高中数学直线与方程

第三章直线与方程

§3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

【课时目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌

握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一

条直线的几何要素.

知识梳理•

1.倾斜角与斜率的概念

表

示

或

定义

记

法

倾当直线/与％轴时，我们取作为基准，无轴与直线之间

斜所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线/与工轴平行或a

角重合时，我们规定它的倾斜角为0。

斜k=

直线I/的倾斜角a（aW90。）的

率a

2.倾斜角与斜率的对应关系

7

图示

nO\X

倾斜角

a=G°0°<a<90°a=90°<ct<180°

（范围）

斜率斜率不

0大于0小于0

（范围）存在

作业设计•]

一、选择题

1.对于下列命题

①若a是直线/的倾斜角，则0°Wa<180°；

②若女是直线的斜率，则

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.斜率为2的直线经过点4（3,5）、B（a,7）、C（—1,力三

点，则a、6的值为（）

A.<a=4,b=0B.a=-4,b=~3

C.a=4,6=-3D.a——4,6=3

3.设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a,如果将/绕坐

标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线1”那么人的倾斜角

为（）

A.a+45°

B.。一135°

C.135°-a

D.当0°Wa<135°时，倾斜角为。+45°；当

135°Wa<180°时，倾斜角为a—135°

4.直线/过原点（0,0）,且不过第三象限，那么/的倾斜角

。的取值范围是（）

A.[0°,90°]B.[90°,180°）

C.[90°,180°）或a=0°D.[90°,135°]

5.若图中直线h、八4的斜率分别为左、左、左，则（）

A.左〈左〈左B.左〈左〈左

C.kKkzVkD.kSk'Kk?

6.直线+—1=0同时过第一、三、四象限的条件是（）

A.>0B.<0

C.力>0,水0D.加<0,/2<0

二、填空题

7.若直线与y轴的夹角为60°,则直线的倾斜角为，斜率

为.

8.如图，已知△为等腰三角形，且底边与x轴平行，则4

三边所在直线的斜率之和为.

9.已知直线/的倾斜角为。一20°,则a的取值范围是.

三、解答题

10.如图所示，菱形中，Z=60°,求菱形各边和两条对角

线所在直线的倾斜角和斜率.

11.一条光线从点4(—1,3)射向x轴，经过x轴上的点P

反射后通过点8(3,1),求夕点的坐标.

【能力提升】

12.已知实数x,'满足y=—2x+8,当2WxW3时，求的

最大值和最小值.

13.已知函数f（x）=2（x+l）,a>b>c>0,则，，的大小关系

是.

⑥反思感悟

1.利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存

在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，

应引起注意.

2.三点共线问题：（1）已知三点4B,C,若直线，的斜率

相同，则三点共线；（2）三点共线问题也可利用线段相等来求，

若+=,也可断定4B,。三点共线.

3.斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数

形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何

特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的

效果.

第三章直线与方程

§3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

答案

知识梳理

1.相交x轴正向向上方向正切值

2.90°

作业设计

1.C[①②③正确.]

2.C[由题意，得错误!即错误！

解得a=4,b=­3.]

3.D[因为0°^a<180°,显然4B,0未分类讨论,

均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知:

当0°<135°时，倾斜角为a+45°；

当135°a<180°时，倾斜角为45°+a-180°=a-

135°.]

4.C[倾斜角的取值范围为0°Wa<180。，直线过原点

且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴.]

5.D[由图可知,k/0,k2>0,k3>0,

且一比L的倾斜角大.，kKk3<k2.]

6.C[由题意知，直线与x轴不垂直，故n/0.直线方程

化为y=—x+,则一>0,且<0,即m>0,n<0.]

7.30°或150°或-8.0

9.20°a<200°

解析因为直线的倾斜角的范围是[0°,180。),

所以0°Wa—20°<180°,解之可得20°Wa<200°.

10.解a=a=60°,a=a=0°,a=30°,a=120°.

--fl

9V，9・

11.解设P(x,0),则==一,

==,依题意，

由光的反射定律得=—,

即=,解得x=2,即P(2,0).

12.解

=其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率.

点(x,y)满足y=—2x+8,且2WxW3,则点(x,y)在线段

上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4),B(3,2),如图所示.则

=2,二.

所以得的最大值为2,最小值为.

13.»

解析画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率.

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

【课时目标】1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是

否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条

直线斜率的关系.

知识梳理•

1.两条直线平行与斜率的关系

(1)对于两条不重合的直线九其斜率分别为左、k2,有

(2)如果直线4、4的斜率都不存在，并且，与心不重合，

那么它们都与垂直,故人.

2.两条直线垂直与斜率的关系

(1)如果直线九乙的斜率都存在，并且分别为左、自那么

(2)如果两条直线K4中的一条斜率不存在，另一个斜率

是零，那么乙与&的位置关系是.

作业设计•]

一、选择题

1.有以下几种说法：(/、不重合)

①若直线，，4都有斜率且斜率相等，则/〃A；

②若直线4_L，2,则它们的斜率互为负倒数；

③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；

④只有斜率相等的两条直线才一定平行.

以上说法中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.0

2.以/(—1,1)、8(2,—1)、0(1,4)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以4点为直角顶点的直角三角形

D.以5点为直角顶点的直角三角形

3.已知力(1,2),B(m,1),直线与直线p=0垂直，则力的

值()

A.2B.1C.0D.-1

4.已知4(勿,3),6(2勿，勿+4),。(勿+1,2),22(1,0),且直

线与直线平行，则力的值为()

A.1B.0C.0或2I).0或1

5.若直线八4的倾斜角分别为%、%,且乙_L4,则有

()

A.a1一。2=90°B.。2—。尸90°

C.|a2-£7,1=90°D.%+。2=180°

6.顺次连接力(-4,3),尔2,5),0(6,3),〃(一3,0)所构成

的图形是()

A.平行四边形B.直角梯形

C.等腰梯形D.以上都不对

二、填空题

7.如果直线/的斜率为a,H,则直线4的斜率为.

8.直线人人的斜率左，左是关于《的方程2必一34—6=0

的两根，若/」4，贝i)b=;若1〃，2,则b=.

9.已知直线Z的倾斜角为60°,直线心经过点/(I,),

庾一2,-2),则直线乙的位置关系是.

三、解答题

10.已知△三个顶点坐标分别为4(—2,-4),—6,6),。(0,

6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.

11.已知△的顶点坐标为力(5,—1),夕(1,1),C(2,勿),

若△为直角三角形，试求为的值.

【能力提升】

12.已知△的顶点△(2,1),以一6,3),其垂心为//(—3,2),

则其顶点/的坐标为.

13.已知四边形的顶点4(力，力，以5,—1),。(4,2),〃(2,2),

求勿和刀的值，使四边形为直角梯形.

®反思感悟

判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存

在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜

率为0,另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在

时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为-1;两直线斜率相等

时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.

3.1.2两条直线平行与垂直的判定答案

知识梳理

1.(l)k,=k2⑵x轴〃

2.(1”展=一1(2)垂直

作业设计

1.B[①③正确，②④不正确，L或b可能斜率不存在.]

2.C[=—,=,•=—1,]

3.B[直线应与x轴垂直，A、B横坐标相同.]

4.D[当与斜率均不存在时，m=0,此时〃，当=时，m

=1,此时〃.]

5.C

6.B[=,丰,•=—1,故构成的图形为直角梯形.]

7.一或不存在

8.2-

解析若则kik2————1>.*.b—2.

若L〃b,则ki=k2,A=9+8b=0,.*.b=—.

9.平行或重合

解析由题意可知直线L的斜率L=60°=,

直线的斜率卜2==,

因为kl=k，2,所以或11，重合.

10.解

由斜率公式可得

==0,

==5.

由=0知直线〃x轴，

...边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.

设、边上高线的斜率分别为L、k2,

由ki・=-1,k2,=—1,

即ki・=-1,k2•5=-1,

解得ki=—,k2=—.

・•.边上的高所在直线斜率不存在；

边上的高所在直线斜率为一；

边上的高所在直线斜率为一.

11.解==—,==一,

==m—1.

若J_,则有一•=一1,

所以m=-7.

若_1_,则有一•(m—1)=-1,

所以m=3.

若_1,则有一•(m—1)=-1,

所以m=±2.

综上可知，所求m的值为一7,±2,3.

12.(-19,-62)

解析设A(x,y),V±,±,

且=「

・••错3!解得错误!

13.解

•••四边形是直角梯形，.•.有2种情形：

⑴〃，±,

由图可知：A(2,-1).

(2)/7,1,

错误!=错误！

.••错误！.综上错误!或错误！.

§3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

【课时目标】1.掌握坐标平面内确定一条直线的几何要

素.2.会求直线的点斜式方程与斜截式方程.3.了解斜截式与

一次函数的关系.

知识梳理•]

1.直线的点斜式方程和斜截式方程

使用范

名称已知条件示意图方程

围

点

y

斜

点P(x0,必)斜率

式和斜率k/oX存在

斜

斜率k和在y存在

截二

轴上的截距b丫斜率

式

2.对于直线7i：y=kxx-Vbx,72：y—k2x-\-b2,

⑴

作业设计•]

一、选择题

1.方程y=A(x—2)表示()

A.通过点（一2,0）的所有直线

B.通过点⑵0）的所有直线

C.通过点⑵0）且不垂直于x轴的所有直线

D.通过点⑵0）且除去x轴的所有直线

2.已知直线的倾斜角为60。，在y轴上的截距为一2,则

此直线方程为（）

A.y=x-\-2B.y=—x+2

C.y=­x—2D.y=x-2

3.直线y=+b通过第一、三、四象限，则有（）

A.k>0,力0B.k>0,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,伙0

4.直线y=+Z?和y=+a在同一坐标系中的图形可能是

5.集合/=｛直线的斜截式方程｝,B=｛一次函数的解析式｝,

则集合尔夕间的关系是（）

A./=施.BA

C.A施.以上都不对

6.直线一y+1—34=0当A变化时，所有的直线恒过定点

（）

A.（1,3）B.（-1,-3）

C.（3,1）D.（-3,-1）

二、填空题

7.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个

单位长度，所得到的直线为.

8.已知一条直线经过点尸（1,2）且与直线p=2x+3平行，

则该直线的点斜式方程是.

9.下列四个结论：

①方程4=与方程y—2=A（x+l）可表示同一直线；

②直线/过点尸（不，力），倾斜角为90°,则其方程是x=

③直线，过点尸（吊，力），斜率为0,则其方程是y=w

④所有的直线都有点斜式和斜截式方程.

正确的为(填序号).

三、解答题

10.写出下列直线的点斜式方程.

(1)经过点力(2,5),且与直线y=2x+7平行;

⑵经过点C(—1,-1),且与x轴平行.

11.已知△的三个顶点坐标分别是4(—5,0),B(3,—3),

C(0,2),求边上的高所在的直线方程.

【能力提升】

12.已知直线/的斜率为，且和两坐标轴围成三角形的面积

为3,求/的方程.

13.等腰△的顶点4（—1,2）,的斜率为，点方（一3,2）,求

直线、及//的平分线所在直线方程.

⑥反思感悟

1.已知直线,经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出

直线的方程.用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存

在.而过点尸（的，%）,斜率不存在的直线方程为X=X°.直线的

斜截式方程尸是点斜式的特例.

2.求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的

一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确

定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的.但在求解时仍

然需要讨论斜率不存在的情形.

§3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

答案

知识梳理

1•y-yo-k(x-Xo)y=+b

2.(1)L=kz且biWb2(2)kikz=-1

作业设计

1.C[易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在，故直线

不垂直于x轴.]

2.D[直线的倾斜角为60°,则其斜率为，

利用斜截式直接写方程.]

3.B4,D

5.B[一次函数y=+b(kWO)；

直线的斜截式方程y=+b中k可以是0,所以.]

6.C[直线-y+1—3k=0变形为y—l=k(x—3),

由直线的点斜式可得直线恒过定点⑶1).]

7.y=—x+

解析直线y=3x绕原点逆时针旋转90。所得到的直线方

程为y=-x,再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y

——(x—1),即y=-x+.

8.y-2=2(x-l)

9.②③

10.解(1)由题意知，直线的斜率为2,

所以其点斜式方程为y—5=2(x—2).

(2)由题意知，直线的斜率k=0°=0,

所以直线的点斜式方程为y—(—1)=0,即y=-1.

11.解设边上的高为，则

1.•二—1,,——1,解得=.

.••边上的高所在的直线方程为y-0=(x+5),

即y=x+3.

12.解设直线1的方程为丫=*+卜

贝lJx=O时，y=b；y=0时，x=-6b.

由已知可得--|6=3,

即6?=6,.*.b=±1.

故所求直线方程为y=x+l或y=x—l.

13.解直线的方程：y=x+2+.

•••〃x轴，的倾斜角为60°,

工的倾斜角为30。或120。.

当a=30°时，方程为y=x+2+,ZA平分线倾斜角为

120°,

.,.所在直线方程为y=-x+2—.

当a=120。时，方程为y=—x+2—3,NA平分线倾斜角

为30°,

**•所在直线方程为y=x+2+.

3.2.2直线的两点式方程

【课时目标】1.掌握直线方程的两点式.2.掌握直线方

程的截距式.3.进一步巩固截距的概念.

知识梳理•

1.直线方程的两点式和截距式

名

已知条件示意图方程使用范围

称

两Pi（%i，y）,

点?2（%2，>2），—斜率存在

式其中X1W%2，-氐且不为0

截在x,y轴上的一斜率存在且不

距截距分别为a,bU为0,

式且wo不过原点

2.线段的中点坐标公式

若点X、£的坐标分别为（k，yi）>（莅，%），设尸（x,。是

线段产出的中点，则错误！.

作业设计•]

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

A.方程=左表示过点以用，y）且斜率为左的直线方程

B.在x轴、y轴上的截距分别为a,力的直线方程为+=1

C.直线y=+6与p轴的交点到原点的距离为b

D.不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点

式或斜截式

2.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（）

A.可以写成两点式或截距式

B.可以写成两点式或斜截式或点斜式

C.可以写成点斜式或截距式

D,可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

3.直线一=1在p轴上的截距是（）

A.B.—be.ND.±b

4.在x、y轴上的截距分别是一3、4的直线方程是（）

A.+=1B.+=1

C.—=1D.+=1

5.直线一=1与一=1在同一坐标系中的图象可能是（）

标）是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（）

A.2x+y~12=0

B.2x+y—12=0或2才一5尸0

C.A—2y—1=0

D.x+2y—9=0或2x—5p=0

二、填空题

7.已知点4（1,2）,8（3,1）,则线段的垂直平分线的点斜式

方式为.

8.过点P（6,-2）,且在x轴上的截距比在y轴上的截距

大1的直线方程是.

9.过点P(l,3)的直线/分别与两坐标轴交于48两点，

若尸为的中点，则直线/的截距式是.

三、解答题

10.已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长

为，求直线/的方程.

11.三角形的三个顶点分别为4(0,4),8(—2,6),61(-8,0).

(1)求边和所在直线的方程；

⑵求边上的中线所在直线的方程；

⑶求边上的中垂线所在直线的方程.

【能力提升】

12.已知点4(2,5)与点庾4,—7),点尸在y轴上，若+的

值最小，则点P的坐标是.

13.已知直线/经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为

零，求直线/的方程.

⑥反思感悟

1.直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各

有自己的限制条件，应用时要全面考虑.（1）点斜式应注意过

PU,%）且斜率不存在的情况.（2）斜截式，要注意斜率不存在

的情况.（3）两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情

况.（4）截距式要注意截距都存在的条件.

2.直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直

线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程.

3.强调两个问题：

（1）截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，

但此时不能用截距式方程表示，而应用y=表示.不是每条直线

都有横截距和纵截距，如直线尸1没有横截距，x=2没有纵截

距.

（2）方程p—巾=（x—莺）（为7生）与=（£/用，必7%）以及（P

一力）（至一天）=（x—吊）（为一力）代表的直线范围不同（想一想，为

什么？）.

3.2.2直线的两点式方程答案

知识梳理

1.+=1

2.

作业设计

1.A2.B

3.B[令x=0得，y=—b::.]

4.A

5.B[两直线的方程分别化为斜截式：y=x-n,

y=x—m,易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有

方选项的两直线的斜率符号相同.]

6.D[当y轴上截距b=0时，方程设为y=,

将⑸2)代入得，y=x,即2x—5y=0；

当bWO时，方程设为+=1,求得b=,，选〃.]

7.y—=2(x—2)

解析=一，由k・=—1得

k=2,的中点坐标为，

点斜式方程为y—=2(x—2).

8.+=1或+y=l

解析设直线方程的截距式为+=1,则+=1,解得a=2

或a=l,则直线的方程是+=1或+=1,即+=1或+y=l.

9.+=1

解析设A(m,0),B(0,n),由P(l,3)是的中点可得m=2,

n=6,

即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6).

则1的方程为+=1.

10.解方法一设所求直线1的方程为丫=+6

*.*k=6,，方程为y=6x+b.

令x=0,■y=b,与y轴的交点为(0,b)；

令y=0,/.x=—,与x轴的交点为.

根据勾股定理得2+b2=37,

，b=±6.因此直线1的方程为y=6x±6.

方法二设所求直线为+=1,则与x轴、y轴的交点分别

为(a,0)、(0,b).

由勾股定理知a?+b2=37.

又k=—=6,.,.错误！

解此方程组可得错误!或错误！

因此所求直线1的方程为x+=l或-x+=l.

11.解(1)由截距式得+=1,

•••所在直线方程为X—2y+8=0,

由两点式得=,

**•所在直线方程为x+y—4=0.

(2)D点坐标为(一4,2),由两点式得=.

二.所在直线方程为2x—y+10=0.

(3)由=，，边上的中垂线的斜率为一2,

又D(—4,2),由点斜式得y—2=-2(x+4),

••・边上的中垂线所在直线方程为2x+y+6=0.

12.(0,1)

解析要使+的值最小,先求点A关于y轴的对称点V(—

2,5),连接A，B,直线A，B与y轴的交点P即为所求点.

13.解当直线1经过原点时，直线1在两坐标轴上截距均

等于0,故直线1的斜率为，

.••所求直线方程为y=x,

即x—7y=0.

当直线1不过原点时，设其方程+=1,

由题意可得a+b=0,①

又1经过点(7,1),有+=1,②

由①②得a=6,b=—6,则1的方程为+=1,即x—y—6

=0.

故所求直线1的方程为X—7y=0或x—y—6=0.

3.2.3直线的一般式方程

【课时目标】1.了解二元一次方程与直线的对应关

系.2.掌握直线方程的一般式.3.根据确定直线位置的几何要

素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系.

知识梳理•

1.关于X,y的二元一次方程（其中小）叫做直线的一般式

方程，简称一般式.

2.比较直线方程的五种形式（填空）

各常数的

形式方程局限

几何意义

点斜不耻表小k不存在的（孙泗）是直线上一7E点，k是

式直线斜率

斜截不能表小k不存在的

上是斜率，匕是y轴上的截距

式直线

两点（%i，yD、（检，”）是直线上两

用力》2，y\^yi

式个定点

截距不能表示与坐标轴平。是％轴上的非零截距，b是

式行及过原点的直线y轴上的非零截距

一般当BW0时，一是斜率，一是

无

式y轴上的截距

作业设计•

一、选择题

1.若方程++。=0表示直线，则/、£应满足的条件为（）

A.4WQB.炉0

C.A•D./+#W0

2.直线（2/2—5%+2）x—（加2—4）p+5%=0的倾斜角为45。，

则勿的值为（）

A.—2B.2C.-3D.3

3.直线x+2—1=0与（a—l）x++l=0平行，则a的值为

（）

A.B.或0

C.0D.-2或0

4.直线/过点（一1,2）且与直线2x—3p+4=0垂直，则/

的方程是（）

A.3x+2yT=0B.3x+2y+7=0

C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0

5.直线7i：—y+Z?=0,72：—y+a=0（aW0,bNO,a手协

在同一坐标系中的图形大致是（）

6.直线++c=0(70)在两坐标轴上的截距相等，则a,b,

。满足()

A.a=Z?B.=且c/0

C.a=6且c#0D.a=6或c=0

二、填空题

7.直线x+2y+6=0化为斜截式为，化为截距式为.

8.已知方程(2zz?2+in—3)x-\~—in)y-4"+1=0表不直线,

则勿的取值范围是.

9.已知4(0,1),点方在直线/：x+y=0上运动，当线段

最短时，直线的一般式方程为.

三、解答题

10.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程:

(1)斜率为,且经过点4(5,3)；

(2)过点夙—3,0),且垂直于x轴；

(3)斜率为4,在p轴上的截距为一2；

(4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴；

(5)经过以一1,5),〃(2,—1)两点；

(6)在x轴，y轴上截距分别是一3,—1.

11.已知直线/i：("+3)x+y—3"+4=0,72：7x+(5—9)y

-8=0,问当力为何值时，直线Z与心平行.

【能力提升】

12.将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合,且

点(7,3)与点(勿，/?)重合，则勿+〃的值为()

A.8B.C.4D.11

13.已知直线7：5—5y—a+3=0.

(1)求证：不论a为何值，直线,总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.

⑥反思感悟

1.在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地

选用公式，使问题的解答变得简捷.

2.直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线

在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围

和它们之间的互化，如把一般式++。=0化为截距式有两种方

法：一是令x=0,y=0,求得直线在y轴上的截距8和在x轴

上的截距二是移常项，得+=一。，两边除以一C(今0),再

整理即可.

3.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：

①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直.若两个都存在斜

率，化成斜截式后则左左2=-1.

②一般地，设/：4x+5y+G=0,

，2：4x+氏y+G=O,

，_L4=44+8心=0,第二种方法可避免讨论，减小失误.

3.2.3直线的一般式方程答案

知识梳理

1.++C=0不同时为0

2.y—y0=k(x—x0)y=+b=

+=1++C=0

作业设计

1.D

2.D[由已知得而一4#0,且=1,

解得：m=3或m=2(舍去).]

3.A

4.A[由题意知，直线1的斜率为一，因此直线1的方程

为y—2=—(x+1),

即3x+2y—1—0.]

5.C[将L与k的方程化为斜截式得：

y=+b,y=+a,

根据斜率和截距的符号可得。.]

6.D[直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：

(1)截距等于0,此时只要c=0即可；

(2)截距不等于0,此时c/0,直线在两坐标轴上的截距分

别为一、一.若相等，则有一=一，即a=b.

综合(1)(2)可知，若++c=0(力0)表示的直线在两坐标轴

上的截距相等，则a=b或c=0.]

7.y=—x—3+=1

8.m£R且m=1

解析由题意知，2石+/〃一3与后一/〃不能同时为0,

由2层+加一3#0得mWl且加W一；

由力2一勿W0,得力#0且勿故加W1.

9.X—y+1=0

解析1时，最短，所以斜率为4=1,

方程为p—l=x,即x—y+l=O.

10.解(1)由点斜式方程得y—3=(x—5),

即x—y+3—5=0.

(2)x=~3,即x+3=0.

(3)y=4x—2,即4x—'丁一2=0.

(4)y=3,即y—3=0.

(5)由两点式方程得=,

即2x+y—3=0.

(6)由截距式方程得+=1,即x+3p+3=0.

11.解当力=5时，71：8x+y—11=0,72：7x—8=0.

显然上与心不平行，同理，当加=—3时，/与心也不平行.

当力W5且勿W—3时，/i〃/2=错误！，

m=­2.

.•・勿为一2时，直线人与人平行.

12.B[点(0,2)与点(4,0)关于直线p—l=2(x—2)对称，

则点(7,3)与点(必,n)也关于直线y-l=2(x—2)对称，

则错误！，解得错误！，

故"+〃=.]

13.

(1)证明将直线/的方程整理为y—=a(x—),..•/的斜率

为a,

且过定点力(，).

而点/(,)在第一象限，故/过第一象限.

・•・不论a为何值，直线/总经过第一象限.

(2)解直线的斜率为A==3.

•・Z不经过第二象限，•••a23.

§3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两条直线的交点坐标

【课时目标】1.掌握求两条直线交点的方法.2.掌握通

过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法.3.通过本

节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想.

知识梳理•

1.两条直线的交点

已知两直线7i：4x+8iy+G=0；72：4x+区y+G=O.

若两直线方程组成的方程组错误!有唯一解错误！，则两直

线，交点坐标为.

2.”务程组的解的组数与两直线的位置关系

两直线

方程组方程系数

交占位置关

的解特征

系

A\B2=

AB1

无解两直线交点平行2

51c2W%

G

两条直线有A182WA2

有唯一解相交

个交点Bi

A\B2=

两条直线有A2B1

有无数个解重合

个交点B2c尸

BIC2

作业设计•]

一、选择题

1.直线九（一l）x+y=2与直线心：x+（+l）y=3的位置

关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.重合

2.经过直线2x—y+4=0与x—y+5=0的交点，且垂直于

直线x—2y=0的直线的方程是（）

A.2x+y—8=0B.2x—y—8=0

C.2x+p+8=0D.2x—p+8=0

3.直线+2y+8=0,4x+3y=10和2x—y=10相交于一点,

则a的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

4.两条直线人2x+3p一/=0与4：x—+12=0的交点在

y轴上，那么勿的值为（）

A.-24B.6

C.±6D.以上答案均不对

5.已知直线7i：矛+/»+6=0,乙（加-2）x+3+2勿=0,

卜〃k,则力的值是（）

A.〃=3B.勿=0

C."=0或勿=3D."=0或/=—1

6.直线1与两直线y=l和x—y—7=0分别交于A,夕两点,

若线段的中点为欣1,-1）,则直线，的斜率为（）

A.B.C.—D.一

二、填空题

7.若集合{（x,p）+p—2=0且x—2y+4=x,y）=

3x+6},则b=.

8.已知直线/过直线乙：3x-5y-10=0和A：x+y+l=

。的交点，且平行于4：x+2y—5=0,则直线/的方程是.

9.当a取不同实数时，直线（2+a）x+（a—l）y+3a=0恒

过一个定点，这个定点的坐标为.

三、解答题

10.求经过两直线2x+y—8=0与x—2y+l=0的交点，且

在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线1的方程.

11.已知△的三边，，的中点分别是，（一2,-3）,夙3,1）,

厂（一1,2）.先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标.

【能力提升】

12.在△中，边上的高所在直线的方程为x—2p+l=0,Z

A的角平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为（1,2）,

求点/和点。的坐标.

13.一束平行光线从原点。（0,0）出发，经过直线上8x+6y

=25反射后通过点〃（一4,3）,求反射光线与直线1的交点坐标.

®反思感悟

1.过定点（荀，％）的直线系方程

y—八=«（工一荀）是过定点（荀，%）的直线系方程，但不含直

线x=xo；/（x—xo）+8（y—㈤=0是过定点（xo,㈤的一切直线

方程.

2.与直线++。=0平行的直线系方程为++〃=0(D=^0.与

y=+6平行的直线系方程为y=+/〃(力力力.

3.过两条直线交点的直线系方程：过两条直线，：

+G=0,72：4x+5y+G=0交点的直线系方程是

+几(4x+民y+G)=0(4£R),但此方程中不含72；一般形式

是力(4x+6y+G)+〃(4x+Ey+C)=0(序+///0),是过/与

心交点的所有直线方程.

§3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两条直线的交点坐标

答案

知识梳理

1.相交(荀，%)

2.无1无数

作业设计

1.A[化成斜截式方程，斜率相等，截距不等.]

2.A[首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率

为一2,可得方程y—6=-2(x—1),即2x+y—8=0.]

3.B[首先联立错误！，解得交点坐标为(4,—2),代入方

程+2y+8=0得<3=11.]

4.C[2x+3y—/=0在y轴上的截距为，直线x—+12=0

在P轴上的截距为，由=得〃=±6.]

5.D[71/772,则1•3〃=(勿一2),m,

解得zz?=0或m=—1或m=3.

又当勿=3时，人与4重合，

故"=0或〃=-1.]

6.D[设直线/与直线y=l的交点为力(xj),直线/与

直线x—p—7=0的交点为以生，%)，因为"(1,—1)为的中点,

所以一1=即用=—3,代入直线x—y—7=0得

至=4,因为点8,"都在直线/上，所以==—.故选D.]

7.2

解析首先解得方程组错误！的解为错误！，

代入直线y=3x+6得6=2.

8.8x+16y+21=0

9.(―1,—2)

解析直线方程可写成a(x+y+3)+2x—y=0,则该直线

系必过直线x+y+3=0与直线2x—y=0的交点，即(一1,—2).

10.解(l)2x+y—8=0在x轴、y轴上的截距分别是4和

8,符合题意.

(2)当1的方程不是2x+y—8=0时，

设/：(x—2y+l)+X(2x+y—8)=0,

即(1+24)x+(4——2)y+(1——84)=0.

据题意，1+2HW0,4一2W0.

令x=0,得尸一；令y=0,得矛=一.

—=2•解之得4=,此时y—x.

「•所求直线方程为2x+y—8=0或y=x.

11.解

yA

///力X

/

如图，过〃，E,b分别作，，的平行线，作出这些平行线的

交点，就是△的三个顶点力，B,C.

由已知得，直线的斜率

——>所以=•

因为直线过点凡所以直线的方程为

y—2=(x+l),即4x—5y+14=0.①

由于直线经过点£(3,1),且平行于，

同理可得直线的方程

5x~y-14=0.②

联立①，②，解得点/的坐标是(4,6).

同样，可以求得点反。的坐标分别是(一6,-2),(2,-

4).

因此，△的三个顶点是4(4,6),因-6,-2),<7(2,—4).

12.解

如图所示，由已知，4应是边上的高线所在直线与N4的角

平分线所在直线的交点.

由错误！，得错误！，

故力(-1,0).

又//的角平分线为x轴，

故=—=—1,(也可得8关于y=0的对称点(1,-2).

**•方程为y—~(x+1),

又二一2,

「•的方程为

y—2=—2(x—1),

由错误！，得错误！，

故。点坐标为(5,-6).

13.解设原点关于/的对称点力的坐标为(a,⑸，由直线

与/垂直和线段的中点在/上得

错误！，解得错误！，

•••/的坐标为(4,3).

•・•反射光线的反向延长线过/(4,3),

又由反射光线过〃(一4,3),两点纵坐标相等，故反射光线

所在直线方程为y=3.

由方程组错误！，解得错误！，

工反射光线与直线/的交点坐标为.

3.3.2两点间的距离

【课时目标】1.理解并掌握平面上两点之间的距离公式

的推导方法.2.能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，

进一步体会解析法的思想.

知识梳理•

1.若平面上两点X、R的坐标分别为EG,y),*2,%),

则X、B两点间的距离公式为

1/2|=•

特别地，原点。(0,0)与任一点P(x,y)的距离为=.

2.用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：

第一步：.

第二步：.

第三步：.

作业设计•

一、选择题

1.已知点4(—3,4)和以0,6),且=5,则b等于()

A.0或8B.0或一8

C.0或6D.0或一6

2.以4(1,5),6(5,1),0(—9,—9)为顶点的三角形是()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形I).无法确定

3.设点力在x轴上，点方在y轴上，的中点是尸(2,-1),

则等于()

A.5B.4

C.2D.2

4.已知点2(1,2),8⑶1),则到48两点距离相等的点

的坐标满足的条件是()

A.4x+2y=5B.4x—2y=5

C.x+2y=5D.x-2y=5

5.已知4(—3,8),8(2,2),在x轴上有一点弘使得+最

短，则点"的坐标是()

A.(-1,0)B.(1,0)

C.D.

6.设48是x轴上两点，点〃的横坐标为2,且=,若直

线的方程为x—y+l=0,则直线的方程为()

A.x+y—5=0B.2x~y—1=0

C.2y—4=0D.2x+y—7=0

二、填空题

7.已知点力(x,5)关于点C(l,y)的对称点是用一2,-3),

则点尸(x,力到原点的距离是.

8.点一到x轴和到点M—4,2)的距离都等于10,则点■的

坐标为.

9.等腰△的顶点是4(3,0),底边长=4,边的中点是D®4),

则此三角形的腰长为.

三、解答题

10.已知直线/：尸一2x+6和点/(I,-1),过点力作直

线人与直线,相交于夕点，且=5,求直线人的方程.

11.求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.

【能力提升】

12.求函数y=+的最小值.

13.求证：+++22.

®反思感悟

1.坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本

最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距

离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的

坐标.

2.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解

析法来证明.用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依

赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系

会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就

简”.

3.3.2两点间的距离答案

知识梳理

1.

2.建立坐标系，用坐标表示