2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型六 相似三角形的存在性（课件）

类型六相似三角形的存在性函数微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶例12如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC.探究1：P是坐标轴上一点，找出点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△OBC相似；例12题图①例12题图①解：①若△CBP∽△OBC时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).①解：满足条件的点P如解图①所示；例12题解图①【方法总结】二次函数中相似三角形的存在性一般要分情况讨论：以探究1为例，已知∠COB＝90°，故需分∠PCB＝90°和______________两种情况．解决此类问题通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．∠PBC＝90°②若△BPC∽△OBC时，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)．例12题图②②解：满足条件的点P如解图②所示；例12题解图②探究2:若D为对称轴与x轴的交点，P是对称轴上的点，找出点P，使得以O、D、P为顶点的三角形与△OBC相似．在图③中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).例12题图③满足条件的点P如解图③所示．例12题解图③设问突破二阶例13

抛物线y＝－

x2＋2x＋6交x轴于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.一题多设问(1)如图①，点M是y轴正半轴上一点，连接AM，若△AOM与△AOC相似，求点M的坐标；例13题图①【思维教练】要求点M的坐标，已知∠AOM＝∠AOC＝90°，则当∠OAM＝∠OCA时，根据对应边成比例即可求解；(1)解：∵抛物线的解析式为y＝－

x2＋2x＋6，令y＝0，－

x2＋2x＋6＝0，解得x＝－2或x＝6，令x＝0，解得y＝6，

∴A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)，∴OA＝2，OC＝6，如解图①，∵∠AOM＝∠COA＝90°，∴∠OAM＝∠OCA时，△AOM∽△COA，∴，∴，∴OM＝

，∴点M的坐标为(0，

)；例13题解图①【思维教练】要求点E的坐标，由题意可分以下两种情况：①∠ACE＝∠ABC；②∠ACE＝∠ACB，由点坐标求得线段长，根据对应情况相似比列等量关系式求解即可；(2)如图②，点E是线段AB上一点(不与点A、B重合)，若△ACE和△ABC相似，求点E的坐标；例13题图②(2)解：由(1)得点A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)，∴AB＝8，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理可得AC＝

，分以下两种情况：①当∠ACE＝∠ABC时，△ACE∽△ABC，∴，∴

，∴AE＝5，∵点E是线段AB上一点(不与点A、B重合)，∴点E的坐标为(3，0)；②当∠ACE＝∠ACB时，此时点E与点B重合，此情况不存在点E，综上所述，点E的坐标为(3，0)；【思维教练】要求点P的坐标，由题易知∠CBE＝∠CDP＝45°，则可分两种情况讨论：①∠BCE＝∠DCP；②∠BCE＝∠DPC，分别求解即可．(3)如图③，设抛物线对称轴交抛物线于点D，与x轴交于点E，点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以点D、C、P为顶点的三角形和△BEC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例13题图③(3)解：存在．设P(2，m)，当x＝2时，y＝8，∴D(2，8)，易知∠CDE＝45°，∠CBE＝45°，要使以D、C、P为顶点的三角形与△BEC相似，则△DCP中需有一个角为45°，∴点P在点D下方，∠CDP＝∠CBE＝45°，

∴DP＝8－m，∵∠CDP＝45°，CD＝

，∵C(0，6)，B(6，0)，∴BC＝

，BE＝6－2＝4，分两种情况讨论：①当△BEC∽△DCP时，如解图②，此时点P在P1处，

例13题解图②②当△BEC∽△DPC时，如解图②，此时点P在P2处，

，即

，解得m＝

，∴P2(2，

)．综上所述，点P的坐标为(2，2)或(2，

)．

即

解得

m=2∴P1(2，2)例13题解图②综合训练三阶7.(2023黔东南州26题16分)如图，抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线的顶点为点D.(1)求抛物线的解析式；第7题图解：(1)把B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－2x＋c中，得

，解得

，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(4分)(2)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；【解法提示】设Q点的坐标为Q(m，0)，(i)如解图①，此时四边形BCQP为平行四边形，解图①根据平行四边形的性质可得P(m＋3，3)，∵点P在抛物线对称轴上，∴m＋3＝1，即m＝－2，此时点P(1，3)，Q(－2，0)；(ii)如解图②，此时四边形BCPQ为平行四边形，∴P(m－3，－3)，∵m－3＝1，∴m＝4，此时点P(1，－3)，Q(4，0)．解图②(3)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在．设M(n，0)，则G(n，n2－2n－3)，∴AM＝|n＋1|，MG＝|n2－2n－3|，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴D(1，－4)，第7题图∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∴BD2＝BC2＋CD2，∴∠BCD＝90°，∴∠AMG＝∠BCD＝90°，①当

＝

时，△MAG∽△CBD，则

＝|

|＝|

|＝

＝3，∴n＝

或n＝

，此时点M的坐标为(

，0)或(

，0)；第7题图②当

＝

时，△MGA∽△CBD，则

＝|