高中数学学案2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量基本定理

1.2空间向量基本定理

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，1、数学运算

2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）2、数学抽象

【自主学习】

1.空间向量基本定理

定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p存在有序实数组｛x,y,z｝,

使得。=xa+yb+zc.其中｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

2.单位正交基底

空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为L那么这个基底叫做单位正交基底，

常用｛九j,心a可以分解成三个向量，a=xi+yj+zk,像这样叫做把空间向量进行正交分

解。

【小试牛刀】

1.判断正错

⑴空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.（）

⑵若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量.（）

⑶如果向量a,力与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.（）

⑷任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.（）

2.在下列两个命题中，真命题是（）

①若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面；

②若a,力是两个不共线向量，而c=4a+〃灰几，〃e1?且几〃关0）,贝U｛a,6,c｝构成空间的

一个基底.

A.仅①B.仅②C.①②D.都不是

【经典例题】

题型一基底的判断

判断标准：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.

方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性

表示，则不能构成基底.

②假设运用空间向量基本定理，建立九，〃的方程组，若有解，则共面，不能

1

作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.

例1设又=&+6,y=b+c,z=c+a,且｛a,6,c｝是空间的一个基底，给出下列向量：①｛a,

b,x｝；②伉c,z｝；③｛x,y,a+b+c］.其中可以作为空间的基底的有()

A.1个B.2个C.3个D.0个

-

［跟踪训练］1已知｛a，e2>63｝是空间的一个基底，且如=且+26一e3,(25=3ei+e2+2e3；

"ei+e2—e”试判断｛洒，OB,而能否作为空间的一个基底.

题型二用基底表示向量

注意：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边

形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基

向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.

例2在平行六面体/故144G〃中，设荔=a,AD=b,M=c,E,b分别是/〃，劭的中点.

(1)用向量a,b,c表示瓦瓦旗

⑵若/=xa+yb+zc,求实数x,y,2的值.

［跟踪训练］2如图所示，空间四边形如a'中，G,〃分别是△N8C,△阪1的重

心，设洒=a,OB=b,OC=c,。为W的中点.试用向量a,b,c表示向量/4乙空冷,

和沏

2

【当堂达标】

1.以下四个命题中正确的是（）

A.基底｛a,b,c｝中可以有零向量

B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底

C.以为直角三角形的充要条件是诵•衣=0

D.空间向量的基底只能有一组

2.已知点0,4B,。为空间不共面的四点，且向量a=成+速+击向量力=成+应一宓则

与a,6不能构成空间基底的向量是（）

A.OAB.0B

C.OCD.而或应

3.下列能使向量就，~MB,比成为空间的一个基底的关系式是（）

A.丽■洒■龙+；亦B.而=砺+该

OOO

C.~OM=OA+OB+dC^~MA=2MB-MC

4.已知a=a+e；+a,b=ei-\-e2—ei,c=ei—d=a+2仅+3a,若＜7=。&+£6+，

c,贝Ija,£,4的值分别为.

5.如图，在梯形力皿中，AB//CD,48=2/点。为空间任一点，设成=a,

速=6,左=c,则向量应用a,b,c表示为.

6.如图，已知以，平面四口，四边形N四为正方形，G为△外。的重心，AB=i,AD=j,AP

=k,试用基底｛i,j,后表示向量无，BG.

3

【参考答案】

【小试牛刀】

1.xvvx

2.A解析①为真命题；②中，由题意得a,b,c共面，故②为假命题，故选A.

【经典例题】

例1B②③均可以作为空间的基底，故选B.

［跟踪训练］1解假设成，0B,应共面.则存在实几，〃使得涝=几速+〃宓

61+26--3=X(—3ei+e2+2^)+〃(ei+&-&3)=(—3X+〃)31+(几+〃)e2+(2几一

〃)。3，

Vei,e29快不共面，

C—3几+〃=1,

{X+〃=2,

此方程组无解,

[21一P=~1

・•・洒，0B,沆不共面，，｛应，0B,应｝可以作为空间的一个基底.

例2解(1)如图，连接力G

D\B=D\D-\-DB——AA]_-\-AB—AD—a.—b—c9

砺=必+亦=：无+J衣=_J(lX+^)+：(诵+戒=-|(a—c).

乙乙乙乙乙

(2)9=；(9+苑)=|(—=；(-c+a-6-c)c,

11

••x=~9y——5,z=-1.

2

[跟踪训练]2解因为龙=成+而，而而=商，Ab=Ob-QA,

O

122

又。为8。的中点，所以应=a(应+击，所以施=应+于沏=血+可(应一成)

乙DO

f21ff2f]———1

=~0A+-X-z(0B+~dC)—£dA=-(0A+~0B+~0C)=-{a+b+c).

。乙ooo

2211

又因为曲=*亦，~OH=^OD=-^-<OB-^~OC)=-(/>+c),

。。乙o

4

所以南=；(2>+c)—1(a+b+c)=—1a.

ooo

所以0G=~(a+8+c),GH=一金a.

oo

【当堂达标】

1.B解析使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△//为直

角三角形并不一定是森•衣=0,可能是能•切=0,也可能是游•初=0,故C不正确；空间

基底可以有无数多组，故D不正确.

2.C解析..,比=]a—万力且a,b不共线，.'.a,b,沆共面，.•.沆与a,b不能构成一组空

间基底.3.C解析对于选项A,由砺=x成+y应+z死(x+y+z=l)Q弘A,B,C四点共

面知，~MA,一赢,该共面；对于选项B,D,可知砺，一施,该共面，故选C.

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4.5.—1,--解析•；4=a(仍+0+自)+£(刍+/—刍)+4(。一程+刍)

乙乙

=(。+£+4)ei+(a+£-4)&+(a—£+几)饶=且+20+3备，

5

—+£+4=1,0=2,

%一解析：

5a+£—4=2,£=一1,