高中数学-《用函数模型解决实际问题》教学设计学情分析教材分析课后反思

《建立函数模型解决实际问题》教学设计

一、教材分析

(一)地位与作用

函数建模思想和方法“螺旋”式地从小学渗透到中学，这有助于

人们在生活、生产实践中通过分析数据做出决策。教会学生分析处

理数据是高中数学课程标准的重要内容，有着广泛的实际应用。收集

图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题，从而使我们能

从整体上更好地把握事物的规律，为现实问题的解决提供更多的帮助。

(二)学情分析

(1)学生初步掌握了一些常见函数图像和性质。

(2)学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作

探究能力。

(3)学生层次参差不齐，部分学生运算能力差，个体差异比较

明显。

二、目标分析

新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，这要求我

们在教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感态度与价值观，并把

这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此

目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据本节内容在教材内容

中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教师教学目

标以及学生学习目标：

(一)教师教学目标

1.知识与技能

(1)让学生在数学建模过程中，借助信息技术，分析实际数据，

(2)让学生发现解决实际问题的方法，并从中体会数学建模的

一般步骤，

(3)提高协作意识，增强信息技术工具的应用水平，感受数

学魅力。

2.过程与方法

通过对本节课知识的学习，初步体会、领悟“用数据说话”的函

数思想方法。

3.情感态度与价值观

会用建立函数模型的思想解决一些简单的实际问题，认识建模的

作用，能够理解数学知识与现实世界的联系。

(二)学生学习目标

(1)学会在数学建模过程中，分析实际数据，

(2)学会发现解决实际问题的方法，并从中体会数学建模的一般步

骤，

(3)初步体会、领悟“用建模说话”的函数思想方法。

重点难点

重点是收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点是对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、教法、学法分析

(一)教法

基于本节课的内容特点，采用探究一一体验教学法为主来完成教

学，为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，创设情境，拉近数

学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主动参与的积极性.

2.在鼓励学生主动参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要

教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达.

（二）学法

在学法上我重视了：

1、让学生利用图形直观启迪思维完成从感性认识到理性思维的

质的飞跃；

2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，由学生自

主完成课堂内容。

四、教学过程分析

我们知道，用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际

问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；

明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型.然后根

据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归

为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型.最后利用函数模型

的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.在构建函数

模型时、经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数

据。

生活中的很多问题都与数学有关，将实际问题化归为数学问题,

通过数学模型解决实际问题的过程称为数学建模。这一节课我们就来

学习，如何建立函数模型模解决实际问题。

三、互动探究，合作学习

（一）・观察实际情况，发现和提出问题

中国茶文化源远流长，博大精深，为中华民族之国粹。茶叶中含

有儿茶素，咖啡碱，肌醇，叶酸，泛酸，长期饮茶可以解除油腻，帮

助消化，还可以对心血管疾病如高血压，冠心病等有一定的防治作用。

茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明某种绿茶用85℃

的热水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感。

针对以上生活背景我们能提出什么问题呢？

我们关心的是：

1、冲好茶后，大约多长时间茶水才能达到最佳饮用口感呢？

2、在这个问题中常量，变量分别是什么？变量之间是什么关系呢？

3、常量是室温（比如在夏天室温为25c）,茶水的初始温度，最佳

温度，变量为茶水的温度，经历的时间是多少？

设计意图：由学生找到自变量和因变量，从而形成函数关系

（二）.收集数据

用秒表计算时间；用温度计或温度传感器测量茶水的温度

比如某研究人员每隔1分钟测量一次茶水温度得到以下的一组数据:

时间/min012345

水温/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10

设计意图：数据如何进行呈现，表格是比较好的对应方式

（三）分析数据

1、茶水温度是随着时间变化而变化的，是时间的函数，到底什么样

的函数呢？

2、我们先将以上数据在坐标系中画出散点图（时间为横坐标，茶水

温度为纵坐标），根据散点观察水温如何根据时间变化，从而确定函

数类型

3、设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度变为根据以

上数据画出散点图

观察散点图的分布情况，选择我们学习过的什么函数可近似的刻画温

度与时间的关系呢？

考虑到该实际问题：茶水温度会越来越低越来越接近于室温，该考虑

哪种函数呢？

引导学生得出函数模型是：y=%d+2s(ACRQVaV'xNO)

设计意图：通过问题的形式引导学生对函数模型进行正确的选择，可

由小组合作探究的方式进行研究。培养学生的合作探究精神。

(四)建立模型

由初始条件知：当*=°时-丫=85,可得"=65怎么求得。的值呢?

可以将已知数据中的一组数据带入求吗？

。的值的取值还可以采用如下的做法:

为了求出温度的衰减比例”，可从第2min的温度数据开始，计算

每分(y-25)的值与上一分(y-25)的值的比值，列出表2

X012345

y—2560.0054.1949.7546.1943.1940.10

比值0.90320.91810.92840.93510.9285

计算各比值的平均值

0.9032+0.9181+0.9284+0.9351+0.9285八

a=----------------------------------------------------------------=0.9227

5

将平均值作为a的取值可得：j=60x0.9227'+25函数模型.

合作探究：可以将已知数据中的一组数据带入求吗？

设计意图：培养学生的整体思想，防止以偏概全

（五）检验模型

将已知数据带入①式，或画出函数①的图象（图2）,可以发现，这

个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随

时间的变化规律.

进一步用几何画板展示，发现所有的点都拟合的非常好

设计意图：养成检验的好习惯

(六)求解问题

将y=60代入y=60x0.9227,+25,得60x0.9227*+25=60

,7

X=log9227-----

解得：0())-712由信息技术得xW.6997

所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约时7min.

设计意图：求解最终结果的能力

上述过程可以概括为:观察实际情景

发现和提出问题

不

符

合

实

际

实际问题的解

(-)数学建模活动的选题

请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题得

活动.可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间,

也可以从下列选题中选择一个：

1.应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

2.根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.

3.用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.

4.估计阅读一本书所需要的时间.

也可以根据自己的兴趣，与老师协商后去顶一个课题进行研究

小组合作：找一至二可行性课题

(二)数学建模活动的要求

1.组建合作团队

数学建模活动需要团队协作.首先，在班级中组成3至5人的研

究小组，每位同学参加其中一个小组.在小组内，要确定一个课题负

责人，使每位成员都有明确的分工，拟定研究课题、确定研究方案、

规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告.

2.开展研究活动

根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、

数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究.在研究过程

中，可以借助信息技术解决问题.

3.撰写研究报告

以小组为单位，撰写一份研究报告.

4.交流展示

(1)对同一个课题，先由3~4个小组进行小组交流，每个小组都

展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短，在小组研究报告的基础

上形成大组的研究报告.选定代表，制作向全班汇报的演示文稿.

(2)与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研

究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分

析不足.开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活

动.

（三）数学建模活动研究报告的参考形式

1.课题名称

2.课题组成员分工

3.选题的意义

4.研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等）

5.研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以

及过程中出现的难点及解决方案等）

6.研究结果

7.收获与体会

8.对此研究的评价（由评价小组或老师填写）

小试牛刀:

1.课题名称：关于未成年男性体重（kg）与身高（cm）关系的函数建模

例：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（1）

根据表提供的的数据，能否建立一个恰当的函数模型，使它能近似地

反映这个地区一体化未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试

写出这个函数模型的关系式；

身高

60708090100110120130140150160170

(cm)

体重

6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05

(kg)

解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图

根据图的分布特点，设、=。万这一函数来近似刻画其关系；取两点

(70,7.90),(160,47.25),代入>=仆"得:y=2xi.QT

(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于

0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校

男生的体重是否正常？

解⑵将产175代入y=2xl.O2，,得'=2x1.02175

用计算器得：六63.98由于78+63.98«1.22>1.2,所以这个男生偏胖。

合作探究：如何求参数更准确

该模型优缺点分析

优点：此模型能够比较科学地反映出身高与体重之间的关系，是衡量

体重的比较合适的方法之一

缺点:该模型忽略了衡量体重的其他因素还有年龄，性别等其它因素,

因而得出的公式不便于实际运用

总结：数学建模活动的核心步骤：

1.数据收集；

2.描述；

3.分析；

4.解决；

5.检验.

课堂小结

1.数学建模与数学探究活动：

描述世界、认识世界、把握世界，其过程需要精确的定量描述、

严谨的逻辑推理，而这些是在我们学习数学知识的过程中习得的.

2.“数学建模”素养要求：

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用

数学知识与方法构建模型解决问题的过程.

板书设计：

（一）・观察实际情况，发现和提出问题

（二）.收集数据

（三）分析数据

（四）建立模型

（五）检验模型

（六）求解问题

设计感想：用函数模型解决实际问题基础上，进一步挖掘不同的

函数模型，具有承前启后的意义。本课所学内容有良好的实际应用价

值,它能为我们对相关问题作出统计推断和决策提供数理依据。因此

学好本节课能帮助学生逐步建立函数模型思想,提高学生数据处理、

解决实际问题的能力。

以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指

正。谢谢！

学情分析

本节课的学习者是纯文班学生，他们的观察、猜想能力较强，但

归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，计算能力较差，思维的广阔性、

紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教

学中进一步加强和引导。具体体现在以下三个方面：

(1)学生初步掌握了一些常见函数图像和性质。

(2)学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究

能力。

(3)学生层次参差不齐，部分学生运算能力差，个体差异比较明显。

效果分析：

本节课内容适中，建立函数模型解决实际问题相对容易掌握，整

节课教学效果比较满意。具体来说，本节课课堂结构设计合理，充分

发挥了教师的主导作用和学生的主体作用，极大限度的提高了课堂教

学效率，学生积极思维，主动学习，自主学习，大多数学生能积极配

合老师并参与课堂活动，能跟上老师的教学进度。通过这节课的学习，

学生对建立函数模型解决实际问题有了更深刻认识。

一节课下来，学生收获颇多数学教学不能摒弃对学生数学基本知

识与技能方面的教育。我们应做到将以上几个观点贯穿在学生学习数

学知识的过程中。（1）学生能否探索到、学到所要学习的知识技能并

加以运用。（2）通过这节课，自主探索发展、合作交流、思维训练、

口头表达等能力是否得到提高。（3）通过这节课，每个学生能否在原

有基础上创新意识、实际应用能力，以及评价意识、数学价值观等得

到发展与提高。

教材分析

用函数构建数学模型解决实际问题时一，首先要对实际问题中的变

化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动

变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型。然后根据分析结果,

选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再

通过运算、推理，求解函数模型。最后利用函数模型的解说明实际问

题的变化规律，达到解决问题的目的。

生活中的很多问题都与数学有关，如何将实际问题化归为数学问

题，通过数学模型解决实际问题。科书以实例的方式解释了如何用函

数构建数学模型解决实际问题。观察实际情况，发现和提出问题，收

集数据，分析数据，建立模型，检验模型。

用函数模型解决实际问题基础上，进一步挖掘不同的函数模型，

具有承前启后的意义。本课所学内容有良好的实际应用价值,它能为

我们对相关问题作出统计推断和决策提供数理依据。因此学好本节课

能帮助学生逐步建立函数模型思想,提高学生数据处理、解决实际问

题的能力。

《建立函数模型解决实际问题》评测练习

关于未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系的函数建模

表中是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：

身高

60708090100110120130140150160170

(cm)

体重

6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05

(kg)

根据表中提供的数据，要求我们用已经学过的一种函数，使它比较近

似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高X的函数关系，并求出

这个函数的解析式.