新教材2021-2022学年高中数学人教B版必修第一册学案：第三章函数

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第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.1函数及其表示方法

新课程标准学业水平要求

1.能用集合语言与对应关系刻画函数.建★水平一

立完整的函数概念*体会集合语言与对1.能从教材实例中抽象出函数的概念.（数学抽象）

应关系在刻画函数概念中的作用.了解2.能从教材实例中了解构成函数的要素.（数学抽象）

构成函数的耍素,能求一些简单函数的3.能结合教材实例掌握求函数定义域的方法.（数学运算）

定义域.4.能从教材实例中归纳出同一函数的概念.（数学抽象）

2.在实际情境中.会根据不同的需要选择5.能结合教材实例归纳M求简单函数值域的方法.（数学运算）

恰当的方法（如图像法、列表法、解析★水平二

法）表示函数.理解函数图像的作用.1.理解函数的概念、函数的-:要素,会求函数的定义域.（数学运算）

3.通过具体实例，了解简单的分段函数.2.能判断两个函数是否是同一函数,会求简单函数的值域.（数学运算）

并能简单应用.3.会解决与分段函数有关的问题.（数学运算）

第1课时函数的概念

为基础认知•自主学习⑥

1.什么叫做函数？函数的三要素是什么？

导思

2.怎样求函数的定义域？

函数的概念

⑴定义：给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合

A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则

称f为定义在集合A上的一个函数.

（2）记法：y=f（x）,xEA.

⑶定义：

自变量因变量定义域值域

XyA{yGB|y=f(x),xGA}

⑷本质：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具

有函数关系，只需检验：

①定义域和对应关系是否给出；

②根据给出的对应关系，自变量X在其定义域中的每一个值，是否都

有唯一确定的函数值y与之对应.

⑸构成：定义域、值域和对应关系是构成函数的三要素.

①定义域：函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的

集合.在实际问题中，还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值

范围.

②对应关系:对应关系f是对自变量x进行"操作〃的"程序〃或者"方法”,

是连接x与y的纽带.

一思考

工y二小液示的是〜等于f与x的乘积”吗？

提示：符号y=f(x)是"y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量,

它是关系所施加的对象.

2.f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是

一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)

是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时，f⑻=3x8

+4=28是一个常数.

基础小测

1.辨析记忆(对的打"V",错的打"x").

⑴任何两个集合都可以建立函数关系.(x)

提示：集合A,B应为非空数集.

⑵集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y.(V

提示：符合函数的定义.

⑶函数的值域即为集合B.(x)

提示：值域是集合B的子集.

2.函数f(x)=^^^的定义域为()

7\-L

A.{x|x>—3}B.{x|x>—3}

C.{x|xi—3日xwl}D.{x|x>—3且xwl}

选C.要使函数f(x)="^有意义，

X.L

x+3>0

则彳，解得x2—3且XH1,

、x-IHO

所以函数f(x)=^^的定义域为{x|x2—3且XH1}.

1

3.(教材例题改编)若f(x)==^，则可3)=.

-L7\

11

f⑶―1_9――8,

答案：一/

O

⑻能力形成-合作探究《

类型一函数关系的判断(数学抽象、直观想象)

题组训练

1.(2021,宁波高一检测)下列各图中，可表示函数y=/(x)图像的是(

ABCD

选D.根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值,

则只有D满足条件.

2

2.已知函数y=/(x)的值域为{4,16},解+析式为/(x)=x,这样的函

数的个数为()

A.1B.2C.3D.9

选D.函数的值域为{4,16},即X2=4,X2=16,解得X=±2,X=±4,故

当定义域分别为{2,4},{-2,4},{2,-4},{-2,—4},

{2,-2,4},{2,-2,-4},{2,4,-4},{-2,4,—4},

{2,-2,4,-4),都满足题意，所以这样的函数的个数为9.

3.在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是

()

①A={x|x£Z},8={y|yEZ),/为“除以3"；

@A={x\x>0,xWR},8={y|yGR},/为"求3x的平方根”;

③〃=R,fi=R,/为"求平方";

@A={x\~l<x<l,xWR},B={0},/为“乘以0”.

A.①④B.②③④C.②③D.③④

选D.①在对应关系了下，4中不能被3整除的数在B中没有唯一确定

的数与它对应，所以不能确定)/是x的函数；②在对应关系/下，4

中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④

符合函数的定义.

解题策略

1.判断一个对应是否是函数的方法

2.根据图形判断对应是否为函数的步骤

⑴任取一条垂直于x轴的直线/.

⑵在定义域内平行移动直线/.

（3）若/与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或

有两个或两个以上的交点，则不是函数.

【补偿训练】

已知集合力二{1,2,3,4},B={，6,7},在下列八到B的四种对应

关系中，存在函数关系的个数是（

A.1B.2C.3D.4

选B.根据函数的定义可知，集合力中每一个实数在B中都有唯一确定

的实数与之对应，其中①③均满足函数的定义.

类型二求函数的定义域（逻辑推理、数学运算）

【典例】求下列函数的定义域：

3

(D/M=2+—.

7\N

，2

(2)/(x)=(x—1)。+

x+1,

⑶f(x)=73—x7x—l.

（x+1）2I----

（4）/（x）=―—71—x.

【思路导引】要求定义域瑞使函数有意义建立不等式（组）才军不等式

（组）年出函数定义域.

⑴当且仅当X—2H0,即XH2时，

3

函数/（X）=2+£7^有意义，

所以这个函数的定义域为{X|XH2}.

"X—IHO,

2

⑵函数有意义，当且仅当j干20,

<x+1。0,

解得X>—1且XH1,

所以这个函数的定义域为{x|x>一1且XH1}.

3—x>0,

⑶函数有意义，当且仅当解得1女W3,

[x-l>0,

所以这个函数的定义域为{x[l<x<3}.

⑷要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

x+1H0,

,解得XWI且XH—1,

1—x>0,

即函数定义域为{x|xWl且XH—1}.

解题策略

求函数定义域的常用方法

⑴若/（X）是分式，则应考虑分母不为零.

⑵若/（X）是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

⑶若/（X）是指数幕，则函数的定义域是使幕运算有意义的实数集合.

⑷若/（X）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交

集.

⑸若/(X)是实际问题的解+析式，则应符合实际问题，使实际问题有意

义.

跟踪训练

(2021・怀仁高一检测)求下列函数的定义域:

(l)/(x)=

|x+l|-2

(2)/(x)=(2x+l)°-

X2—3x—4>0

⑴要使函数有意义，只需<

|x+l|—2。0

解得x<—1或x>4且XN—3,

所以定义域为{x|x《一1或x>4且XN-3}.

J^T-l>0

⑵要使函数有意义，只需jx+1,

、2x+lH0

f—l<x<0

解得<1Q—1<XWO且XN一三，

1

所以定义域为jx—1<XWO且XH—5

题型比比看

⑴已知函数/(x)的定义域为[―1,5],则函数/(X—5)的定义域为

⑵已知函数/(x—5)的定义域为[—1,5],则函数/(x)的定义域为

⑴已知函数/(x)的定义域为[-1,5],则由一1WX—5W5,得44x410,即

函数/(X—5)的定义域为[4,10].

⑵已知函数/(X—5)的定义域是[-1,5],

则一l<x<5,则一6<x—5<0,

即函数/(x)的定义域为[-6,0].

答案：⑴[4,10](2)[-6,0]

【点拨】从本题上看：

两题的区别在于题设中自变量的取值范围.

①题中自变量虽是x,但其范围应由一lWx—5W5求得；

②题中的题设条件x的取值范围相当于已知函数中x—5的取值范围.

【拓展延伸】

抽象函数定义域的求法

⑴若已知函数/(x)的定义域为ab],则复合函数/(g(x))的定义域由不

等式a<g(x)<b求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为[a,句，则/(x)的定义域为g(x)在x£[a,

b]上的值域.

【拓展训练】

函数y=/(x+l)的定义域是[―2,3],求y=H2x—1)的定义域.

因为函数y=/(x+l)的定义域是[一2,3],所以一2WxW3,-l<x+l<4,

..,5

所以/(x)的定义域是[—1,4].再由一lW2x—1W4,得OWxW,.

-5一

所以/(2x—l)的定义域是0,2.

类型三函数对应关系的应用(数学抽象、逻辑推理)

痢雷I对应关系的选取

【典例】已知八={x|0WxW9},B={y|0<y<3},下列对应关系不表示定义

在八上的函数的是()

11

A./为"乘万〃B.7为“乘§〃

c.f为“乘/〃D./为"求算术平方根〃

【思路导引】根据函数的定义判断.

选A.对于对应"乘号”,x=9£八时，y=4.5曲，所以此对应关系不

是定义在集合力上的函数，B,C,D均是定义在集合力上的函数.

一题多变

本例中，若/为"求平方根〃，则/是否是定义在集合力上的函数？

因为任何一个正数都有两个平方根，故集合4中的任何一个正数都对

应两个实数，不符合函数的定义，故/不是定义在集合力上的函数.

唯一利用对应关系求值

【典例】已知/为"平方加1"是定义在集合力上的函数，那

么值域中的元素5在集合力中对应的元素是（）

A.26B.2

C.-2D.±2

【思路导引】设对应的元素为x,列方程求值.

选D.因为/为"平方加1",设集合人中对应的元素为x,由5=X2+1,

得x=±2,

所以值域中元素5在八中对应的元素为±2.

解题策略

1.关于对应关系的选择

根本的方法是依据函数的定义进行判断，判断时可以借助区间的端点

值、区间中的特殊值进行验证、排除，另外值域一定是集合B的子集.

2.关于利用对应关系求值

利用对应关系建立定义域A中的x与值域中的y之间的方程，通过解

方程求值，其中x可以是一个或多个，而y值只能是一个.

题组训练

1.已知4=B=R,x£4yGB,对应关系/为"乘以。加b"是定义在集

合4上的函数，若集合八中的3和10分别对应集合B中的1和8,则

5对应的元素是（）

A.3B.4C.5D.6

|3a+b=l,

选A/=B=R,x£4,yEB,/为“乘以a加b”,所以有,

7[10a+b=8,

a=l,

解得：，即/为“乘以1减2”,5在/下的函数值/(5)=1x5—2

[b=~2,

2.（2021・无锡高一检测）已知集合力=B={1,2,3},设力八为从集

合力到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的

值域一共有种不同情况.

因为定义域中有三个元素：1,2,3,其中每个元素都可以对应到集合

B中的三个元素中的任意一个，所以对应关系共有：3x3x3=27种，所

以函数的个数为：27;将对应关系分为：一■对一，多对一（二对一■、三

对一）,若为一'对一值域有：{1,2,3},共1种情况，若为二对一■,

值域有：{1,2},{1,3},{2,3},共3种情况，若为三对一，值域有：

{1},{2},{3},共3种情况，所以值域有7种.

答案：277

备选类型函数的逆向问题

【典例】已知函数y=Mx2+3kx'l的定义域为R，求实数k的值.

【思路导引】将定义域为R转化为分母不为0在R上恒成立，或分母

为。在R上无解，据此确定参数.

kx+1

函数的定义域是使22的实数x的集合.

'/C2X2+3/CX+1/CX+3/CX+1^0

由函数的定义域为R,得方程k2x2+3kx+l=0无解.

1-1

当k=0时，函数）/=卜2*2+3kx+1=1，函数的定义域为R，因此k=0

符合题意；

当后0时，/C2X2+3/CX+1=O无解，

即4=9k2—4k2=5k2<0,不存在满足条件的k值.

综上可知，实数k的值为0.

解题策略

已知函数定义域及