二次函数的图象及其性质（学案含解析）-中考数学备考复习重点资料归纳

2022年中考数学一轮复习学案

15二次函数的图象及其性质

中考命我觉明

考点课标要求考查角度

二次函数的通过对实际问题情境的分析确常以选择题、填空题的形式考查二次函

1意义和函数定二次函数的表达式，并体会二数的意义和函数解析式的求法，部分地

表达式次函数的意义.市以解答题的形式考查.

①会用描点法画出二次函数的

常以选择题、填空题的形式考查二次函

图象，能从图象上认识二次函数

二次函数的数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线

2的性质；

图象和性质的平移等基础知识，以解答题、探究题

②会根据公式确定图象的顶点、

的形式考查二次函数综合能力.

开口方向和对称轴.

f---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\

知聚点h二次图数的有关慨念

<_________________________________________________________________/

(----------------------------------------X

知疚点梳理

1.二次函数的概念：

一般地，如果丁二加+加什。(a,b,c是常数，QWO),那么y叫做x的二次函数.

y=aj?+bx+c(〃，b,c是常数，0)叫做二次函数的一般式.

2.二次函数的解析式：

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：y=加+Zzx+c(〃，b,c是常数，aWO)

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(〃，h,%是常数，-W0)

(3)两根式(交点式)：当抛物线严加+灰+。与x轴有交点时，即对应二次方程以2+法+/0

有实根xi和必存在时，根据二次三项式的分解因式a^+bx+c=a(x-x\)(x-X2),二次函数

y=ax^+bx+c可转化为两根式y=a(x-x\)(x-xi).如果没有交点，则不能这样表示.

3.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为>=加+匕龙+c.

(2)若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y^a(x-h)2+k,其中对称轴

为x=h,顶点坐标为(/i,k).

(3)若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y=a(x

—X1)(X—X2),其中与x轴的交点坐标为(xi，0),(X2,0).

翼曳用题

【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是()

A.y=3x-1B.y=a>i?+bx+c

,21

C.s=2f--2t+lD.y=x~——

x

【考点】二次函数的定义.

【解析】解：根据二次函数的定义：形如广加+bx+c(存0)判定即可.

A.y=3x-l是一次函数；B.y=af+fer+c不一定是几次函数；

C.s=2儿2打1符合二次函数定义；D.y=£+J■不符合二次函数定义.

x

故答案为：C.

【例2】(4分)(2019•甘肃庆阳)将二次函数4x+5化成y=a(x—/ip+A的形式

为.

【答案】y=(x-2)2+l.

【分析】将二次函数y=f—4尤+5按照配方法化成y=a(x—好+左的形式即可.

【解答】y—x2—4x+5—(x—2)2+l.

(----------------------------------------------------------------------------------------------------\

知猊就2：二次施数的圈象和嵯质

知疚点神理

<___________________________/

1.二次函数的图象：

二次函数的图象是一条关于x=-2对称的曲线，这条曲线叫抛物线.

2a

h

(1)二次函数产加+乐+°(。0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线%=-2,顶点

2a

是(-2,4ac-b2).当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当时0时，抛物线

2a4a

开口向下，函数有最大值.

（2）抛物线y=a。一/?）2+左与>=浸形状相同，位置不同，把抛物线>="2向上（下）向

左（右）平移，可以得到抛物线y=a（无-4）2+k.

2.二次函数图象的画法：

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出

对称轴；

（2）求抛物线丫=加+尿+。与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,8及抛物线与y轴的交点C,再找到点

C的对称。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数

的图象.

3.二次函数的性质：

二次函数丫=皿2+匕尤+。（a,b,c是常数，aWO）中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上，a<。时，抛物线开口向下；

b

b与对称轴有关：对称轴为％=----;

2a

。表示抛物线与y轴的交点坐标：（0,c）.

--------------------------\

典鱼用题

【例3】（3分）（2021•江西5/23）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=a/与一次函数

y=6x+c的图象如图所示，则二次函数y=a/+6x+c的图象可能是（）

【考点】一次函数的图象；二次函数的图象.

【分析】根据二次函数y=o?与一次函数y=6尤+c的图象，即可得出。>0、6>0、c<0,

由此即可得出：二次函数y=a?-bx+c的图象开口向上，对称轴x=_a_<0,与y轴的交

2a

点在了轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论.

【解答】解：观察函数图象可知：a>0,b>0,c<0,

...二次函数yuo？-bx+c的图象开口向上，对称轴尸__L<0,与y轴的交点在y轴负半

2a

轴.

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图

象经过的象限，找出。>0、。>0、c<0是解题的关键.

【例4】（4分）（2021•上海3/25）将函数yR/+bx+c（（#0）的图象向下平移两个单位，以下

错误的是（）

A.开口方向不变B.对称轴不变

C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质

【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，。不变，抛物线的增减性不变.

【解答】解：A、将函数尸五+法+外”邦）的图象向下平移两个单位，。不变，开口方向不变，

故不符合题意.

B、将函数yuaf+fcv+cG#。）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故

不符合题意.

C、将函数yuad+bx+cQ力0）的图象向下平移两个单位，抛物线的性质不变，自变量x不变，

则y随x的变化情况不变，故不符合题意.

D、将函数严加+灰+。（存0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，

故符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后

的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变.

[例5]（3分）（2021•包头10/26）已知二次函数产办龙+。（办0）的图象经过第一象限的点

（1,心,则一次函数尸的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质

【分析】根据二次函数尸混-法+。（存0）的图象经过第一象限的点（1,»）,可以判断6<0

和ac异号.再根据一次函数的性质即可求解.

【解答】解：：点（1,%）在第一象限.

：.-b>0.

：.b<0.

;二次函数广加-公+°3和）的图象经过第一象限的点（1,-b）.

-b=a-b+c.

a+c=O.

ac<0.

・・・一次函数产版的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知

识.关键在于判断氏-农的正负性.

【例6】（4分）（2021•福建10/25）二次函数厂以2-2ox+c（a>0）的图象过A（-3,%）,B

（T,竺），C（2,券），D（4,yD四个点，下列说法一定正确的是（）

A.若yi>2>0,则y3y4>0B.若yiy4>0，则y2y3>0

C.若y2y4<0，则以,3<。D.若y3y4<0，则yiy2<0

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

【分析】观察图像可知，乃>以>”>/，再结合题目一一判断即可.

观察图像可知，，以>%>丫2>”，

若％”>0,则y3y4>0或y3y4<0，选项A不符合题意，

若州丫4>0,则y2y3>0或y2y3<0，选项B不符合题意，

若y2y4<0，则力>3<0，选项C符合题意，

若y3y4<0，则以”<0或%>2>0，选项D不符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，

属于中考常考题型.

【例7】（3分）（2021•山西10/23）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+l,若将x轴向上平移

2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数

表达式为（）

A.y=3（x+l）2+3B.y=3（x-5）2+3C.y=3（^-5）2-lD.y=3（尤+1）2-1

【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换

【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”

后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而

得出答案.

【解答】解：根据题意知，将抛物线y=3（x-2）2+l向下平移2个单位长度，再向右平移3个

单位长度后所得抛物线解析式为：j=3（x-5）2-l.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键.

【例8】（3分）（2021•通辽10/26）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,动点尸，。同时

从点A出发，点P沿A-B-C的路径运动，点Q沿A-O-C的路径运动，点P,Q的运

动速度相同，当点P到达点C时，点。也随之停止运动，连接尸Q.设点尸的运动路程为

x,P02为户则y关于x的函数图象大致是（）

【考点】动点问题的函数图象

【分析】在RtA4P。中，利用勾股定理可求出尸。的长度，分0WxW3、3WxW4及4WxW

7三种情况找出y关于尤的函数关系式，对照四个选项即可得出结论.

【解答】解：在Rt2\AP。中，ZQAP=90°,AP=AQ=x,

."02=2*.

当0Wx<3时，AP=AQ=x,

2。2=2/；

当3WxW4时，DP=x-3,AP=x,

；.y=9=32+32=18；

当4WxW7时，CP=7-x,CQ=1-x,

：.y=Pe2=CP2+C22=2r-28x+98.

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及勾股定理，分0WxW3、3WxW4及4WxW7

三种情况找出y关于x的函数关系式是解题的关键.

【例9】(12分)(2021•安徽22/23)已知抛物线y=o?-2x+l(a#0)的对称轴为直线x

=1.

(1)求。的值；

(2)若点M(xi,yi),N(%2,”)都在此抛物线上，且-1<X2<2.比较yi与

”的大小，并说明理由；

(3)设直线y=〃z(m>0)与抛物线y=G?-2x+l交于点4、B,与抛物线y=3(x-1)2

交于点C,D,求线段A3与线段CO的长度之比.

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】(1)根据公式，对称轴为直线万=--^，代入数据即可；

2a

(2)结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；

(3)分别联立直线y=%与两抛物线的解析式，表示出A,B,C,。的坐标，再表示出线

段AB和线段C。的长度，即可得出结论.

【解答】解：(1)根据题意可知，抛物线y=--2x+l(aWO)的对称轴尤=_二==1,

2aa

•*ci~~1.

(2)由(1)可知，抛物线的解析式为：y=x2-2x+l=(x-1)2

Vtz=l>0,

・••当x>l时，y随工的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，

・I-l<xi<0,1<%2<2,

AKI-xi<2,0<x2-1<1,

结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，

•'•yi>y2.

(3)联立(m>0)与-2x+l=(x-1)2,可得A(1+,m),B(l-y[m，

•'•AB—,

联立y=m(m>0)与y=3(x-1)2,可得C(l+

【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中,

数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础.

知识点3：二次函数的最值

知疚点梳理

二次函数的最值：

(1)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当

(2)如果自变量的取值范围是无那么，首先要看-幺是否在自变量取值范围

XlWx《X2内，若在此范围内，则当x=—2时，y最值=生£二或；若不在此范围内，则需

2a’最值44

要考虑函数在尤iWxW尤2范围内的增减性，如果在此范围内，y随彳的增大而增大，则当

1二九2时，y最大uavB+bxz+c,当x三ri时，y最小UQXJ+ZZXI+C；如果在此范围内，y随x的增大

2

而减小，贝!I当x=x\时，y最大=ax\+bx{+c，当x=X2时，y最小=ax2-^bx^c.

要型用题

【例10](5分)(2021•安徽14/23)设抛物线y=/+(a+1)x+a,其中a为实数.

(1)若抛物线经过点(-1,"Z),则"2=；

(2)将抛物线y=/+(«+1)x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值

是.

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次

函数的最值.

【分析】(1)把点(-1,他)，直接代入抛物线解析式，即可得出结论；

(2)根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的

纵坐标，再求最大值.

【解答】解：(1)点(-1,加)代入抛物线解析式y=/+(a+1)x+a,

得(-1)?+(<7+1)X(-1)+a=m,解得m=0.

故答案为：0.

(2)y=x1+(o+l)x+a向上平移2个单位可得，y=x2+(a+1)x+a+2,

•,y=(x++2，

抛物线顶点的纵坐标〃=—L(a—1尸+2，

：.n的最大值为2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单.

【例11】(10分)(2021•重庆B卷25/26)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6x-4

(aWO)与无轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点尸为直线AD下方抛物

线上一动点，连接B4,PD,求面积的最大值.

(3)在(2)的条件下，将抛物线产办2+6尸4(aWO)沿射线AD平移4无个单位，得到新的

抛物线yi，点E为点P的对应点，点尸为V的对称轴上任意一点，在力上确定一点G,使

得以点。，E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并

任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

备用图

【考点】二次函数综合题

【分析】(1)直接代入点A,8坐标即可；

(2)作「£〃》轴交直线A。于E,通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；

(3)通过平移距离为4无，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后

的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段。E,分。E为边还是对角线，

通过点的平移得出G的横坐标即可.

【解答】解：(1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=a*+陵-4得

{a—£7—4=0

6a+45-4=0'

[b=-3

(2)当x=0时，产-4,

・••点C(0,-4),

•・•点。与点。关于直线/对称，

：.D(3,-4),

VA(-1,0),

・,・直线AO的函数关系式为：尸-犷1,

设P(/n,m2-3m-4),

作PE//y轴交直线AD于E,

PE=-m-l-(m2-3m_4)=-m2+2m+3?

S4APD=~XPEx4=2(—m2+2m+3)=—2m2+4m+6，

当机=--------=1时，SAAPD最大为=8.

2x(-2)

...沿AD方向平移4犯，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位,

VP(1,-6),

：.E(5,-10),

抛物线y=/-3x-4平移后yi^-llx+20,

抛物线力的对称轴为：直线x=〃，

2

当。E为平行四边形的边时：

若。平移到对称轴上歹点，则G的横坐标为巨，

2

代入yi=fTlx+20得y=——，

若E平移到对称轴上尸点，则G的横坐标为Z,

2

代入yi=x2-llx+20得y=——,

若。石为平行四边形的对角线时，

若E平移到对称轴上尸点，则G平移到。点,

・・・G的横坐标为9,

2

代入yi=x2-llx+20得y=——，

4

，G§,勺或G（（-祟或G（早

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，

以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，解决问题的关键是沿AD平移40转化为右

平移4个单位，再向下平移4个单位，属于中考压轴题.

巩固训综

-___________________________

1.（3分）（2021•西藏10/27）将抛物线y=（x-1尸+2向左平移3个单位长度，再向下平移

4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）

A.y=X2—8A-+22B.y=X2—8JC+14C.y-X1+A-X+10D.y—X1+4x+2

2.（3分）（2021•呼和浩特10/24）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与无轴交

于两点（九0）,（〃,0）,且过4（0,6）,3（3,a）两点3,。是实数），若0＜根＜〃＜2,则曲的

取值范围是（）

41198149

A.0<ab<—B.0<ab<—C.0<ab<—D.0<ab<—

881616

3.（3分）（2021•包头20/26）已知抛物线y=f-2龙-3与x轴交于A,B两点（点A在点

3的左侧）与y轴交于点C,点£）（4,y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当

BE+DE的值最小时，/VICE的面积为.

4.（12分）（2021•呼和浩特24/24）已知抛物线y=。无？+依+>0）.

（1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称

轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴（填上方或下方），即4M-公

0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点4（占，%）,B（X2,%），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在

x轴下方，请你结合A、3两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论

的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设玉〈尤2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要

借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a>0,（a+c）（a+b+c）<0时，

（b-c）2>4a（a+t>+c）.

5.（13分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟26/26）如图，直线y=x+2与抛物线>=62+法+6（。/0）

相交于点A（g,｝和点3（4,〃?）.抛物线与x轴的交点分别为H、K（点”在点K的左

侧）.点尸在线段上运动（不与点A、3重合），过点歹作直线尸轴于点尸，交抛

物线于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接AC,是否存在点尸，使△刚C是直角三角形？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，说明理由；

（3）如图2,过点C作CEL至于点E,当△C。'的周长最大时，过点厂作任意直线/,

把△。所沿直线I翻折180。,翻折后点C的对应点记为点Q,求出当△CEB的周长最大时，

点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值.

6.（12分）（2021•通辽26/26）如图，抛物线y=办?+法+3交x轴于4（3,0）,3（—1,0）两点，

交y轴于点C,动点尸在抛物线的对称轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及APBC的周长；

（3）若点。是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点。，使得以A,C,P,。为顶

点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理

7.（14分）（2021•赤峰25/26）如图，抛物线y=-x1+bx+c轴交于（-3,0）>2（1,0）两点，

与y轴交于点C,对称轴/与x轴交于点F,直线m//AC,点E是直线AC上方抛物线上一

动点，过点E作EHL%,垂足为交AC于点G,连接AE、EC、CH、AH.

（1）抛物线的解析式为;

（2）当四边形瓯石面积最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接即，点P是无轴上一动点，在抛物线上是否存在点。，使得

以尸、E、P、。为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q

的坐标；若不存在，说明理由.

8.（3分）（2021•陕西8/26）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应

值：

x…-2013•••

y…6-4-6-4

下列客选项中，正确的是（、

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当x>l时，y的值随x值的增大而增大

9.（4分）（2021•广东12/25）把抛物线y=2丁+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个

单位长度，得到的抛物线的解析式为.

10.（12分）（2021•云南23/23）已知抛物线y=-2/+bx+c经过点（0,-2）,当时，y

随x的增大而增大，当龙>-4时，y随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2f+bx+c与x

轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m二9二・

r+60r-1

（1）求6、c的值；

（2）求证：/_2/+1=60/；

（3）以下结论：m<l,m=l,m>l,你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论.

11.（10分）（2021•天津24/25）在平面直角坐标系中，。为原点，△OAB是等腰直角三角

7

形，ZOBA=90°,BO=BA,顶点A（4,0）,点5在第一象限，矩形OCDE的顶点口一^,

0）,点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限，射线DC经过点3.

（I）如图①，求点3的坐标；

（II）将矩形OCDE沿尤轴向右平移，得到矩形OCOE,点O,C,D,E的对应点分

别为O',c,D',E'.设OO'=t,矩形OC'OE与△043重叠部分的面积为S.

①如图②，当点£在兀轴正半轴上，且矩形OCZ7F与△OAB重叠部分为四边形时，DE

与08相交于点尸，试用含有f的式子表示S,并直接写出f的取值范围；

C(O,-1),顶点为D.

(I)当。=1时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当。>0时，点E(O,l+a),若DE=2垃DC,求该抛物线的解析式；

(III)当a<-1时，点/(0,1-々)，过点C作直线/平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，

N(m+3,-l)是直线/上的动点.当。为何值时，+的最小值为2丁正，并求此时点M,

N的坐标.

13.(10分)(2021•上海24/25)已知抛物线>=尔+。(。工0)经过点尸(3,0)、2(1,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点A在直线尸。上，过点A作轴于点6,以钻为斜边在其左侧作等腰直角

三角形ABC.

①当。与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C在抛物线上，求C的坐标.

5-

4-•

3-

2-

1.

III________I1111A

-3-2-1C12345x

-I-

14.（12分）（2021•新疆23/23）已知抛物线y=<^-2"+3（a/0）.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）把抛物线沿y轴向下平移31al个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求。的值；

（3）设点P（a，X）,。（2,%）在抛物线上，若%>%，求。的取值范围.

15.（6分）（2021•北京26/28）在平面直角坐标系xOy中，点（A,m）和点（3,n）在抛

物线>=依2+区（a>0）上.

（1）若加=3,”=15,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（-1,yi）,（2,>2），（4,>3）在该抛物线上.若比较yi,yi,J3

的大小，并说明理由.

16.（14分）（2021•福建25/25）已知抛物线y=办?+bx+c与x轴只有一个公共点.

（1）若抛物线过点P（0,l）,求a+6的最小值；

（2）已知点£（-2,1）,£（2,-1）,月（2,1）中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线/:>=履+1与抛物线交于M,N两点，点A在直线y=-l上，且4£4N=90。，

过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和/于点3,C.求证：△MA8与△M8C的面积

相等.

17.（10分）（2021•广东25/25）已知二次函数y=〃/+云+。的图象过点（-1,0）,且对任意

实数x,都有4x-12釉犬+6x+c2%2-8^+6.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与无轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点M是（1）中

二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边

形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

18.（13分）（2021•山西23/23）综合与探究

如图，抛物线y=；d+2x-6与x轴交于A,3两点（点A在点5的左侧），与y轴交于点

C,连接AC,BC.

（1）求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,3c的函数表达式.

（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作3c的平行线/,交线段AC于点

D.

①试探究：在直线/上是否存在点E,使得以点。，C,B,E为顶点的四边形为菱形，

若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点与直线AC交于点N.当5^=5。"时，请直

接写出DM的长.

19.(10分)(2021•吉林26/26)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=炉+bx+c的图

71

象经过点A(0,--)，点3(1,—).

44

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当-2别；2时，求二次函数>=/+云+。的最大值和最小值；

(3)点尸为此函数图象上任意一点，其横坐标为加，过点P作尸。〃冗轴，点Q的横坐标

为-2根+1.已知点尸与点。不重合，且线段尸。的长度随加的增大而减小.

①求机的取值范围；

②当PQ,,7时，直接写出线段PQ与二次函数y=f+6x+c(-2,x<g)的图象交点个数及对

应的加的取值范围.

20.(12分)(2021•西藏27/27)在平面直角坐标系中，抛物线y=+笈+c与彳轴交于人，

3两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,5).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图(甲).若点尸是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线3c的距离最大时，

求点P的坐标；

(3)图(乙)中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使

得以3,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

1.(3分)(2021•西藏10/27)将抛物线y=(x-+2向左平移3个单位长度，再向下平移

4个单位长度所得到的抛物线的解析式为()

A.y=X2—8x+22B.y=X2—8x+14C.y=x2+4x+10D.y=X2+4x+2

【考点】二次函数图象与几何变换

【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可.

【解答】解:将抛物线、=3-1)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：

y=(x-l+3)2+2,BPy=(x+2)2+2；

再向下平移4个单位为：y=(x+2)2+2-4,y=(x+2)2-2=x2+4x+2-

故选：D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此

题的关键.

2.(3分)(2021•呼和浩特10/24)已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交

于两点(肛0),(",0),且过A(0,6),8(3,a)两点S，。是实数)，若则成的

取值范围是()

41,198149

A.0<ctb<-B・0<ctb<—C.0<ab<—D.0<cib<—

881616

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与X轴的交点

【分析】方法1、由二次项系数为1的抛物线判断出抛物线的开口向上，开口大小一定，进

而判断出仍>0,再根据完全平方公式判断出。=6，且抛物线与X轴只有一个交点时，是必

3Q

的最大值的分界点，进而求出机=〃=心，进而求出a=6==，即可得出结论.

24

3939

方法2、先表不出》=〃附，a=(3—tn)(3—ri),进而得出ab=[—Qw—)2H—][—("—)2H—],

2424

再判断出0<-(加_；)20<_("_:)2+",即可得出结论.

244244

【解答】解法1：函数是一个二次项系数为1的二次函数，

，此函数的开口向上，开口大小一定，

抛物线与x轴交于两点(见0),(〃,0),且0<相<〃<2,

.,.<7>0,b>0,

:.ab>0,

(a-b)2=a2+b2-lab..0(a=b时取等号)，

即a2+ZA.ZR?(当4=6时取等号)，

.,.当a=6时，诏才有可能最大，

二次函数过4(0,6),3(3,0两点，

.•.点A,3关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x=L5,

抛物线与x轴交于两点⑴,0),5,0),S.0<m<n<2,

抛物线的顶点越接近尤轴，ab的值越大，

即当抛物线与无轴只有一个交点时，是成最大值的分界点，

3

当抛物线与无轴只有一个交点时，此时机=〃=一，

2

QQ

••・抛物线的解析式为y=(%-1)2=/一3%+；

24

,9

:.a=b=一,

4

八781

/.0<ab<—,

16

故选：C.

解法2：-二次函数的图象经过(0,份和(3,〃)两点，

b=mn,a=(3—m)(3—ri),

/.ab=mn(3—m)(3—ri)=(3m—m2)(3〃—n2)=[—(m—^-)2+'][一(〃—-1)2+1

0<m<n<3,

c/3、299c,3、299

0<-(m--y+-„-,0<-(n--y

244244

m<n,

•，*ab不能取——，

16

八81

/.0<mn<——,

16

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，完全平方的非负性，判断出a=b以及抛物线与

九轴只有一个交点时，他最大这个分界点是解本题的关键.

3.(3分)(2021•包头20/26)已知抛物线y=--2元-3与x轴交于A,B两点(点A在点

3的左侧)与y轴交于点C,点0(4,y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当

5E+OE的值最小时，/XACE的面积为4.

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；轴对称-

最短路线问题

【分析】解方程/-2%-3=0得4-1,0)，3(3,0),则抛物线的对称轴为直线x=l,再确定

C(0,-3),£)(4,5),连接位)交直线x=l于E,交y轴于R点，如图，利用两点之间线段最

短可判断此时庞+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线4)的解析式为y=x+l,

则尸(0,1),然后根据三角形面积公式计算.

【解答】解：当y=0时，X2-2X-3=0,解得占=-1,%=3,则4(一1,0)，3(3,0),

抛物线的对称轴为直线x=l,

当x=0时，>=/-2尤一3=—3,则CQ-3),

当x=4时,y=x2-2x-3=5,则0(4,5),

BE+DE=EA+DE=AD,

・•・此时BE+DE的值最小，

设直线AD的解析式为丁=丘+〃，

f-k-j-h—0[k—]

把A(TO),0(4,5)代入得，，，二，解得，,，

[4k+b=5[b=1

直线AD的解析式为y=x+\,

当x=l时，y=x+l=2,贝i」E(l,2),

当x=0时，y=x+l=l,则尸(0,1),

^AACE=^AACF+^AECF=—x4xl+—x4xl=4.

故答案为4.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=aY+bx+c(a,b,c是常数，

。w0)与无轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和

最短路径问题.

4.(12分)(2021•呼和浩特24/24)已知抛物线y=依?+履+〃(。＞0).

kA-nh-k2

(1)通过配方可以将其化成顶点式为y=a(尤+白族+丝产，根据该抛物线在对称

轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在云轴—(填上方或下方)，即4功-左2

0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；

(2)若抛物线上存在两点A(%,%),B(X2,%)，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在

x轴下方，请你结合A、5两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论

的正确性给以说明；(为了便于说明，不妨设为＜三且都不等于顶点的横坐标；另如果需要

借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图)

(3)利用二次函数(1)(2)结论，求证：当。＞0,(a+c)(a+6+c)＜0时，

(b-c)2＞4a(a+b+c).

【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象与系数的关系;二次函数的三种形式；

抛物线与x轴的交点

【分析】(1)先提公因式。，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；

(2)若设占＜%且不等于顶点横坐标则A,3两点位置可能有以下三种情况：①当A,3

都在对称轴左侧时，②当A,3都在对称轴右侧时，③当A,3在对称轴两侧时，根据二

次函数性质可得答案；

(3)令y=62+(6-c)尤+(q+b+c),根据点的特殊性得，y=ax2+(b-c)x+(a+b+c)

在两点(-l,2a+2c),(0,a+6+c)分别位于x轴两侧，然后根据(1)(2)可得答案.

【解答】解:(1)

y=ax2+kx+h=a(x2+—x)+//=a[x2+—x+(—)2—(--)2]+h=a(x+—)2——+h=a(x+—)2——

aa2a2a2a4a2a4a

，顶点式为：y=g+F)2+,当顶点在x轴下方时，即4a〃-公＜。(填大于或小