高中数学圆锥曲线试题

圆锥曲线（文科练习题）

1.（2011年东城区期末文7）已知斜率为2的直线/过抛物线:/=⑪的焦点/，且与

y轴相交于点A,若△OAF（。为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（D）

A.y1=4xB.y2=8xC.y2=4x^y2=-AxD.=8x>»2=-8x

22

2.（2011年房山区期末文7）已知双曲线「一当=l（a>0,"〉0）的一条渐近线方程是

a~b~

y=y[3x,它的一个焦点在抛物线V=8x的准线上，则双曲线的方程为（A）

222222

A.f-汇=1B.三-丁=]c.工-工=1D.上—汇=1

33412124

3.（2011年朝阳期末文7）设椭圆的两个焦点分别为百，F2,过E作椭圆长轴的垂线与椭

圆相交，其中的一个交点为P,若△月时为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A）

A.V2-1B.邑C.2夜D.旦

22

7.（2011年东城区期末文13）设椭圆的两个焦点分别为《，F2,过写作椭圆长轴的垂

线交椭圆于点尸，若△耳可为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.

答案：•Ji—1o

22

8.（2011年西城期末文13）已知双曲线与—马=1的离心率为2,它的一个焦点与抛物

ab~

线丁2=8%的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为：渐近线方程为一.

答案：（±2,0）,V3x±y=0»

22

11.（2011年海淀期末文11）椭圆匕+匕=1的右焦点户的坐标为.则顶点在原

2516--------

点的抛物线C的焦点也为F,则其标准方程为.答案：（3,0）y2=Ux.

答案：（±5,0）

520

22

16.（2011年东城区期末文19）已知椭圆「+2=1（〃>人>0）的长轴长为4,且点（1,

ab

在椭圆上.（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆右焦点的直线/交椭圆于A8两点,

若以A3为直径的圆过原点，求直线/方程.

解：（I）由题意：2“=4,a=2.所求椭圆方程为三+与=1.

4b1

又点（1,5）在椭圆上，可得6=1.所求椭圆方程为?+>2=1.…5分

（H）由（I）知〃=412=1,所以c=J5,椭圆右焦点为（百,0）.

因为以为直径的圆过原点，所以•丽=0.

若直线AB的斜率不存在，则直线A3的方程为x=

直线A3交椭圆于（百」）,（山,-3两点，O4OB=3--^0,不合题意.

224

若直线AB的斜率存在，设斜率为女，则直线A8的方程为y=Z（x—G）.

y=心一”）,可得（1+4左2）/一8J就2*+12k2-4=o.

由

%2+4/-4=0,

由于直线A8过椭圆右焦点，可知△>（）.

、几“、八/、e86k212公一4

设A（x，y）,仇马，％），则X+々=;-77T>XIX2=~~77T

1+4《1+4/

-k2

4-（X]—\/3）（%2\^）=左2[,尤2—\/^（玉+X,）+3]=

必）’21+4左2

12公一4,-k2、lU2-4

所以0A•OB=xx+yy

12x21+4/'1+4公,1+4公

由砺砺=。’即踪=°'可得公V八士当.

所以直线/方程为y=±3，（x-G）...............14分

18.（2011年房山区期末文20）已知椭圆与+与=1（a>b>0）的离心率6=走，椭圆上

a2b22

任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.设直线1与椭圆相交于不同的两点A、B,点A

4J2

的坐标为（一a,0）.（I）求椭圆的标准方程；（II）若|48|=忖一，求直线1的倾斜角;

（HD若点Q（0,%）在线段AB的垂直平分线上，且近.9=4,求为的值.

解：（I）由题意可知2。=4,e=£=、5,得c=J5,b2=a2-c2,解得从=1.一2分

a2

丫2

所以椭圆的方程为二+>2=1.3分

4-

(II)由(I)可知点A的坐标是(一2,0).设点B的坐标为(％，x),直线1的斜率为k,

则直线1

的方程为y=Ar(x+2).

y-k(x+2)

于是、两点的坐标满足方程组〈2分

ABX21-4

—+V=1

4.

消去y并整理，得(1+4/)X2+163％+(16公一韦=0.一5分

16/一4,得X=2z竺，从而y上^.

由-2X[=

1+4公'1+4公'']+4公

所以加上皆、2

1-4k4J1+公

6分

1+4/J1+4公

逑，得4，1+224夜

由|431=

51+4/5

整理得32〃-9必—23=0,即(左2—1)(32左2+23)=0,解得k=±l.一一7分

TT34

所以直线1的倾斜角为dr-----8分

8尸2k)

(111)设线段AB的中点为M,由(H)得到M的坐标为-.以下分两种

1+4公'1+4女2,

情况：

(1)当k=0时，点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴，于是

QA=(-2,-y0),QB=(2-y0),由⑪•诙=4,得丫。=±2&.——10分

(2)当&H()时，线段AB的垂直平分线方程为

2k8k2}

V-----------=X+-------r

-1+4公k1+4PJ

6k

令X=(),解得%=------7・-----11分

1+4H

由a=(一2,-%)，丽=&,必-为)，

-2(2-8左2)6k4k6k

QA・QB=-2%-%(y-%)=+公〔炉\+公

1+4左21+41+44

4(16jt4+15Z:2-l)

4,一12分

(1+4左2)2

整理得7^=2,故％=±浮，所以九=±2普.

-13分

2

X

19.(2011年东城区示范校考试文19)己知A(1,1)是椭圆r+—1(a>b>0)

ab2

上一点，6,心是椭圆的两焦点，且满足|A耳|+|A£|=4.(1)求椭圆的标准方程；(2)

设点C,。是椭圆上两点，直线AC,A0的倾斜角互补，求直线CO的斜率.

解：（1）由椭圆定义知2a=4,所以a=2,……2分

x2y2

即椭圆方程为二-+方=1……4分

4b-

114x23y2

把(1,1)代人得:+”=1所以/=7，椭圆方程为——+'=1……6分

4b344

(2)由题意知，AC的倾斜角不为90°,故设AC方程为y=k(x-1)十1,……7分

"y=后(x-1)+1

联立J/3消去y,

——+~y2=1

144尸

得(l+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-l=0.…8分

3/一6左一]

•.•点A(l,1)、C在椭圆上，Xc=—TTJ——……10分

3K'1

・.・AC、AD直线倾斜角互补，.・.AD的方程为丫二一k(x-1)+1,

又yc=k（xc-1）+LyD=-k（XD—1）+1,

yc-yo=k（xc+XD）-2k.—........14分

xc—xD3

X2v2

21.（2011年西城期末文18）已知椭圆C:彳+J=1Ca>b>0）的一个焦点坐标为

a~b~

（1,0）,且长轴长是短轴长的血倍.（I）求椭圆C的方程；（H）设。为坐标原点，椭圆

C与直线丁=履+1相交于两个不同的点A8,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为

-1,求aOAB的面积.

解：（I）由题意得c=l,a=缶，............2分

又a?-及=1,所以从=1,片=2.......................3分

x2

所以椭圆的方程为5+丁9=1.......................4分

(II)设40,1),P(x0,y0),

联立I*+2)'=2、消去丁得(]+2%2)/+4日=o……(*),......................6分

y=kx+l

4k4&

解得》=0或》=-------,所以玉

1+2公r,1+2/

4k且)p(_3__

所以6(—k2，2)8分

1+2V1+2次'l+2kl+2k

因为直线OP的斜率为一1,所以一二-=一1,

2k

解得女=，(满足(*)式判别式大于零).

……10分

2

12

。到直线/:y=—x+l的距离为〒，...11分

2A/5

|阴=荷+(＞「1)2=衿,

...12分

所以△QAB的面积为gxg6x京=2.

13分

23.(2011年朝阳期末文18)已知点M(4,0),N(l,0),若动点P满足丽•丽=6|丽|.

(I)求动点P的轨迹C的方程；

(II)设过点N的直线/交轨迹C于A,B两点，若一一《丽丽W-一，求直线/

75

的斜率的取值范围.

解：(I)设动点P(x,y),

则标=(x—4,y),MN=(-3,0),PN=(l-x,-y).……2分

由已知得一3(x-4)=6y/(l-x)2+(-y)2,

22

化简得3丁+49=12,得土+匕=1.

-43

x2y2

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为二+1=1........6分

43

(II)由题意知，直线/的斜率必存在，

不妨设过N的直线/的方程为y=k(x-i),

设A,B两点的坐标分别为A(x，y),B(X2,y2).

y=左(尤-1),

由Ify2消去y得(4%2+3)%2-8公%+4公一12=0......8分

—+—=1

143

因为N在桶圆内，所以△〉（）.

8-

%+x

所以《2-3+4公

10分

4r—12

xx-

t23+4公.

因为福•福=（玉一1）（々-D+X%=（1+公）（玉一1）（々-1）

—(1+)[X1%2—(X]+x,)+1]

4A2-12-弘2+3+4公-9(1+公)

=(1+〃)12分

3+4-23+4公

所以一詈叠察解得EV.

所以一GwkW—1或1Wkwg......13分

24.（2011年海淀期末理19）己知点M（l,y）在抛物线C:y2=2px（p>0）上，M点到

抛物线C的焦点F的距离为2,直线/:y=-'x+b与抛物线交于A,8两点.（I）求抛物

2

线C的方程；（II）若以43为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（III）若直线/与y轴

负半轴相交，求A4OB面积的最大值.

解：（I）抛物线产=2庶（p>0）的准线为x=—与，..................1分

由抛物线定义和已知条件可知|M用=1-（-上）=1+K=2,

22

解得p=2,故所求抛物线方程为V=4x..........3分

（II）联立|>二-5"+",消x并化简整理得y?+8y-妨=0.

/=4%

依题意应有4=64+32人>0,解得匕>-2.........4分

设&为,乂）,8（七,〉2），则X+y2=-8,”2=-助，.......5分

设圆心。（玉；,为），则应有％=*,y0=，；*=-4.

因为以他为直径的圆与X轴相切，得到圆半径为为|=4,.........6分

2

又|AB|=又飞一苍]+以一月产=#1+4)("%『=y/5[(yl+y2)-4yly2]=,5(64+3力).

所以|A8|=2q=j5(64+3%)=8,...........7分

解得。=—§.......8分

5

4824

所以6+々=2b—2y+3一2%=4fe+16=y,所以圆心为(《,T).

故所求圆的方程为(万一7漕4)2+5+4)2=16................9分

方法二：

联立，尸-5苫+6,消掉y并化简整理得/_(46+16»+4从=0,

y2=4x

依题意应有△=16(0+4)2-16层>0,解得〃>—2....