高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (35)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（35）

一、单项选择题（本大题共6小题，共30.0分）

1.一个四面体的所有棱长都为企，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.37rB.47rC.3V3TTD.67r

2.一个圆锥的体积为也当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）

A.立B.立C.在D.V2

323

3.如图，在4ABC中，41CB=90°,NC4B=为A8的中点。将44cM沿着CM翻折至ZM'CM,

使得4MlMB,则。的取值不可能为（）

4.如图，边长为2的正方形ABCO中，点E、尸分别是48、BC的中点，将△ADE,4EBF,&FCD

分别沿。E,EF,尸。折起，使得A、B、C三点重合于点4',若四面体AEFD的四个顶点在同一

个球面上，则该球的表面积为（）

5.在空间直角坐标系。一xyz中，正四面体P—4BC的顶点A、B分别在x轴，y轴上移动.若该正

四面体的棱长是2,则|OP|的取值范围是（）.

A.[V3-1,V3+1]B.[1,3]

C.[V3-1.2]D.[1,73+1]

6.已知圆锥SO的侧面积是底面积的2倍，4c与3。是底面内互相垂直的两条直径，过BZ）与SC

平行的平面与5A交于点E,则异面直线BE与C。所成角的余弦值是（）

A.-B.JC.-D.在

4334

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

7.如图，正方体4BCD-A/iGDi的棱长为1,P为的中点，M在侧面相/避上，有下列四个

命题：

①若DiMICP,则ABCM面积的最小值为导

②平面4B。内存在与DiG平行的直线；

③过A作平面a,使得棱AD,AG在平面a的正投影的长度相等，则这样的平面a有4个;

④过A作面/?与面48。平行，则正方体4BCD-4B1GD1在面口的正投影面积为百.

则上述四个命题中，真命题是（）

A.①B.②C.③D.④

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

8.已知三棱柱ZBC-4祖6的侧棱BBi在下底面的射影BD与4c平行，

若BBi与底面所成角为30。，且NBiBC=60。，则N4CB的余弦值为

9.已知三棱锥。一ABC的体积为2,△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC=2,且三棱锥。一ABC

的外接球的球心。恰好是A。的中点，则球。的体积为.

10.下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成.已知两个圆锥的顶点分别为P,。，高分别为

2,1,底面半径为1,A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）.下列四个结

①三棱锥P-ABQ体积的最大值为也

②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为会

③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为噜;

④直线BQ与AP所成角的最大值为宗

其中正确的结论有.（写出所有正确结论的编号）

11.已知二面角a—2—0为60。，动点P、。分别在面a、0内，P到0的距离为旧，。到a的距离为

2V3,则P、。两点之间距离的最小值为

12.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24c，〃?，深为8c”的

空穴，则该球的半径为

13.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M'称为

图形M在这个平面上的射影.如图，在长方体ABC。-EFGH中，

AB=5,AD=4,AE=3.则△EBD在平面EBC上的射影的面积是

14.在三棱锥P-4BC中，AP,AB,4c两两垂直，且4P=AB=4C=e.若点Q，E分别在棱尸8,

PC上运动（都不含端点），则A。+DE+EA的最小值为.

15.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为g的正四棱锥P-ABC。中，大

球。1内切于该四棱锥，小球。2与大球。1及四棱锥的四个侧面相切，则小

球。2的体积为.

16.如图，已知圆锥的母线长为8,底面圆的圆心为。，直径4B=8，点。

是母线P4的中点.若点C是底面圆周上一点，且直线OC与QB所成

的角为30。，M在线段尸4上且P4=4M4则MC与底面所成角的正弦

值为.

四、解答题(本大题共14小题，共168.0分)

17.如图，在四棱锥V—48CZ)中，底面ABC。是边长为4的正方形，。为正方形A8CQ内一点，它

至U边BC,CD的距离分别是1,2,VOABCD,V。=4,E是棱上一点，且VE：EA=1：

2,

(1)求直线8。与VC所成角的余弦值;

(2)求二面角U-BE-C的余弦值.

18.如图，在三棱柱ABC-4BiG中，P、。分别是441、&G的中

点.

(1)设棱BBi的中点为。，证明：GD〃平面PQBi；

(2)若AB=2,AC=AAr=ACr=4,^AA1B1=60°,且平面

441clic_L平面441/8,求二面角Q-PBX-&的余弦值.

19.在四棱锥P-ABC。中，侧面PAD_L底面ABC。，底面A8CD为直角梯形,8(7/4。，乙4。。=90°,

BC=CD=1,AD=2,PA=PD=V3,E为AD的中点，尸为PC的中点。

(1)求证：P4〃平面BEF；

(2)求二面角F-BE-A的余弦值。

20.如图，在四棱锥P-ABC。中，PDI5?®ABCD,CD//AB,AD=CD=BC=2,AB=4.

(I)求证：平面PAD1平面PBD;

(11)若三棱锥(7-28。的体积为百，求PB的长.

21.在棱长为1的正方体ABCD-4B1GD1中，点P是底面A8CD内的动点，tanWiPD21,则动

点P的轨迹的面积为,动线段QP的轨迹所形成几何体的体积是

22.如图，在直三棱柱ABC-ABiG中，&B1J.41C1，。是当口的中点，AXA=A1B1=

2.

(I)求证:AB】〃平面&CC；

(II)异面直线力Bi和BC所成角的余弦值为等，求几何体为B1CCA的体积.

23.如图，在四棱锥P-ABC。中，P4_L平面ABCD,四边形A8C。为正方形，PA=AD=4,G为

PD的中点，点E在4B上，平面PDC1平面PEC.

(1)求证：4G_L平面PCC；

(2)求三棱锥A-PEC的体积.

24.如图，四棱锥P-4BCD的底面A8CQ为平行四边形，E,F分别为CD,P8的中点.

(1)求证：EF〃平面P4O.

(2)在线段PC上是否存在一点。，使得A,E,Q,尸四点共面？若存在，求出方的值；若不存

在，请说明理由.

25.如图，在三棱柱ABC-4通传1中，AB=BC=近，A&=2AC=2,4G。4传=0,点B在

平面4CG4内的射影为0.

(1)证明：四边形4CC14为矩形;

AD

(2)E、尸分别为必当与BC的中点，点£＞在线段AC1上，已知EF〃平面&B0,求鬲的值.

(3)求平面OB】C与平面ACC14所成锐二面角的余弦值.

26.如图，在正三棱柱ABC-4B©中，边BC的中点为。，BC=CCr=2.

(1)求三棱锥C-4G。的体积;

(2)点E在线段BiQ上，且&E〃平面4G。，求翳的值.

27.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与

剩下的几何体体积的比.

28.如图，四棱锥P-4BC0的底面ABC。是平行四边形，AABP是等边三角形且边长是4,DA=

DP=2V2.

(1)证明：AP1BD-.

(2)若B0=4,求四棱锥P-4BCD的体积.

29.已知三棱柱在4BC-4iBiG中，侧面4BB1必为正方形，延长AB到。，使得4B=B0,平面

44传传1平面ABB14,41的=企4/11，/的4遇=今

D

(I)若E,尸分别为GBi，4C的中点，求证：EF〃平面4BB141；

(II)求平面&B1Q与平面CBi。所成的锐二面角的余弦值.

30.在如图的空间几何体中，回ABC是等腰直角三角形，44=90。，BC=2&，四边形BCED为

直角梯形，乙DBC=90°,BD=1,DE=V2,F为AB中点.

(1)证明：DF〃平面ACE；

(2)若遍，求CE与平面ACB所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是

本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力.

正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求

出球的表面积.

解：由于正四面体扩展为正方体，四面体的棱为正方体的面对角线，二者有相同的外接球，所以正

方体的棱长为：1，

所以正方体的体对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：3.

2

所以球的表面积为：4nR2=4兀x(9之—37T.

故选A.

2.答案：D

解析：

本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题.

根据体积得出底面半径，•和高/?的关系，根据基本不等式得出侧面积最小的条件，计算半径和高即

可得出答案.

解：设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为|="不存，

则V=-nr2h-

36

・•・r2h=即h=上，

22r2

••S侧=nrlt

=nr=7T

-r4+.1k「4i+萨1+।萨1?3&=［3，

当且仅当产=/即N=［时取等号，

此时，h=3=1,

2rz

・・・母线与底面所成角的正切值为：

：一逅_V2.

2

故选D.

3.答案：A

解析：

把△ACM继续旋转一直旋转到平面4BC里面，这时4'在"位置，由此能推导出。的取值不可能为M

本题难点在于思维问题的方法，本题考查到△ACM沿着CM翻折到时的一种极端情况，即把

△4CM继续旋转一直旋转到平面A8C里面，从而找到分析揄的依据，是难题.

解：如图所示，把△4CM继续旋转，

一直旋转到平面ABC里面，这时A在4位置，一

这时乙4MN=乙+巴=/=N4"MN,=乃一如=生，

此时，N4"MB是直线4M和B例所成的最小角，/-----7T---------、B

•・专〉：不成立，二。的取值不可能为看

故选：A.7；

4.答案：B

解析：

本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力.

把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的

表面积.

解：由题意可知AAEF是等腰直角三角形，且AD1平面力'EF.

三棱锥的底面4EF扩展为边长为1的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：/I+1+4=76.

•・•球的半径为在，

2

二球的表面积为47r-（Y）Z=67r.

故选：B.

5.答案：A

解析：

本题主要考查了空间中的距离的求法，也考查了数形结合思想的应用问题，属于中档题.

根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P-4BC的位置，则原点。在以AB为直径的球面上运

动，原点。到点尸的最近距离等于尸历减去球的半径，最大距离是P历加上球的半径.

解：如图所示，

若固定正四面体P-4BC的位置，则原点。在以AB为直径的球面上运动,

设AB的中点为M,则PM=V22—I2=V3;

所以原点。到点P的最近距离等于P历减去球M的半径，

最大距离是PM加上球M的半径；

所以百-1<\0P\<V3+1，

即|0P|的取值范围是[g一1,6+1].

故选4.

6.答案：A

解析:

本题考查异面直线所成的角，属于中档题.

由题意可得设圆锥SO的底面半径为r,母线长为/,则1=2r,再利用线面关系可得NABE是BE与

所成角，

根据余弦定理即可求解.

解：设圆锥S。的底面半径为r,母线长为/,则2b2=兀包，解得/=2r,

连接。E,由SC〃平面BCF,SCu平面SAC,平面SACn平面BDE=0E,

所以SC//0E；

由。是8。的中点，得E是S4的中点;

由4B//CD,得41BE是BE与CD所成角.

△中，易得BE=V2r»AB=V2r,AE=r.

一产

由余弦定理得cos乙4BE=AB2+BE：TE22r2+2M3

2-2r24

故选A.

7.答案：ACD

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象

能力与思维能力，考查运算求解能力，是难题.

①建立空间坐标系，得到M点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；

对于②D1G〃DC,DCC平面&BD=D,所以QG也与平面&BD相交.故②错；

对于③过A作平面a,使得棱在平面a的正投影的长度相等，因为劣6〃48,且4G=

AB,所以A3在平面a的正投影长度与DiG在平面a的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平

面a的个数；

对于④面0与面48D平行，则正方体4BCD-48iGDi在面。的正投影为正六边形，且正六边形的

边长为正三角形为BD外接圆的半径，故其面积为次.

解：对于①，以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，。。1为z轴，建立空间直角坐标系，如图1所

示；

过M作MG_L平面ABCD,G是垂足，过G作GH1BC,交,BC于H,连接

则。(0,0,0),C(0,l,0),4(1,0,0),P(l,0,》，C(0,l,0),Di(0,0,1),8(1,1,0),

设b),则=(1,。，b—1),CP=(1,—1,1),

•••2M1CP,

.-.'DjA-CP=l-a+ih-1=0,解得2a-b=l,

：.CH=l-a,MG=b=2a-l,

MH=y/GH2+MG2=7(1-a)2+(2a-l)2=V5a2-6a+2,

22

­••5ABCM=|xBCxMH=l-l-V5a-6a+2=i-j5(a-|)+i>i-Ji=^，

当a=|时，(SABCM)mE=噂，A正确；

对于。［CJ/OC,DCn平面为80=0,所以D1G也与平面&8D相交.故8错；

③过4作平面a,使得棱AO,44,。修1在平面a的正投影的长度相等，因为01cl〃4B,且=AB,

故。iG在平面a的正投影的长度等于AB在平面a的正投影的长度，使得棱4力，AA.,D】Ci在平面a

的正投影的长度相等，即使得使得棱AQ,AAr,AB面a的正投影的长度相等，若棱AO,AB

面a的同侧，则a为过A且与平面&BD平行的平面，若棱AQ,AB中有一条棱和另外两条棱分

别在平面a的异侧，则这样的平面a有3个，故满足使得棱A。，久的在平面a的正投影的长度

相等的平面a有4个；C正确.

④过A作面£与面4BD平行，则正方体4BCD-&B1QD1在面6的正投影为一个正六边形，其中

AG1平面0,而4G分别垂直于正三角形4BD和CB1D1，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，力G

在平面0内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边

形的边长等于正三角形&B0的外接圆半径(投影线与正三角形480、。占。1垂直)，所以正六边形的

边长为a=立+sin60。=店所以投影的面积为6xxa2=6xx(^)2=遮.。对.

2344v37

故选ACD.

8.答案：叵

3

解析：

本题考查了空间线面角的求解，及线线平行的性质，直角三角的性质，属于中档题.

设当在下底面上的射影为Q,连接80,过点。作。E垂直8C,交与点E,分别求出每条边长，在ABDE

中利用余弦定理求出此角即可，再根据平行求出所求.

解：设当在下底面上的射影为。，

连接80，过点。作OE垂直8C,交与点E,

・•.NBiBD是侧棱BBi与底面所成的角为30。，

设8/=2,则为。=1,BD=V3,

4B]BC=60°,BE=l,BrE=C,DE=V2,

在ABDE中，CKNDBE—.

3

VBD//AC,.,3/DBECOK/.ACB二，

3

故答案为它.

3

9.答案：竺叵兀

解析:

本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的

底面垂直这一性质，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

取AC的中点E,利用球心。与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直，得到OE_L平面ABC,再由中

位线得出。E〃CD,于是得出CC1平面48C,根据已知条件计算出△ABC的面积，并利用锥体体积

公式计算出C。，再利用勾股定理得出A。，即可得出球0的半径为R=TAD，最后利用球体体积公

式可得出答案.

解：如下图所示，

B

取4c的中点E,连接0E,

由于。为A。的中点，E为AC的中点，贝UOE〃CD,

•••4C为等腰直角三角形ABC的斜边，

所以，点E为AHBC外接圆圆心，且。为三棱锥ABC外接球的球心,

所以0E1平面ABC,所以，CD1平面48C,

•・・△4BC是等腰直角三角形，且斜边4c=2,

所以4B=BC=V2>贝必ABC的面积为SA.BC="8-BC=1,

由锥体体积公式可得ZYBC=gS-BC•[X1XCD=2,

:.CD=6,

所以4。=y/AC2+CD2=2V10.则球。的半径为R=^AD=V10,

3

因此球O的体积为[兀/?3=i7rx（V10）=誓

故答案为：竺回7r.

3

10.答案：①③

解析:

本题考查三棱锥的体积、异面直线的夹角和线面角，属于较难题,考查空间想象能力、推理能力和计

算能力.逐个判断即可求解.

解：设底面圆的圆心为。.

对于①，当8。1平面APQ时，三棱锥P-ABQ体积的最大，PQ=3,力。=1,8。=1,

则三棱锥P-力BQ最大体积为:xgx3xlxl=：,故①正确；

对于②，当801平面4PQ时，直线PB与平面PAQ所成角的最大，最大角为NBPO,且

sinNBPO=黑4g，显然②错误；

LJrV’5v

对于③和④，建立如图所示的ko空间直角坐标系：

则Q(0,0,-l)M(l,0,0),P(0,0,2),设B®y,0),JgLx2+y2=l,

则的={-x,-y,-l),AP=(—1,0,2)，

所以cos<A^>=工------=—1=='

所以"rm而再^g

则sin<~AP>={1—[)由于x€[—1,1],

则sin<的,#>€[粤，岬卜故③正确，④错误.

综上，正确的结论有①③.

故答案为①③.

11.答案：2V3

解析:

本题考查平面与平面之间的位置关系，直线与平面的位置关系，属于中档题.

构造二面角的平面角，将所给数据联系起来，将尸。放在直角三角形中，转化为求某直角边的最值.

解：分别作Q4_La于A,于点C,PB1夕于B,PO_U于点£>,

连结CQ,BD,则N4CQ=乙PDB=60°,AQ=2百，BP=百，

则PQ=y/AQ2+AP2=y/12+AP2>2百，当且仅当点4,P重合时，取等号.

故答案为275.

12.答案：13cm

解析：

本题给出球与冰面形成的一个空穴，在已知空穴的直径和深度时求球的半径，着重考查了球的截面

圆性质的知识，属于基础题.根据题意，设空穴所在小圆的圆心为B,点A是小圆上的一点，则球

心。与AB构成以B为直角顶点的直角三角形.因此设04=R,结合题意可得关于我的方程，解之

即可得到该球的半径大小.

解：设球的球心为O,空穴所在小圆的圆心为B,点A是空穴上的一点/

连接。A、AB,OB,设O4=R,得。B=R-8,(o\

AB=x24=12cm,\/

根据球的截面圆性质，得

122+(R-8)2=R2,解之得R=13cm

.•.该球的半径为13CTH

故答案为13c%

13.答案：2*/^?

解析：

本题考查射影、线面垂直的判定及三角形的面积计算，考查空间想象能力和计算能力.

如图所示，4EB。在平面EBC上的射影为/MEB,根据三角形面积公式即可求解.

解：如图，连接HC,过。作连接ME,MB.

因为BC工平面HCD,DMu平面HCD,所以BC1DM,

因为BCnHC=C,所以DM1.平面HCBE,

即。在平面HC8E内的射影为M,所以ZEBD在平面EBC上的射影为4MEB.

在长方体力BCD-EFGH中，HC//BE,所以4MEB的面积等于4CBE的面积，

所以4EBD在平面E8C上的射影面积为gXV52+32x4=2V34.

故答案为2后.

14.答案：V3+1

解析：

本题考查简单几何体中的最小距离问题，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，属于中档题.

将平面PAB,平面尸8C,平面R4C展开到同一平面，根据两点之间直线距离最短即可求解.

解：将平面R4B,平面P8C,平面PAC展开到同一平面（如图），

（第15题图）

由题意可知，Pa=PA2=AXB=A2C=V2.PB=PC=BC=2,

连接4&，交PB于M,交PC于N,

则4D+DE+EA>ArM+MN+NA2=ArA2.

在△P&A2中，PAX=PA2=y/2,/.A1PA2=150°,

2

则4遇2=JPA」+PA2-2P&•PA2COS^A1PA2=可4+2百=V3+1-

15.答案:四it

24

解析：

本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题.

设。为正方形ABCD的中心，AB的中点为M,连接PM,OM,P0,则0M=1,PM=y/PA2-AM2=

V10^1=3.PO=V9^1=2V2,如图，分别可求得大球。i与小球。2半径分别为它和立，进而可

24

得小球的体积.

解：设。为正方形ABC。的中心，AB的中点为连接PM,OM,P0,则0M=1,

PM=\lPA2-AM2=V10-1=31PO=V9^T=272,如图，在截面PMO中，设N为球01与平

面PAB的切点，

则N在P仞上，且01NJ.PM,设球01的半径为R,则0iN=R,

因为sin/MP。=警=j所以鬻■=?,则P0i=3R,

rM5rU^a

PO=P01+。。1=4R=2V2,所以R=当，

设球0i与球。2相切与点Q,则PQ=PO-2R=2R,设球。2的半径为r,

同理可得PQ=4r,所以「=四=五，

43

-r=V-2

故小球。2的体积V37T7T

24

故答案为：立7r.

24

16.答案：立或亘

解析：

本题在圆锥中考查异面直线夹角和直线与平面的夹角，属于中档题，关键在于利用定义，通过作辅

助线做出两个角.

解析：

解：如题目中图的圆锥，P。是高，PA=PB=AB=8,

有条件可知底面圆周上的C有两个位置可以满足OC与母线P8所成的角等于30。.

下面分析点C在如图的左侧.

在线段0A上取点N,使。A=44N,连接0C,CM,MN,

由点M是母线PA的中点，则0M〃P8,MN//P0,

所以MN垂直于底面，即4MCN即为与底面所成角,

乙M0C即为OC与母线Q8所成的角，大小是30。.

M0=2®0C=4,得MC=2,

在RSMNC中,MN-PO-PBshM)

sinZA/CAT=4_4

NICMC

即MC与底面所成角的正弦值为圣

同理当点C在如图的右侧时，MC与底面所成角的正弦值为运.

26

故答案为立或返.

226

17.答案：解：（1）如图，过。作A8的垂线为x轴，作BC的垂线为y轴，。丫为z轴，建立直角

坐标系，

则4(2,-3,0),F(2,l,0),C(-2,l,0),D(-2,-3,0),K(0,0,4),

JD=(-4,-4,0),定=(-2,1,-4)-

设直线8。与VC所成的角为仇则c«^=|a»（互方，定）|=2-4匚二熠

4y/2xv/2142

・・•直线8。与vc所成的角的余弦值为詈;

(2)设E(x,y,z),由沌=9方，即(x,y,z-4)=[(2,-3,-4),

所以x=|,y=-l,z=I，

所以E(|,-l,|),BE=-2,1),VB-(2,1,-4)>

设面VBE的法向量为”(x“i，zi),则卜3-2y+|z=0=>|x=2z

取z=l,.,.元=(2,0,1),

vBC=(-4,0,0)>~BE=

设面BEC的法向量为沆=。2，丫2,22)，

—4X2=0

(x2=0

则4Q.8_八=z=

-3X2-2y2+-22=°l^23y2'

取为=4,则z2=3,Am=(0,4,3).

3_3y/5

COK(T7J,*77)=gx5--25-

设二面角V-BE-C的平面角为a,则cosc：州

25

解析：本题考查异面直线与二面角的求法，属于中档题.

(1)建立适当的直角坐标系，求出4B,C,D,V的坐标,求出向量访与后所成的角即可;

(2)利用向量的知识进行求解.

18洛案：证明：(1)连接AO,TD是的中点，P是44的

中点，

可由棱柱的性质知且=

四边形4DB1P是平行四边形，40〃PBi，

•；P、。分别是44、41cl的中点，・•.ACJ/PQ,

平面4C1。〃平面PQBi，

•••GD〃平面PQB「

解：(2)AC=AAt=AC1,.•.三角形是等边三角形,

又因为P是中点，所以GP1441.

以P为原点，在平面4BB14内过P作44］的垂线为x轴，以P4为y轴，PC\为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系

面占B1P的一个法向量为五=(0,0,1),

P(o,o,0),(2(0,1,回Bl(b,1,0),

PQ=(0,1，V3),西=(e1,0),

设平面PQBi的法向量记=(xj,z),

则一，厂，取x=l,得沆=(1,-百,1),

l沆•PBi=+y=0

设二面角Q-PBi-a的平面角为0,

V5

赃。s”黯T

故二面角Q-PB[—4的余弦值为

解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间线线、线面、面面间的位

置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

(1)连接A。，推导出四边形4DB1P是平行四边形，从而4C〃PBi，再求出4c//PQ,从而平面力的。〃

平面PQa,由此能证明G。〃平面PQa.

(2)以P为原点，在平面4BB14内过P作441的垂线为x轴，以P4为y轴，PC1为z轴，建立空间直

角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-尸为-4的余弦值.

19.答案：证明(1)连接AC交BE于N,并连接CE,FN,

因为BC〃4D,BC=^AD,E为AO中点，

所以4E〃BC,S.AE=BC,

所以四边形而ce为平行四边形，

所以N为AC中点，又F为PC中点，

所以NF//PA,

因为NFu平面BE尸，P4C平面BEF,

所以PAF〃平面8EF；

(2)连接PE,由E为4。的中点及P4=PD=百，

得PE14。贝IJPE=y/2,

•••侧面PAD1底面ABCD,且交于AD,

•••PE_L面ABCD,如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为x、八

z轴建立空间直角坐标系，

则E(0,0,0),4(1,0,0),F(0,l,0),0),P(0,0,V2)

,F为PC的中点，

IB=(0,1,0)>~EB=(0,1,0).”(一!4片)，设平面EBF法向量为访=O,y,z),贝"巴.黑：:

0+y+0=0

1.1.V2

Zn

——2X+2Z-Vd——2=0

平面E8A法向量可取：出=(0,0,1),

设二面角产一BE-4的大小为。，显然J为钝角,

|沆•Jt\

.二eot^G=—|cos<示，7?>|=-

••・二面角"一BE一力的余弦值为一星

解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.

(1)连接AC交BE于M连接EC,FN,推导出四边形A8CE为平行四边形，从而N为AC中点，进

而NF〃P4由此能证明P4〃平面BEF;

⑵以E为原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角尸-BE-A

的余弦值.

20.答案：解：(I)证明：如图，过点。作DE于点E,

因为CD〃4B,AD=CD=BC=2,AB=4,所以四边形ABCD是等腰梯形，

可得4E=1,BE=3,DE=A/31BD=2遍，

所以AB?=402+BD2,所以BDJ.4D.

又因为PO1¥0ABCD,BDu平面ABC。，

所以BD1PD.

因为ADCPD=D,PD,ADu平面PAD,

所以BD_L平面PAD.

因为8。u平面PBD,所以平面PADJ_平面PBD；

(口)SABCD=~x2xV3=V3.

因为三棱锥C-P80的体积为百，

所以%-PBD=Vp-BCD=J'S^BCD，PD=~Xy/3XPD=y/3)

解得PD=3.

在RtAPDB中，BD=2®PD=3,

所以PB='BD?+PD2=J(2V3)2+32=V21-

解析：本题主要考查面面垂直的判定以及利用棱柱体积求棱长，属于中档题.

(1)过点。作DE14B于点E,利用勾股定理证明出BDJ.4D,进而证明BDJ.PD,

再得到BD1平面PAD,根据面面垂直的判定定理即可得到平面PA。_L平面PBD-,

(2)因为三棱锥C-PBD的体积为百，

所以%-PBD=^P-BCD=J'SABCD,PD=-xV3XPD=V3,

解得PO=3.进而得到PB=VH.

21.答案

解析：

本题考查轨迹问题、圆锥的体积，属于一般题.

根据题意可得动点P的轨迹是土圆面，即可求得面积，动线段DiP的轨迹所形成的几何体为以。为圆

心，1为半径的圆锥的;部分，代入公式可得体积.

解：如图所示：

由点尸是底面A8CO内的动点，＞1,可知故点在扇形D4C内运动,

所以动点P的轨迹是！圆面，轨迹的面积为SxI2

444

动线段DiP的轨迹所形成的几何体为以。为圆心，1为半径的圆锥的［部分，

即卜=：XXI2X1=；；,

故答案为%

22.答案：解：（I）如图,

连结4cl交&C于点E,连结。E,

因为在直三棱柱ABC-中，四边形44C1C是矩形，

所以点E是4c的中点，

因为。是BiG的中点，

所以DEf/ABi，

因为481,平面40DEu平面AiCD,

所以AB1〃平面&CD；

(II)因为棱柱4BC—41B1G是直三棱柱，

所以441_L&Ci，

因为&Bi1A1C1,A1A=A1B1,

所以AG=BG，

因为异面直线4B】和8c所成角的余弦值为等，

所以coszTlBiC]=膏，

因为力遇=A1B1=2,ArA14/1，

所以=2V2.

根据余弦定理，在44&C]中，4c/=BiCj+AB/-2&cos乙4B]Ci

可得BiG=旧，

因为141cl,&Bi=2,所以由勾股定理可得41G=3,

因为CU小Bidi_LAA4AC4Bi=A,

所以G4_L平面A、B,

同理1平面A、C,

所以匕[B1DC4=^D-AiAB!+^D-AAtC

=-x-x2x2x-+-x-x2x3xl=2,

32232

所以几何体4B1DC4的体积为2.

解析：本题考查了几何体的体积问题、线面平行的判定和异面直线所成角，属于中档题.

(I)连结SC1交4C于点E,连结OE,由中位线可得DE〃ABi，由线面平行的判定即可得证;

(口)因为异面直线力Bi和BC所成角的余弦值为等，所以cos乙4/G=警，根据余弦定理，可得当Ci=

■/13＞由勾股定理可得&C1=3,由匕［B1DC4=%-4遇81+%)-AAC计算即可.

23.答案：解：(1)PAJ_平面ABCD,CDu平面ABCD,

：.CD1PA,

,••正方形A8CD中，CDLAD,PA^AD=A

CD1平面PAD,乂AGu平面PAD,得CD1AG,

•••△PAD中，PA=AD,G为P£>中点，PD_L4G,

•:PD、CO是平面尸£>C内的相交直线，

•••AGJ_平面PCD：

(2)过点E作EH1PC于，，•••平面PDC1平面PEC,平面PDCC平面PEC=PC,

EH_L平面PDC.

由(1)知4G_L平面PCD,：.AG//EH.

连接GH,设EH、AG确定的平面为a,则an平面PDC=GH,

-AE//CD,AB0PDC,CDc^®PDC,AE〃平面POC,

「AEu平面a,an¥ffiPDC=GH,

■■.AE//GH,得四边形AEHG是平行四边形，所以EH=4G,

•••等腰RtAPAC中，PA=PD=4,AG是P£»边上的中线，

PD=45/2.AG=^PD=2V2,

Rt△PDC中，PD=4>/2，CD=4,S&PDC=gX4>/2X4=8V2,

NGC

•••。6是4PDC的中线，S=|SAPDC=4V2,

vEHPDC,得EH是三棱锥G-PEC的高，

三棱锥G-PEC的体积为：K=|xS"GCxEH=ix4A/2x2V2=y.

解析：本题给出四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与

平面垂直的性质和锥体体积的求法等知识，属于中档题.

(1)根据线面垂直的判定与性质，得到4G，平面PDC-,

(2)过点E作EH1PC于H,由面面垂直的性质定理可得EH_L平面PDC.连接GH,设EH、AG确定的

平面为a,得GH是平面a与平面POC的交线，由线面平行的判定与性质证出4E〃GH,可得四边形

AEHG是平行四边形，所以EH=4G.等腰RtAPA。中，算出4G=^P0=2方，Rt^PDC^,算出

S^PGC=2九=4近，最后利用锥体体积公式，即可算出三棱锥G-PEC的体积.

24.答案：(1)证明：如图①，取PA的中点/，连接MD,MF,

因为凡M分别为PB,P4的中点，

所以FM//48,FM=\AB.

又因为四边形ABCD是平行四边形，

所以4B〃CD,AB=CD.

又E为CD的中点，所以。E〃AB,DE=\AB.

所以DE〃FM,DE=FM.

所以四边形DEFM是平行四边形.

所以FF〃£W.又EFC平面PAO,DMc^jgfPAD,

所以EF〃平面PAD.

(2)解：存在点。符合题目条件，且此时PQ：QC=2：1

方法一：如图①，取AB的中点“，连接P"交A尸于点G,在尸C上取点0,使PQ：QC=2：1,

连接G。，HC,则A,E,Q,F四点共面，证明如下：

在平行四边形ABC。中，

因为E,H分别是CO,AB的中点，所以CH〃AE.

又尸是PB的中点，所以G是△/MB的重心，

且PG：GH=2；1,又PQ：QC=2：1,

所以GQ//HC又CH//AE,所以GQ//4E,

所以GQ与AE确定一个平面a,而F6直线4G,

所以F€a,所以A,E,Q,尸四点共面.

故在线段PC上存在一点Q,使得A,E,Q,F四点共面.

方法二：如图②，延长8C,AE交于点M,连接PM,FM.

则由AADEm/XMCE,得MC=AD=BC

在平面PBC中，尸例与PC的交点即为Q.

在APBM中，F为PB的中点，C为的中点,

故。为△PBM的重心，所以PQ：QC=2.1.

解析：(1)取PA的中点M,连接MD,MF,则有〃/18,FM=\AB,又因为四边形A3C£＞是平

行四边形，所以AB〃CD,AB=CD.

又E为C£＞的中点，所以DE〃4B,DE=^AB,综上可证得FF〃DM,根据线面平行的判定定理可

得EF〃平面PAD.

(2)方法一：取AB的中点，，连接P”交4尸于点G,在尸C上取点。，使PQ:QC=2.1,连接G。，

HC,由于GQ〃HC又CH〃4E,则可得GQ〃4E,所以G。与AE确定一个平面a,而Fe直线AG,所

以Fea,所以A,E,Q,尸四点共面；

故在线段PC上存在一点。，使得4,E,Q,尸四点共面.

方法二：延长BC,AE交于点"，连接PM,FM,由AAOE三AMCE,得MC=4D=BC,在平面

PBC中，FM与PC的交点即为Q,在△PBM中，F为PB的中点，C为8M的中点，故。为△P8M的

重心，所以PQ；QC=2：1,使得A,E,Q,尸四点共面.

25.答案：解：

(1)证明：

因为B。1平面4CC1&,

OC,0A在平面4CG4内,

所以8。1OC,BO1OA,

^.Rt^OBC^Rt^OBA'^,

OC=y/BC2-OB2-OA=y/AB2-OB2,

又因为AB=BC,

所以04=OC,ACi=AiC,

所以四边形ZCCiAi为矩形；

(2)取AC的中点M,连接41M交4cl于。，

因为M,尸分别为AC,BC的中点，

所以MF=-AB>

2

所以MF414/1，

又E为aB1的中点，

所以MF=AXE'

所以四边形4EFM为平行四边形，

所以"7/&M,即EF〃4D,

所以EF〃平面430.

因为△

(3)如图，以0为坐标原点，过。分别与Q4i，CiC平行的直线为x轴，)，轴，。8为z轴，建立如图所

示空间直角坐标系，

因为0C=造，

2