高中数学必修4(第三章)导学案

3.1.1两角差的余弦公式

课前预习学案

一、预习目标

预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程，尤其是向量法的运用。

二、预习内容

阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方

法作用，并回答以下问题：

1.如何用任意角a,夕的正弦余弦值来表示cos(a-/?)；

2.如何求出cos15°的值;

3.会求sin750的值吗?

三、提出疑惑

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习内容

通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打

好基础。

二、学习过程

探究一：(1)能不能不用计算器求值：cos45°,cos30°,cos15°

(2)cos(45°-30°)=cos45°一cos30°是否成立？

探究二：两角墓的余弦公式的推导

1.三符函数战法：

问：①怎样作出角a、尸、a-夕的终边。

②怎样作出角a-尸的余弦线0M

③怎样利用几何直观寻找0M的表示式。

2.向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？

②怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。

③对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。

例题整理

例1.利用差角余弦公式求COS15°的值

变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：

(1)cos专-a)=sina；(2)cos(2^-a)=cosa

47rS...

例2.已知sina=—,ae(—,兀),cosp=--,)3第三象限角，求cos(a-6)的值

变式训练：已知sine=H15,。是第二象限角，求cos（e-K7T）的值»

173

三、反思总结

本节主要考察如何用任意角a,夕的正弦余弦值来表示cos（a-Q）,回顾公式

Ga-夕）的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角a,夕的任意性，特

别要注意公式既可正用、逆用，还可变用（即要活用）.在求值的过程中，还要注意掌握“变

角”和“拆角”的思想方法解决问题.

四、当堂检测

1.利用两角和（差）的余弦公式,求cos75°,cos105°

2.求值cos75°cos300+sin75°sin300

3.化简cos(a+/7)cos/7+sin((7+/7)sin4

y,sin(«+^)=^-V3，求cosQ

4.已知a,尸为锐角,cosa-

课后练习与提高

一、选择题

I.cos50°cos200+sin50°sin20°的值为()

11V3V3

A.-B.—C.----D.----

2323

2.cos(—15°)的值为()

V2-V6V6-V2V6+V2V6+V2

B.C.D

4-----------4----------------4------------------4

I7/rr\jr

3.已知cosa=内,。J,则8$（。一^）的值等于（）

57217727加70

A.------B.-------C.------D.------

13262613

二、填空题

4.化简cos(a+30°)cosa+sin(。+30°)sina=

5.若a=(cos60°,sin60°),B=(cos15°,sin15°),贝ija•5=

三、解答题、

6.已知sina=——.ae0,^1,求cos(a-〃)的值.

3

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课前预习学案

一、预习目标

1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数

值；

2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；

二、预习内容

1、在一般情况下sin（a+p）Wsina+sinB,cos（a+0）Wcosa+cosB.

sin6=3,则sin（6）-马=__________;若。是第四象限角，则sin（。-马=___________

544

tan。=2,度第三象限角，求tan（。一工）=.

6

注意角的变换及公式的灵活运用，如a=（a+4）一夕;2a=（«+/?）-（«-/?）,

2、中=（。_，）_弓_夕）等。

222

217T

已知tan（a+夕）=-,tan（a-尸）=——,那么tan（a+—）的值为（）

545

3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式

/।tana士tan/?,八,、门、八0、

tan(a±0)=------------------可变形为：tana±tanB=tan(a±B)(1干tanatanB);

1Ttantan°

八tana±tanB

±tanatanB=1------------------,

tan(a±(3)

tan200+tan400+V3tan20°tan400=.

22

4^又如：asinQ+bcosQ二J。？+。2(sinQcos6+cosQsin(!>)=y/a-i-hsin(Q+

b

6),其中tan6=2等，有时能收到事半功倍之效.

a

sina+cosa=;sina—cosa=

£cosx-sinx=.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1.能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式,

了解公式间的内在联系。

2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

学习重难点：

I.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

二、学习过程

(-)复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

动手完成两角和与差正弦和正切公式.

观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tane、tan£的形式呢？(分式分子、分

母同时除以cosacos?'得到tan(")=MW餐

..)7j7

注意：a+/w万+%肛二w2+々肛〃w耳+Ez)

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

峥如咻+(一吁工条黑瑞

、.jin

汪意：＜z+y?+k/r,aw2+ki,y?+k7i(ksz).

(二)例题讲解

例1、己知sina=-不3a是第四象限角，求sin:■-a}cos(7?1+a)tan[a-7?1J的

544

值.

例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值：

⑴、sin720cos420-cos720sin42°；⑵、cos20cos700-sin200sin70c；(3)、

1+tan15°

1-tan15°

例3、化简0cosxsinx

（三）反思总结

（四）当堂检测

1、$m7。《«37。一511183。5吊37。的值为（)

(A)4

(B)

22

1V3

（C）

2(D)~T

寄省的值为（）

2、

273

(A)2百

(B)~T~

26

(C)-273(D)

"V

3、若sin2xsin3x=cos2xcos3x,贝卜的值是()

717T

(B)-

106

冗71

(D)-

74

4、若cos6=(,6w,2万)则sin［。+?)=,

_V3-tan15°

3、----T=-----------=___________.

1+V3tanl50

6、cos(«+⑶cosp+sin(«+⑶sin£=.

参考答案

1-276+73

1、——2、C3、A4、-----------5、16、COS6Z

210

课后练习与提高

2.若。,£均为锐角,J@Lsina-sin=--,cosa-cos^=—,]U!|tan(a-^)=.

3、函数y=cos]x-cos'(x-l)的最小正周期是.

35

4、a为第二象限角，sina=-,尸为第一象限角(cosP=『.求tan(2a-0的值。

5.已知sin(a-g=±cos§-0=卡,且"，为第二象限角今-的第三象限角,

_p.a+/?

求tan----.

2

参考答案

.3，、万小，,204一63

1.—2、—39、=4、----?.——

22325316

3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

课前预习学案

一、预习目标

复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺

垫。

二、预习内容

请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：

三、提出疑惑

我们由此能否得到sin2a,cos2a,tan2a的公式呢？(学生自己动手，把上述公式中0

看成a即可)。

课内探究学案

一、公式推导：

sin2a-sin(«+«)=sinacosa+cosasina=2sinacosa；

cos2a-cos(a+a)=cosacosa—sinasina-cos2a-sin?a；

思考：把上述关于cos2a的式子能否变成只含有sina或cosa形式的式子呢？

cos2a-cos2a-sin2a-\-sin2«-sin2a=1-2sin2a；

cosla=cos2a-sin2a=cos2a-(1-cos2a)=2cos2a-\.

tana+tana2tana

tan"=tan(a+a)=-------------=------；—•

1-tanatana1-tarra

注意：2a手三k兀，a手k兀(ksz)

二、例题讲解

57171

例1、已知sin2a=Ki<a<Q,求sin4a,cos4a,tan4a的值.

=1，求tana的值.

例2、已知tan2a

3

三、课堂练习

1.sin22030,cos22°30,=

2.2c吗一

.2兀2兀

3.sin---cos一

88

c.兀兀兀兀

4.8sin——cos——cos——cos—=

48482412

/.57r5兀\/.57t5兀\

5.(sin--Feos—)(sin----cos—)=

12121212

4a.4a

6.cos---sin——

22

11

7.

1-tana1+tana

8.l+2cos20-cos20=.

课后练习与提高

、已知,化简,2+cos2a—sin2

1180°<2a<270°a=()

A、-3cosacosaC^-V3cosaDV3sina-V3cosa

2、已知aG(——,34),化简Jl-sina+Jl+sina二()

A、-2cos—B、2cos—C、-2sin—D,2sin—

2222

a3a4

3、已知sin±=?，cos±=-2,则角a是()

2525

A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角

4N若tan。=3,sin20-cos29的值。

5、已知sina=二，a£(一,兀)，求sin2a,cos2a,tan2a的值。

132

TTTTI77

6、已知sin(—+a)sin(---a)=—e(一,乃)，求sin4。的值。

4462

7、已知tan(a-2)=」，tan(y9--)=

求tan(a+4)的值。

222

课堂练习答案:

、臣'呢，&,1<、泛

2、3、-4s-5、6、cosa7、tan2a

4-------2---------2-------22

8、2

7120120120

课后练习与提高答案：1、C2、C3、D5、----、---、----

5169169119

472

6^

~9~

3.2简单的三角恒等变换(导学案)

课前预习学案

一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单

的三角恒等变换。

二、预习内容：

1、回顾复习以下公式并填空:

Cos（a+B）=Cos(a-B)=

sin（a+B）=sin(a-p)=

tan（a+B）=tan(a-B)=

sin2a=tan2a=

cos2a=

2、阅看课本P139---141例1、2、3。

三、提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式,

积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思

想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训

练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提

高从整体上把握变换过程的能力。

二、学习过程：

探究一：半角公式的推导（例1）

请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2a与a有什么关系？a与a/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的

应用•

2、半角公式中的符号如何确定？

3、二倍角公式和半角公式有什么联系？

4、代数变换与三角变换有什么不同？

探究二：半角公式的推导（例2）

请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联

系？

2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）?

3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？

探究三：三角函数式的变换（例3）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？

2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin（3x+。）的函数？并求

y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值.

三、反思、总结、归纳：

sina/2=cosa/2=tana/2=

sinacosB=cosasinP=

cosacosB=sinasinP=

sin。+sin4）=sin。-sin@=

cos8+cos6=cos8-cos6=

四、当堂检测：

课本pl43习题3.2A组1、（3）（7）2、（1）B组2

课后练习与提高

一、选择题：

1.已知cos（a+£）cos（a—y?）=；,则cos2a-sin2s的值为（）

A--tB--Ic-5D-t