高中数学 同步辅导讲义

集合基本概念及题型分类学生用讲义

一、基本知识

1.1.1集合的相关概念

(1)集合、元素的含义:一般地把一元能够确定的不同的对象看成一个整体,就是这个整体是由这些对象的全体

构成的集合(或集)。构成集合的每个对象叫做集合的元素。

(2)元素用小写字母仇c,…表示；集合用大写字母4,8,C,…表示。

(3)不含任何元素的集合叫做空集，记作①。空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集

的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和

整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。

(4)集合的分类：

'有限集

①按照集合中元素个数的多少，可分为集合二;r；

无限集

'数集

②按照集合中元素形式的不同，可分为集合1；

点集

I可列集

③集合还可以分为集合1Ift备O

[不可列集

(5)元素的性质：

①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合

中就确定了。例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京……

不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。

②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重

复出现的。例如：good中的字母构成的集合为｛g,o,d｝,而不是｛g,o,o,d｝。集合的三个特性中，互异性往往

是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。

③无序性：集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相等。例如：

｛a,b,c｝=[b,a,c｝=｛c,b,a｝。

(6)常见集合的表示

自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

NN*或N,ZQRC

1.1.2集合与元素的关系

元素与集合的关系有,“属于e”及“不属于史”两种，如果a是集合A中的元素，就说。属于A,记作awA,

a不是集合A中的元素，就说a不属于A,记作

1.1.3集合的表示法

a)例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括

号“｛｝”内的表示集合的方法

例如：方程/一x-6=0的解的集合，可表示为｛-2,3｝,也可以表示为｛3,-2｝：又如方程组7=2

x-y=0

的解的集合表示为｛(1,1)｝。

注意：(1)元素间用“，”分隔；(2)元素不重复，无顺序；(3)元素个数较少时，宜采用例举法；如

果元素个数较多或无限个，且当构成集合的元素具有明显的规律时，也可采用例举法，但必须把元素的规律

显示清楚后才能用省略号。

思考：（1）。与伍｝的不同；（2）①与｛中｝及｛0｝的不同。

b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如｛xe4lp（x）｝,p（x）称为集合

的特征性质，x称为集合的代表元素，A为x的范围，有时也写为｛xlp（x）,xwA｝。

例如：大于3的所有整数表示为：｛xeZlx>3｝;方程V-5x+6的解集可表示为｛xl/-5X+6｝。

注意：（1）弄清集合是点集还是数集，点集用一个有序实数对来表示；（2）竖线后要准确说明集合中元

素的共同特性；（3）若描述部分，出现元素记号以外的其它字母时，要对新字母说明其含义，并指出其取值

范围。

说明：（1）错误表示｛实数集｝;（2）可以省去竖线及左边部分，如｛直角三角形｝。

c）图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图（Veen图）。

例如：集合｛1,2,3,4,5｝用图示法表示为：

1.2.1集合间的基本关系：

①子集：若对任意的xeA有xwB,则称集合A为集合8的子集，记作A=8（或8=A）,读作“A含于

B”（或“8包含A”）.

②集合相等的概念：如果集合A是集合8的子集（4=8）,且集合8是集合A的子集（8。A）,此时，集

合A与集合5中的元素是一样的，因此，集合A与集合6相等，记作4=8

1.2.2真子集：

如果集合AcB,但存在元素xe8,且x史A,我们称集合A是集合B的真子集，即如果A屋8且AW8,

那么集合4是集合5的真子集，记作4®（或BBA）.例如｛1,2,3｝£N、｛.，〃^｛4，仇耳等等.子集与真子集

的区别在于8”允许A=8或A厚8,而是不允许“A=8”的，所以如果4£8成立，则一定

有A=B成立；但如果有A=5成立，A£8不一定成立.

备注：①注意强调：任何集合是它本身的子集；

②强调元素与集合间的关系，和集合与集合间关系的区别，以及符号表示上的不同。

1.3.1并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与8的并集。

记作：AU8读作：“A并8”即：AU8=｛xeA,或xeB｝

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一

个元素）。

1.3.2交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与8的交集。

记作：AQ6读作：“A交8”即：An6=｛xeA,且xeB｝

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与8的公共元素组成的集合。

用维恩图表示为：

1.3.3全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常

记作U。

1.3.4补集：对于全集。的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对

于全集U的补集,简称为集合A的补集。

1.3.5集合运算注意点：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集

的关键是“月与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结

合伙＞〃”图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

1.3.6集合基本运算的一些结论：

A^B^A,AC\A=A,AH0=0,A^}B=B[yA,&砒4=0

AQA\JB,AUA=4，AU0=4,AU8=6UA，(Ct,A)nA=0

若An6=A,则一定有反之也成立

若AU8=6,则AqB,反之也成立

若xe(AnB),则xeA且xeB

若X€(AUB)，则xeA或xeB

二、题型分类

考点一：集合的基本概念

例1、若。力€/?集合{1,4+。,。}={0,—,"},求/?一a的值.

a

例2、已知集合A={a,a+d,a+2d},8={a,aq,a/},其中akO,若A=8,求q的值

练1.设集合。={2,3,1+2.-3},A={\2a-\\,2],C"=⑸,求实数a的值.

考点二：集合与元素、集合与集合之间的关系

题型一：关系判断

例1、已知下列集合:(1)={n\n=2k+1,kGN,k<5}i例={xlx=2女集wN,女43}；(3)

4={xIx=4女+1或x=4k-\,keN,k<3}；

问：1)用列举法表示上述各集合；

2)如果女eZ,那么A，A2,4所表示的集合分别是什么？并说明4与4的关系。

练1、集合A={x\x-3k-2,kGZ},B-{y\y-3u+l,uEZ},S-{y\y-6m+l,meZ}之间的关系是

A、S^B^AB、S=B,AC、S,B=AD、S^B=A

k1k1

练2、设集合M={xlx=/+“AeZ},N={xlx=i+5，AeZ},则（）

A.M=NB.M*NC.M栓ND.川门八①

例2、已知集合〃={xlx=/—3a+2,aeR},N={x[x=/-4beR},则A7,N的关系是

A、M至NB、M2NC、M=ND、不确定

题型二：已知关系求参数范围

例1、已知：集合A={a-2,2/+54,12},-3eA,求a.

练1、已知A={a—2,12},月.一3eA,则a的取值范围是；

练2、(1)已知4={。+2,(。+1)2,。2+3。+3}且IwA,求实数a的值;

(2)已知M={2,。,6},山={2。,2,从}且〃=N,求a,b的值.

练3、设全集U={1,2,42+左一16},集合A={l,k—2},AMU,CL,A={4},则k等于.

练4、已知4={2,4,/-2/一4+7},8={_4,0+3,/一2。+2,/+42+3。+7},若4口8={2,5},求实数。

的值,并求AUB.

练5、设集合4={工€/?|/-01+。2-19=0},3="52-58+6=0},C={xe/?Ix2+2x-8=0},且

APIB#①,anc=①，求a的值.

练6、设集合M={xlx=3〃?+l,〃?wZ},N={yly=3〃+2,〃wZ},若x°£M,y°GN,则与凡与集合N的

关系是;

例2、若集合A={xlx2+x—6=0},6={xlmx+l},且BqA,则机的取值的集合是。

练1、已知集合尸={〃/一5了+4《0},。=*1/一（/7+2）、+2/,60}且有「卫。，求实数b的取值范围.

练2、设集合M={xl—lWxK7},S={xM+l〈xm2A-l},若M门5=中，求％的取值范围.

练3、已知集合A={xllog2(x2—2x—3)〉log25},B={x\x2-ax-2a2<0},若4口8=中，求实数。的

取值范围。

练4、设全集U=R，集合M={)，I)，=2',X>0},P={XIX2>1},则下列关系中正确的是()

A.M=PB.P峰MC.M厚PD.。泗c尸=0)

练5、设A={xl-24x={yIy=2x+3,xeA},C={zIZ=x),xeA}若C£8,求实数a的取值范

围。

练6、已知A={xl》2—2x+a<0},8={xlx2—3x+2W0},JlAq6,求实数a的取值范围。

练7、已知集合A={x\x2-4mx+2m+6=0},8={》13<0},若？1口87(1)求实数m的取值范围.

练8、设4=*|/+〃4+4=0}。①,〃={i,3,5,7,9},N={l,4,7,10},若AflM=①,AflN=A,求p,g的

值。

练9、集合4={1,3,a},8={1,力},问是否存在这样的实数。，使得8q口8=U，。}?若存在，求出实

数a的值；若不存在，说明理由.

练10、已知全集(/=凡4={田1%—al<2},6={xllx—1123},且4n6=①，则a的取值范围是

A、[0,2]B、(-2,2)C、(0,2]D、(0,2)

例3、设集合A={xl/_3x+2=0},B={xlx2+2(a+l)x+面—5)=0}.

(1)若408={2},求实数a的值；

(2)若AU8=A，求实数a的取值范围；

(3)若£/=凡40(6/8)=4,求实数a的取值范围.

题型三：集合子集个数

例1、已知=4c,d,e},则满足条件的集合A的个数是。

练1、集合A={(x,y)l2x+y=5,xwN,yeN},则A的非空真子集的个数为()

A4B5C6D7

练2、设集合A={xlx£Z且一10Wx«—l},B={;dx£Z且lxl<5},则AUB中的元素个数是

A、11B、10C、16D、15

练3、集合M={123,4,5}的子集的个数为

A、15B、16C、31I)、32

例2、对于两个非空数集A、B,定义点集如下：AxB={(x,y)\x&A,ye8},若A={1,3},8={2,4},则点

集Ax8的非空真子集的个数是一个

练1、已知集合用={(x,y)ly=x},集合N={(x,y)卜2+>2-2),=0},那么WflN的子集的个数为

练2、已知集合用={(x,y)ly—l=k(x—l)},集合N={(x,y)Ix?+V-2》=0},那么"PIN的子集的个数

为»

考点三：集合的基本运算

题型一：集合元素属性

例1、方程/—2x+l=0的解集中，有个元素

练1、设由2,4,6构成的集合为A,若实数a满足a时，6-a&A,则“=.

练2、集合A={xly=/+1},B={yIy=/+1},C={(x,y)ly=犬+1},。={y=/+1}是否表示同一集

合？

例2、设集合〃={(x,y)ly=3x+4},N={(x,y)ly=—3x—2},则〃nN=()

A.(-1,1)B.(x=-l,y=l)C.{-1,1}D.{(-1,1)}

练2、设集合〃={xly=2x+l,xeZ},N={yly=2x+l,xeZ},则X与1的关系是()

A.N^MB.MWNC.M=ND./口'二①

题型二：数轴在集合运算中的应用

例1、已知A={xIa4x4a+3},B={xIx<-1或x>5}.

(1)若4口8=0,求。的取值范围；(2)若AUB=3,求a的取值范围.

练1、已知A={-2<x<5},B={xl/??+1<x<=A,求机.

例2、①已知集合A={yIy=-3x+l},6={yly=/-2x-3,xeR},则4门8=

②已知集合A-{x\y-yjlx2-3x+l},B={yIy=x?-2x-3,xeR},则ACl8=_

练2、集合A/={xllx-3K4},N={yly=Jx-2+j2-x},则A/PIN=

题型三：韦恩图在集合运算中的应用

例1、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是——人。

例2、(1)设全集U={不超过5的自然数},A={xlx2-5x+6=0),B={xlx2-7x+12=0},则

APIB=，AU8=,(CuA)UB=,(C,;A)n(Q,B)=:

(2)设全集U=R,已知M={x"(x)=-；—},N={xlg(x)=ln(l+x)},则MflN=

-x

(G，M)UN=。

练1、设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则CJSUTL()

A.OB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8)

练2、已知全集〃=凡且A={xllx—ll>2},6={xlx2—6x+8<0},贝iJ(QA)n5=()

A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3]D.(-1,4)

练3、设全集U={x11(xW8,xeZ},(C0A)(C；6)=(4,8),ACl(C。6)=(3,5),AA8={1,2},则

二.

题型四：以集合为载体的创新题

直击高考

1(2011)设集合4={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7},则满足514且5口8/0的集合5为

(A)57(B)56(C)49(D)8

2(2011安徽文)集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},或={2,3,4},则(C“)等于

(A){1,4,5,6}(B){1,5}(0{4}(D){1,2,3,4,5}

3(2011北京理)已知集合?={〃》2<1},〃={4},若PU〃=P，则a的取值范围是

A.(-oo,-l]B.[1,+co)C.[-1,1]D.(-oo,-l]U[l,+oo)

4(2011北京文)已知全集1)=七集合P={xk24l},那么(?uP=

A.(―oo,—1)B.(l,+oo)C.(—1,1)D.(―8,—1)U(1,+8)

5(2011福建文)已知集合卜1={-1,0,1},N={0,1,2},贝i」MCN=

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2)

6(2011福建理)已知U={y|y=log?x,x〉1},P=|y|y=—,x>2■,则CQP=

A.—,+oo^.B.[。，万)C.(0,+oo)I).(—℃,0)U—,+00^

x—2

7(2011江西理)若集合A={1I—1W2X+1W3},B={x\——W0},则AC8=

x

A.{xI-1<x<0}B.{xI0<x<1}C.{xI0<x<2}D.{xI0<x<1}

8(2011全国I文)已知集合全=k|k|42,X€R,B=xl«44,尤wZI,则=

(A)(0,2)(B)[0,2](C)0,2|(D)|0,1,2|

9(2011天津理)设集合A={X卜-4<l,xeR},5=|x||x-/?|>2,xe.若则实数a力必满足

().

A.|a+Z?|<3B.|o+Z>|>3C.|a-&|<3D.|a-£>|>3

10(2010浙江理数)(1)设P={x\K4},Q={x\x2<4},则

(A)pjQ(B)Q=P(C)P^CRQ(D)Q^CRP

11(2010辽宁理数)1.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且ACB={3},0uBCA={9},则A=

(A){1,3}(B){3,7,9}(C)[3,5,9}(D){3,9}

12(2010江西理数)2.若集合人=卜1k|<1,xe/?),B={yly=x2,X&R},则AcB=()

A.{xl-1<x<11B.{xlxZO}

C.{xl0<x<l}D.0

13(2010天津文数)设集合人=卜心川1<1犷€1^},8=511<%<5,1€/?}.若八心8=0,则实数a的