空间中直线、平面的垂直新教材人教A 版 (2019 )高中数学选择性必修第一册同步练习(含解析)

1.4.1空间中直线、平面的垂直"新教材］人教A版(2019)

高中数学选择性必修第一册同步练习(含解析)

一.单选题

1,若直线/的方向向量五=(8,—12,0),平面a的法向量(2,—3,0),则直线/与平面a的

位置关系是()

A.l/laB./1a

C.直线/与平面a相交但不垂直D.无法确定

2.若平面a，平面£,平面a的法向量为元=(-2,1,-),则平面£的法向量可以是()

A.(―1g,}B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.(|,1,2)

3.如图，在正方体ABC。—a/iGA中，。是底面正方形ABC。的中"c.

心，M是A。的中点，N是上的动点，则直线NO、AM的位置46片---6

关系是()H-r

A.平行X-------------»

B.相交

C.异面垂直

D.异面不垂直

4.若直线/的方向向量为方=(1,—2,3),平面a的法向量为五=(—3,6,—9),贝)

A.IuaB.l//aC.I1aD./与a相交

5.在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是平行四边形，AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),

AP=(-1,2,-1),则直线PA与底面ABC。的位置关系是()

A.平行B.垂直C.在平面内D.成60。角

6,已知荏=(1,5,-2),~BC=(3,hz),BP={x-l,y,一3),若荏_L就，且BP1平面

ABC,则丽=()

A.(y,-y,-3)B.(y,-y,-3)C.D.(y,-y,-3)

7.设的方向向量五=(1,2,-2),%的方向向量为3=(-2,3,m)，若4112＞则相等于()

A.1B.2C.I-1D.3

8.已知平面a内有一个点4(2,—1,2),它的一个法向量为元=(3,1,2),则下列点P中，在平

面a内的是()

A.B.(1,3,|2)C.2D.(-1,3--j2)

9.在正方体力BCD—4/1aDi中，若E为&Ci的中点，则直线CE垂直于()

A.ACB.BDC.ArDD.ArA

10.如图，四边形ABCD为正方形,PD1平面ABCQ,PD〃Q4

1___________

QA=AB=-PD,则平面PQC与平面DC。的位置关系为

()

A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.位置关系不确定

二.多选题

11.在正方体4BCD—4B1GD1中，若E为&G的中点，则与直线CE不垂直的有()

A.ACB.BDC.ArDD.A±A

12.如图，在正方体ABCD中，P,Q,M,N,H,R

分别为其所在棱的中点，则下列说法中正确的是()

A.直线AS〃平面MNP

B.HD11CQ

C.P,O,H,R四点共面

D.41cl1平面ABi5

三.填空题

13.已知苍=(0,1,1),b=(1,1,0)，c=(1,0,1)分别是平面a,箕y的法向量，贝la,p,y三

个平面中互相垂直的有对.

14.已知点知B,C的坐标分别是(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(居0,z),若

PALAB，PALAC,则点P的坐标为

15.平面a与平面0的法向量分别是沅，n,直线/的方向向量是正给出下列论断:

①沅〃元=a〃0；@m1n=>a1；

(3)a1m=>Z//a；@a//m^lla.

其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).

16.若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为.

四.解答题

17.已知四棱锥P—ABC。的底面是直角梯形，AB//DC,Z.DAB=90°,，底面ABCZ),

且PD==CD=24B=2,M为PC的中点.

M

(1)求证：BM〃平面PAD;

(2)在平面PAD内是否存在点N,使MN1平面PBD?请说明理由.

18.如图，在直三棱柱ABC—a/iG中，AC=3,BC=4,AB=5,AAr=4.

(1)求证：AC1BC1；

(2)在线段AB上是否存在点O,使得AC】，CD?请说明理由.

19.如图所示，在四棱锥P—4BCD中，底面ABCD为正方形，PAABCD,点E在线

段PC上(不含端点).

(1)是否存在点E,使PC1平面BDE?请说明理由；

(2)是否存在点E,使平面PCD1平面4ED?请说明理由.

20.如图，在三棱锥尸一ABC中，三条侧棱尸A,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=3,

G是APAB的重心，E,尸分别为BC,尸8上的点，且BE=PF=1：2.

(1)求证：平面GEF1平面PBC；

(2)求证：EG与直线PG与BC都垂直.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量判定线面位置关系，属于基础题.

找出向量间关系五=4"即N〃苒故可得线面关系.

【解答】

解：•.•]=(8,—12,0),»=(2,—3,0),

则方=4口,即五〃口,

•■•/la.

故选B.

2.【答案】C

【解析】解：因为(一2,1,•(1,2,0)=-2+2+0=0,所以向量元与向量(1,2,0)互相

垂直，满足a1/?.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于中档题.

N是A声1上的动点，。是底面正方形ABCD的中心，确定平面4/1。，判定与平面A/。

的关系，即可判定直线NO、40的位置关系.

【解答】

解：在正方体4BCD—4B1C1D1中，O是底面正方形ABCO的中心，

M是的中点，N是上的动点，连接为O,Bi。，

过点O作FG平行于AB,

易得FG1AM,

又2/C\FG=F,A\F.FGC平面小用。

所以4M1平面&B]。，

因为.v()(z平面

所以直线N。1AM,

因为它们不相交，所以异面垂直,

故选：C.

£>,G

4B

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查线面的位置关系的判断，考查直线与平面的位置关系等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

推导出元=一3五，由此能推导出I1a.

【解答】

解:••・直线/的方向向量为五=(1,—2,3),

平面a的法向量为元=(-3,6,-9),

•••n=—3a,

■•■Ila.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】略

6.【答案】D

【解析】略

7.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了空间向量的数量积及运算律的相关知识，试题难度较易

【解答】解：由题意可得五_L3，二N•3=0，

•••1x(-2)+2x3+(—2)xm=0,m=2.

8.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平面的法向量的相关知识，试题难度较易

【解答】

解：要判断点尸是否在平面内，只需判断向量方与平面的法向量元是否垂直，即方•元是否

为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验.

对于选项A,TA=(1,0,1),则方•元=(1,0,1)・(3,1,2)=5K0，故排除A;

对于选项B,PA=(1,-4,|),则PA,元=(1,一4,|),(3,1,2)=0,B选项正确.

故选2.

9.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查利用空间向量判断判断线性垂直，建立空间直角坐标系，根据向量的坐标

运算可得3•BD=(-1)xj+(-1)x(-|)+0x1=0,即得结果.

【解答】

解：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.

则2(1,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),£)(0,0,0),4(1,0,1),前(0,1,1),

二而=

AC=(-1,1,0)，BD=

A^D=(-1,0,-1)-A^A=(0,0,-1).

■：~CE-~BD=(-1)x|+(-1)x(-|)+0X1=0,

•••CE1BD.

故选&

10.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了面面垂直的判定、利用空间向量判定面面的垂直、平行关系的相关知识,

试题难度较易

【解答】

解：由已知可得PD-LDC,PD1DA,DC1DA,

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系.

设Q2=L则。(0,0,0),C(0,0,1),<2(1,1.0),P(0,2,0).

故的=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-l,0).i^DQ-PQ=0,DC-PQ=0.

即而1丽，JQ1DC,故PQ1平面DCQ,平面PQC1平面DCQ.

n.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量研究直线与直线垂直，属于基础题.

建立空间直角坐标系，分别求而，AC，硕，BD,不的坐标，利用数量积判断.

【解答】

解：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.

则4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),£)(0,0,0),4(1,0,1),1),

二福=&-泊，

AC=(-1,1,0),BD=

ArD=(—1,0,-1),A1A=(0,0,-1).

•.F・前=-|-|+0=-17。,

C£.BD=-|+|+0=0,

荏•布=6+。-1=-1*0.

CE-A±A=0+0—1=—1丰0.

段与CE不垂直的有AC、40、2,

故选ACD

12.【答案】AC

【解析】解：因为M,N分别为RA的中点，所以MN〃&Di，

又因为笈平面4。。送1，4£>1u平面2。。遇1，所以MN〃平面4。。送1，同理可得NP//

平面又因为MNCNP=N,MN,NPu平面MNP,所以平面MNP〃平面

又因为u平面MNP,所以AS〃平面MNP,故A中说法正确;

设正方体的棱长为2,建立空间直角坐标系，如图.

所以5(0,0,2),"(2,0,1),C(0,2,0),<2(1,0,0),

则西=(-2,0,1),CQ=(1,-2,0),

所以西•诙=—2+0+0#0,所以HDi与CQ不垂直，故8中说法错误;

连接AC,因为X,R分别是CC］的中点，所以

又因为Q，P分别为AO,0c的中点，所以QP〃/1C,

所以PQ//HR,故尸，Q,H,R四点共面，所以C中说法正确;

易知4(2,0,0),8式2,2,2),£>式0,0,2),4式2,0,2),的(0,2,2),所以福=(0,2,2),

河=(—2,0,2),而^=(—2,2,0),因为&C；•福为0,砧•工所以直线4G

不垂直于平面4/D1，故D中说法错误.

综上，A、C正确.

13.【答案】0

【解析】

【分析】本题考查了向量垂直的判断与证明、平面的法向量的相关知识，试题难度较易

【解答】M：■.-a-b=(0,1,1)-(1,1,0)=1^0.a-c=(0,1,1)-(1,0,1)=1*0,b-c=

(1,1,0)-(1,0,1)=1^0,

■■a,b,表中任意两个都不垂直，即a,0,y中任意两个都不垂直.

14.【答案】60,-|)

【解析】

【分析】本题考查空间向量的垂直的条件和数列积的坐标运算，属基础题，求得相应向量的

坐标，根据向量垂直的条件，向量的数量积为零，得到方程组，求解即可.

【解答】

解：•••4(0,1,0),1),C(2,l,1),P(x,O,z),

：.AB=(-1,-1,1);AC=(2,0,1)>~PA=(-x,1,-z).

•••E?1AB>刀1宿

PA-AB=(—x,1,一z),(—1,—1,1)=0,

PA-AC=(-x,1,-z)-(2,0,1)=0.

,(x-l-z=O,.f”

"I-2x-z=0,")2

(Z=~3'

二点尸的坐标为&o,—|y

15.【答案】②④

【解析】

【分析】本题考查了利用空间向量判定线面的垂直、平行关系、利用空间向量判定面面的垂

直、平行关系的相关知识，试题难度较易

【解答】解：①中a与f还有可能重合；

结合题意得②④正确；

③中/有可能在。内.

16.［答案】V6:6

【解析】

【分析】本题考查了棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、利用空间向量求点、线、

面之间的距离的相关知识，试题难度较易

【解答】

解：设高为心底边长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0。h）,ago,o）,B（—噂c（—^，―1,o）,

3oZoZ

刀=（今0,—①，丽=（-f，—h）,PC=（-^,-l，-h）,

DDZOZ

设平面PAB的法向量为元=（x,y,z）,贝4弓,丝=°,

（n-PB=0

—x—hz=0

则黑1取第=V3，则元=(V3,3,》,

---x+-y—hz=0

I62）

设平面PAC的法向量为记=(x,y,z),

S/3,

—x—hz=nl）

则取X=H，则沅=(遮，一3,》

——x--y—hz=0

、62/

沅下=0即3一9+3=。，解得九=9

故答案为伤:6.

17.【答案】解析⑴证明：•••PDABCD,

：.PDLAD,PD1CD,易知CD1AD,；.D4,DC,DP两两垂直，故以。为原点，DA,

DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。尤yz,

由于PD=CD=DA=2AB=2,

所以D(0,0,0),4(2,0,0),B(2,l,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,l,1),

易知平面PA。的一个法向量为沆:=(0,2,0),又•.•丽=(一2,0，1),.•.比・丽=0,贝I]

~DCIBM.

又•••BMC平面PAD,：.〃平面PAD.

(2)假设存在，设N(x,0,z)是平面PAD内一点，则而=(x,-l,z-1),DP=(0,0,2),DB=

(2,1,0),

若MN,平面尸犯则[竺,竺=°，

(MN-DB=0,

J2(z-l)=0(sJx=|

(2%—1=0,iz=1

..-i

因此在平面尸AO内存在点Ng。，1),使MN,平面「

【解析】(1)以。为坐标原点，DA,DC、。尸所在直线分别为无轴、y轴、轴建立空间直角

坐标系。孙z,写出各点的坐标，渗透了直观想象的素养;利用空间向量法可证明BM〃平面

PAD,渗透了数学运算、逻辑推理的素养.

(2)假设存在，设出点N的坐标，且是平面PAD内一点，由MN1平面尸2D列方程组，可求

得x、z的值，进而确定点N的坐标，渗透了数学运算的素养.

18.【答案】解析(1)证明：・.•在直三棱柱ABC中,2C=3,BC=4,48=5,44]=4,

.•.AC、BC、CO1两两垂直，故以C为坐标原点，CA,CB、CC1所在直线分别为x轴，y轴,

z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),4(3,0,0),Ct(0,0,4),B(0,4,0),8式0,4,4),

AC=(-3,0,0),酩=(0,—4,4)，

AC-BC]=0，

AC1BQ.

(2)假设在线段AB上存在点。，使得力GJ.CD,则4=4屈=(—34,44,0)，0<A<1,

•••£>(3-32,4/1,0),

CD=(3-3A,4A,0),由(1)知宿=(一3,0，4),且4clicD,

-9+92=0,解得4=1,

•••在线段AB上存在点D,使得AC11CD,

此时点。与点B重合.

【解析】略

19.【答案】解：建立空间直角坐标系，设4B=a,4P=c,a>0,c>0,写出各点坐标

及向量坐标.(1)利用而=4正，BE=PE-'PB,将屁用坐标表示，设元=(x,y,z)是平面

出圮的法向量，利用向量垂直数量积为0可得方程组，再利用正〃元，即可求出4的值.

（2）设宙=（Xi，y1,zi）是平面PCD的法向量，底=（犯,>2*2）是平面AED的法向量，若平面

PCD1平面AED,则温.荻=0,可得方程.若方程无解，则说明点E不存在，若方程有解,

则说明点E存在.

详细解析•••底面ABCO为正方形,

•­.ABLAD,又PA_L平面ABCD,

・•・以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

设4B=a,AP=c,a>0,c>0,

则4(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,cz,0),P(0,0,c),

BD={—a,a,0),PC=(a,。，—c),PB=(a,。，—c),DC=(a,0,0),PA=(0,0,—c),

AD=(0,o«0).

⑴设匠=APC,0<2<1,

则BE=PE-PB=APC—PB=4(a,a,—c)—(a,0,—c)=(2a—a,Aa,c—2c),

设元=(%j,z)是平面BDE的法向量，

则0-BD=0,

In-BF=0,

(—ax+ay=0,

((Aa—a)x+Aay+(c—Ac)z=0

令％=1,则y=l,z=纥孚，

C-AC

...元=(1,1,匕华)是平面BDE的一个法向量，

C-AC

若PC，平面BOE,贝I」正〃市

U-C21_2

・•・7=正迈，解得2

c-Ac2a2+c2

即存在点E,使得PC，平面瓦圮.

(2)设芯=01，%,2力是平面PCD的法向量，

则但-PC=ax1+ayi-cZ1=0,令乃=的则打=°,z1=a

㈤•DC=axr=0,

・•.4=(0,c,a)是平面PCD的一个法向量.

设而=〃