中间两项，

3579273531

根据等差数列知识易知此等差数列为：一,----,一故a=—,b——从而ci+b=—«

44,4416168

反思：等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功

倍的效果。例如对于笠差数列｛a“｝,若n+m=p+q,则+am=ap+aq；对于等比数列｛a.｝,若

n+m^u+v,则a“=a“•/；若数列｛a“｝是等比数列，S”是其前n项的和，kwN*,那么S*,

s2k-sk,S3*-$2”成等比数列；若数列｛&“｝是等差数列，S”是其前n项的和，kwN*,那么S*，

13

S2k-S*，S3*-s2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。

,,1

【练14］已知方程》2-2%+m=0和*2-2x+〃=0的四个根组成一个首项为一的等差数列，则

4

313

=()A、1B、二C、一D、一

11428

答案:c

易错点31数列中的最值错误

【问题】：在等差数列｛4｝中，q=25,59=Sl6,求此数列的前几项和最大。

剖析：①解题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5,误认为n=12.5。

②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出“3=0时，误认为只有工3最大。

正确答案：《2或外

反思：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理

解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n

为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距

离二次函数的对称轴远近而定。

四、三角函数

易错点32求解时忽略角的范围

35

【问题】1：在AA8C中，sinA=-,cosB=—,求cosA,sinB的值。

513

412

错解：cosA=±—,sinB=±—

513

剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。

4I?

正确答案：cosA=—,sinB=—

513

【问题】2：在AWC中，A、5为锐角，月.sinA=亚,sin8=X10,求A+3的值。

510

错解：先求出sin(A+B)=---,A+5G(0,TC),•*.A+B=—或—

244

剖析：知识残缺，由于A、8为锐角，所以A+6G(0,TT)O又由于正弦函数在(0,万)上不是

单调函数，所以本题不宜求sin(A+3),宜改求cos(A+3)或tan(A+3)。

TT

正确答案：A+B=-

4

【问题】1：在AABC中，已知a=&,b=百,B=±，求角A

3

错解：用正弦定理求得sinA=A=27T或卫2)

244

14

剖析：基础不牢，忽视隐含条件b2。出错。

jr

正确答案：A=—

4

反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时.，务必重视"根据已

知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。

易错点33求关于sinx,cosx最值时忽视正、余弦函数值域

【问题］：已知sinx+siny=g,求siny-cos?x的最大值。

•2

错解：令£=sinx,得sincos?x=r2-r--（-l<r<l）,通过配方、作图解得siny-cos?x

的最大值为上4

3

剖析：本题虽注意到sinx的值域，但未考虑到sinx与siny相互制约，即由于-ksinySL

-l<sinx<l

二sinx必须同时满足<1。

-1<——sinx<1

I3

4

正确答案：一

9

反思：求关于sinx,cosx最值的常规方法是通过令r=sinx（或cosx）将三角函数的最值问题

转化为关于f的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，f只能在某一特定范围内取

值，解题时务必要注意此点。

易错点34三角函数单调性判断错误

【问题】：已知函数y=cos（：-2x）,求它的单调减区间。

TT

错解：2卜兀4——2x42勿T+1

4

剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成

y=cos（2x-±）求解正确答案：（％乃+2,人乃+―^）（ZeZ）

488

反思:对于函数丁=Asin（5+Q）来说，当。>0时，由于内层函数〃是单调递增的，

所以函数丁=45皿5+9）的单调性与函数丁=5山》的单调性相同，故可完全按照函数

y=sinx的单调性来解决；但当。<0时，，内层函数”是单调递减的，所以函数

y=Asin（tur+°）的单调性与函数y=sinx的单调性正好相反，就不能按照函数y=sinx的单

调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角

函数宜根据图象从直观上加以解决。

易错点35图象变换的方向把握不准

【问题］：要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x—1）的图象（）

15

TTITTTIT

A向右平移上个单位B向右平移乙个单位C向左平移上个单位D向左平移七个单位

6336

错解一：C

剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。

错解二：D

剖析：基础不牢，弄错了平移方向。

正确答案：A

反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，

y=sinxfy=sin(x+°)(卬>0)平移的量为|同，

\（p\

y=sinxfy=siny=sin（wx+夕）（卬>0）平移的量为二。

w

易错点36设有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。|

7

例、已知ae((),乃)，sin二+cosa=百求tana的值。

剖析：本题可依据条件sina+cosa=—,利用sina-cosa=±J1-2sinacosa可解得

13

sina-cosa的值，再通过解方程组的方法即可解得sina、cosa的值。但在解题过程中易忽视

sinacosaV。这个隐含条件来确定角a范围，主:观认为sina-cosa的值可正可负从而造成增解。

7120

解析：据已知sina+cosa=—(1)有2sinacosa=------<0,又由于。£(0,九)，故有

1316917

.____________*

sincr>0,cosa<0,从而sina-cosa>0即sina-cos。=Jl-2sinacosa=一(2)联立

13

,•12512

(1)(2)可得sina=—,cosa--，可得tana=一«

13135

反思：在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件

的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在((),〃)区间内、与己知角的三角

函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若ae

加。

有sina+cosa>1,故必有ae

【练】已知sine+cose='，ee（0,7r）,

贝ijcote的值是

3

答案：一一

4

易错点37由图象求函数解析式忽略细节

16

【问题】：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asin(<yx+°)+B(A>0,iw>0).

（1）求这段时间的最大温差.

⑵写出这段曲线的函数解析式。

剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求。时，多数学生由于点的位置取得不当，致使求得的

夕值不好取舍。

7T37r

正确答案：(1)20C(2)j=10sin(-x+—)+20

反思：由三角函数图象求y=Asin（m+°）（A>0,（y>0）的解析式一般分三个步骤：①由函

数的最大（小）值求振幅A；②由函数的周期求③由曲线上的最高（最低）点求初相夕的

一般解，但。有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解。

易错点38：对正弦型函数y=Asin（<wx+°）及余弦型函数y=Acos（ox+°）的性质：如图象、对称轴、

对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义.

.c八冗

例、如果函数丁=sin2x+acos2x的图象关于直线x=■对称，那么a等于（）

A.B.—C.1D.-1

剖析：数>=Asin（GX+。）的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而对称中心是图象

71

与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当了=一一时，y=0,导致解答出错。

8

解析：（法一）函数的解析式可化为y=J