2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型二 面积问题（课件）

类型二面积问题

函数微技能——面积表示一阶例4如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)连接AC，BC，求△ABC的面积；例4题图①解：(1)∵抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，∴S△ABC＝

＝6；(2)连接OD，CD，求△OCD的面积；例4题图②(2)∵点D是抛物线的顶点，∴D(1，－4)．∵C(0，－3)，∴S△OCD＝

；(3)(一题多解)点P是第四象限抛物线上的一点，连接BC，BP，CP，设点P的横坐标为t，请用含t的式子表示△BCP及四边形OCPB的面积．例4题图③(3)∵点P是第四象限抛物线上的一点，且其横坐标为t，∴点P坐标为(t，t2－2t－3)(0＜t＜3)，∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BC＝3，设直线BC解析式为y＝kx＋b，代入点B，C得

，解得

，∴直线BC解析式为y＝x－3，即x－y－3＝0.点P到直线BC距离d为

.∵0＜t＜3，∴d＝

，∴S△BCP＝

.S四边形OCPB＝

S△BCP＋

S△OBC＝

.解法一如解图①，过点P作y轴的平行线交BC于点E.例4题解图①∵点P的坐标为(t，t2－2t－3)，点E在直线BC上，∴点E的坐标为(t，t－3)，∴PE＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，∴S△BCP＝

PE·(xB－xC)＝

×3×(－t2＋3t)＝

，∴S四边形OCPB＝S△BCP＋S△OCB

＝

.∴点F的坐标为(3，－3)．∵点P的坐标为(t，t2－2t－3)，∴S△CPF＝

CF·(yP－yF)＝

，S△BPF＝

BF·(xF－xP)＝

，S△BCF＝

CF·BF＝

，解法二如解图②，过点B、C分别作y轴，x轴的平行线，交于点F，连接PF，例4题解图②∴S△BCP＝S△BCF－S△CPF－S△BPF

＝

∴S四边形OCPB＝S△BCP＋S△OCB

＝

.例4题解图②方法一：直接公式法若三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S＝

AB·h求解满分技法满分技法方法二：铅垂高、水平宽法若三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(yC－yA)满分技法S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(xC－xA)满分技法方法二：铅垂高、水平宽法若三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(yC－yA)满分技法S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(xC－xA)方法三：补全图形法适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之和求解．满分技法设问突破二阶例5如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.一题多设问(1)若点P是x轴上方抛物线上一点，当S△ABP的面积为2时，求点P的坐标；例5题图①【思维教练】求出点A

、B的坐标可得线段AB的长，设出点P的坐标，根据三角形的面积列出方程求解即可；解：(1)在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，AB＝4；设点P的坐标为(t，－t2－2t＋3)(－3<t<1)，∵S△ABP＝

×4×(－t2－2t＋3)＝2，即－t2－2t＋2＝0.解得t1＝－1－

，t2＝

－1.∴点P的坐标为(－1－

，1)或(－1，1)；例5题图①(2)若点D为抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，在抛物线上是否存在点Q，使得S△AQE＝2S△CBE，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】将面积问题转为线段的倍数关系，再根据线段关系列等式求解即可；例5题解图①(2)解：存在．如解图①，由题意得AE＝BE＝2，在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，解得y＝3，∴C(0，3)，∴CO＝3，则S△CBE＝

BE·OC＝3，∴当△QAE的边AE上的高为6时，S△AQE＝2S△CBE，当y＝6时，－x2－2x＋3＝6，即x2＋2x＋3＝0，∵b2－4ac<0，∴方程无实数根；当y＝－6时，－x2－2x＋3＝－6，解得x1＝－1＋

，x2＝－1－

，∴点Q坐标为(－1＋

，－6)或(－1－

，－6)；例5题解图①将点A(－3，0)，C(0，3)代入解析式，得

解得

∴直线AC的解析式为y＝x＋3.(3)若点P是线段AC上方抛物线上一动点，求四边形APCB面积的最大值；

【思维教练】将四边形APCB分割成两个三角形，根据面积公式表示出面积，再结合二次函数的性质求面积最大值；例5题解图②(3)解：如解图②，过点P作PD∥y轴交线段AC于点D，连接PA，PC，BC，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，设P(m，－m2－2m＋3)(－3<m<0)，则D(m，m＋3)．∴PD＝(－m2－2m＋3)－(m＋3)＝－m2－3m，∴S△PAC＝S△PCD＋S△PDA＝

×3×(－m2－3m)＝－

(m＋

)2＋

，∵－

<0，∴当m＝－

时，S△PAC取得最大值

，∵AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝

×4×3＝6.∴S四边形APCB的最大值为6＋

＝

；例5题解图②(4)解：由(3)知，S△ABC＝6，直线AC的解析式为y＝x＋3.设N(n，n＋3)，则N′(n，0)(－3＜n＜0)，分两种情况讨论：①当S△ANN′＝

S△ABC＝2时，(n＋3)(n＋3)＝2，(4)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′，若△ABC的面积被直线NN′分为1∶2的两部分，求点N的坐标．例5题图④【思维教练】根据题意分情况进行讨论：①△ANN′的面积占△ABC面积的

；②△ANN′的面积占△ABC面积的

.解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，∴N(－1，2)；②当S△ANN′＝

S△ABC＝4时，(n＋3)(n＋3)＝4，解得n1＝2－3，n2＝－2－3(舍去)，∴N(2－3，2)．综上所述，点N的坐标为(－1，2)或(2－3，2)．例5题图④综合训练三阶2.(2023三州联考26题16分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为_______________，抛物线的顶点坐标为________；第2题图①y＝－x2－2x＋3(－1，4)(2)解：∵抛物线与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0，3)，∵B(－3，0)，∴OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，BC＝3，如解图①，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF∥x轴，(2)如图①，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；第2题图①CD∶CB＝CF∶CO＝DF∶BO，∴∠CDF＝45°，∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴CD∶BD＝1∶2，

∴CD∶BC＝1∶3，F∵BC＝3，∴CD＝

，

∵∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝1，∴点D的坐标为(－1，2)；第2题图①F∵∠OGE＝15°，∠GOE＝90°，∴∠OEG＝75°.∵∠PEG＝2∠OGE，∴∠PEG＝30°.∴∠PEO＝45°，∴△MOE为等腰直角三角形，∵E(0，－1)，∴M(－1，0)．∴直线PE的解析式为y＝－x－1.(3)如图②，点E的坐标为(0，－1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；图②M(3)解：如解图②，设PE交x轴于点M，解方程组

，

得