高中数学竞赛训练题

高中数学竞赛训练题

v—3

1.设全集l={(x,y)|x,y€R},集合M=〈(x,)，)」；=1,N={(x,y)|y*x+l},那么GMCGN等于

x-2

()

A.。B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+l)

2.函数/(x)=log|(x2-2x-3)的单调递增区间是()

2

A.(-OO,-1)B.(-oo,1)c.(1,+oo)D.(3,+co)

3.设全集是实数集，若人=仅|4140},B={X|IOA2-2=IOX},则AC看是()

A.{2}B.{-1}C.{x|x<2}D.。

4.集合A,B的并集AUB={j,a2,a2},当A力B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样

的(A,B)对的个数有()

A.8B.9C.26D.27

5.若非空集事A={x|2a+lwx<3a-5},B={x13«xw22},则能使AqAnB成立的所有Q的集合是

()

A.{a11<a<9}B.{a|6<a<9}C.{a|a<9}D.

xY

6,函数/(为二丁/一不()

1-22

A,是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数

C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数

7.设/(x)是一个函数，使得对所有整数x和y，都有f(x+y)=/(x)+/(y)+6xy+l和/(-x)=/(x)

贝1J/(3)=-------------------------------

8.如果在区间[1,2]上，函数/(x)=x2+px+q(p€[-4,-2])与g(x)=x+二在同一点取相同的最

x

小值,那么/(X)在该区间上的最大值是-----------------------

9.一次函数/(x)=ax+b的图象经过点(10,13),西x轴的交点为(p,0),与y轴的交点为(0,

q),金P是质数，q是正整数，则满足条件所有一次函数为.

10.已知/(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t2-3t-40<0,则t的值为.

H.设乂={1,2,1995),A是M的子集且满足条件：当x€A时，19x星A,是A中元素的个

数最多是.

12.已知/*)的定义在R上的函数，/⑴=1且对任意x€R都有/(x+5)>/(x)+5

/(x+l)</(x)+l若g(x)=/(x)+l-x,贝iJg(2002)=.

1,13

13.若函数/(幻=-2/+耳在区间[。，b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b],

14.设a€R,求函数/(x)=2a4—L在区间(0J上的最大值.

X

15.设函数/(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数0,有一个最大的正数/(a),使得在整个区

间[0,/(a)]上,不等式|/(x)|V5都成立.

问：。为何值时/(。)最大？求出这个最大的/(。).证明你的结论.

16.设xe[-1,1]时，恒有|ax2+bx+c|vl,求证：当x€[-l,1]时,WIcx2±bx+a|<2.

17.设y=/(x)是定义在区间[-1,1]上的函数，且满足条件：①/(—1)=/(1)=0；②对任意的u,

VG[-1,1],都有|/(w)-/(v)|<|u-v|.

(1)证明：对任意的x€[JH，都有x-14/(x)wl-x

(2)证明:对任意的u,v€[-l,l],都有I/⑺一/⑺I<1；

(3)在区间[11]上是否存在满足题设条件的奇函数y=/(x),使得

I/(M)-/(V)1<1〃-VI,当〃,ue[0,^],

若12

I/(M)-/(V)1=1M-Vl,^H,Ve[y,l].

存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

18.设An={l,2,n},证明或否定下列命题对所有正整数n》2,存在函数f:An-An和g:An

fA。，满足条件：

JWk))=g(g(k>=k,k=l,2,n,

g(f(k))=k+l,k=l,2,n-1.

19.A),A2,A30是集合{1,2,2003}的子集,且|AJ>660,i=l,2,30.证明:存在

i.j€{1,2,TO},i-j,使得14nAi>203.

20.函数/(x)对一切x>0有定义且取正值，又当a,b,c为三角形三边时，f(a),f(b),/(c)仍

可构成三角形的三边长.证明：存在正数A和B,使得对一切x>0,都有f(x)wAx+B.

21.若人是$={1,2,n}的一k元子集，171为正整数,满足条件2。-1)(。；+1),则存在S中的元

素L,…Jm,使得：

4={x+，jIxeA},j=l,…，m中任意两个的交集为空集.

22O数集M由2003个不同的实数组成，对于M中任何两个不同的元素a和b,数a?+匕痣都是有

理数。证明：对于数集M的任何一个数都是有理数。

23.称有限集S的所有元素的乘积为的“积数”。给定数集M=］；，g，…，*｝。求数集M的所有含

偶数个元素的子集的“积数”之和。

24.设集合S“=｛1,2,…,n｝。如果X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为的容量(规定空集的

容量为0)。如果X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集。

(1)。求证：鼠的奇子集与偶子集个数相等。

(2)。求证：当〃23时，鼠的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等。

(3)。当〃23时，求Sn的所有奇子集的容量之和。

25求y=(3x-1)J9——6x+5+1)+(2x—3)・(，4米―12x+13+1)的图像与x轴的交点坐标

26.设。>0"。)=竺上，讨论函数r冈在(0,8)上的单调性，最小值，最大值。

X

27.设二次函数/(x)=+/+。(a,6,ceK0)满足条件：

(1)当xeR时，fl/(x-4)=/(2-x),/(x)>0o

v-21

(2)当xe(0,2)时，/(x)V((-)2。

(3)在R上的最小值为0o

求最大的使得存在feR,只要xe［l,机］,就有

/(x+f)vx

28.设f为R+fR+的函数，对任意的正实数x"(3x)=3/(x),且/(x)=l—|x—2|,l《xw3求最

小的实数x,使得=f(2004).

+kx2+1

29.k是实数，=一，对任意三个实数a,b,c,存在一个以为f(a),f(b),f(c)三边长

x+x2+1

的三角形，求k的取值范围。

30.设N是非负整数集，/：NfN是一个函数，使得对任意〃eN,都有

(/(2n+l))2-(/(2n))2=6/(")+1/(2〃)>/(«)

问：于(N)中有多少个元素小于2003?

31.已知二次函数f(x)=炉+ox+b(a,b€R)

(1)»若方程/(x)=0无实根，求证：b>0.

(2).若方程/(x)=0有两实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：/(-a)=-(a2-l)

40

(3)。若耀/(x)=0有两个非整数实根，且这两实根都在相邻的两个整数之间，求证：存在整数k,

使得|/(左)K；成立。

(4)o若第/(x)=0有两个非整数实根，且这两实根在相邻的两个整数之间，请你探求当ab满足

什么条件时，一定存在整数k,使得成立。

32.设〃6N,〃sinl>5cosl+1,则n的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

33.M.N在RtZ\ABC的斜边AB上，凶”"那么M,N两点分别到两直角边的距离

MB4NB2

之和与△ABC的周长之比的最大可能值是()

.10+4后D10-473_16_21

5555

34.如果函数/(x)=sin"xsinnx+cos"cosnx-cos"2x,对任意xwR都使f(x)为常数，则正整

数n应为()

A.1B»3C。3或1D。不存在

35.关于x的方程2cos2(22A/)=。+石sin(22*f*)至少有一个解，则实数Q取值范围是

()

A.(-1,2)B.(-1,2)Co[-1,2]Do[-1,2]

21

36.设/(%)=冗-7a,(7=arcsin-,p=arctan,y=arccos(-^),6=j),那么

B./(a)可⑻>/(£)>J。)

C./(^)>/(«)>/(/?)>/(7)

37.锐角满足则。=$布。-〃)与匕=$皿。一$泣尸的大小关系是

A.a>bB.xbC.a=bD不确定

38.函数y=21^5亩“一()+20^110+()的定义域是,值域是.

39.函数y=arccot(2sin：l)的值域是___________.

sinx+3

40.函数/(x)的定义域是(-与,=),则g(x)=/(J°sx)的定义域是

332+sinx

a—2cosxJr

41.函数/(x)=--------;---------在(0,彳)上是增函数，则。的范围是_________1

3sinx2

2sinx-cos2x+3

42.三角式的范围是.

4sin2Jt+2

,皿sin3xsin3x+cos3xcos3x..

43.函数y=-----------------------------------+sin2x的值域是.

44.如果xe[0,9，求〉=cos2xsii?x的最大值。

45.已知a,，G(0,5),求y=(J^sina-3tan/7)2+(遥cosa-3cot/?)2的最小值。

46.设〃GN+,y=COS2"95由8与》=5山2"%052。的最大值。

47.R上的奇函数/(x)在[0,+8)上是递增的，且/(cos28—3)+/(4加一26cos8)>0恒成立，求

实数m的取值范围。

48.AABC的内角满足acos?A+沙sinA=1,acos2B+bsinB=1,acos2C+bsinC=l,试判定△

ABC的形状.

49.平面上四边形ABCD中，AB=A/3,AD=CD=BC=1,4ABD和4BCD的面积分别为S、T,求

S2+T2的最大值和最小值.

50.体积为V的圆锥体中，求侧面积的最小值.

一、c-兀——2cosxsinx

51.设0〈xv—,求证：-----<-----.

21+coxx

j[JI

52.已知x,y,ze(0,—),x+y+z=—,求tanxtanytanz的最大值.

22

+

53.a:eR(i=1,2,3,4),Z-------=1,求为。2a3a4的最小值・

，=i1+aI

lx+x2y=y,

54.求方程组,2)，+Vz=z，的实数解.

2Z+Z2X=X

55/4^ZtankO・tan(k+1)6(。*k7i,kGZ).

k=\

4q1

56.过锐角4ABC的重心G作AB、BC、AC的垂线，垂足为M、N、P.求证:------<s---------------0-

27V4

//°AABC,

57.P是aABC的内心，Rsr分别为aABC外接圆和内切圆半径.

求证：6r<PA+PB+PC<3R.

58.P是AABC的垂心，以BC、AC、AB为直径向外作三个半圆，分别与高AD、BE、CF延长线交

ADBECF

于G、H、L.求证:------------------------>71.

DGEHFL

59.P在AABC内，求证：acosA+bcosB+cosC<PA-sinA+PB-sinB+PC-sinC.

60.P在AABC内，AP、BP、CP与对边分别交于L、M、N.求证：

>q(6。=。,4。=/?,46=。.,54表示4人80的面积，R为其外接圆半径).

61.设%%,%,优eR+,仇+%+%+%="，求:

2222

(2sin4+(2sin02+—^~)(2sin&+(2sin。的

sin_sm"%'sw3ysnr2

最小值.

62.求证：sinn2x+(sinnx-cosnx)2Vl.

63.条锥V—ABC的三条棱VA、VB、VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为a、

B、y.求证：cosacos/?cosy(——\—i------—+―\—)》g.

cos-acos-pcosy

64.设a、b、c为AABC的三条边，awbwc,R和r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径.令

f=a+b-2R-2r,试用C的大小来判定f的符号.

65.给定a,41<a<2,内接于单位圆F的凸四边形ABCD适合下列条件：

(i)圆心在这凸四边形内部；

(ii)最大边长是。，最小边长是J4-a?.

过点A、B、C、D依次作圆「的4条切线LA、LB、LC、LD.已知LA与LB.LB与[、1与LDSLD

s.

与LA分别交于A'、C\O'.求面积之比V的最大值与最小值.

ABCD

n]

66.化简V---------------------------------------------------k7l,kGZ)

金cos(a+k/3)cos(a+(k+1)夕)

(x2+1)cos0-x(cos-5)+3._,八

67不等式--------------；——--------------->sin61-l对任何实数x均成立，求。的取值

X--x+i

范围.

68设x,y,zeR*,^x2+y2+z=1,试求+2xz的最大值。

69已知a+q+…+a=肛a之oa=1,2,…，“）求

2

sin24+sin2q+…+sin0n得最大值。

70、在AABC中，高AD=h,BC=a,AC=b,AB=c.若Q+h=b+c,求NBAC的取值范围。

71.已知数列｛凡｝满足3。向+%=4(n>l)且at=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式

|Sn-n-6|〈卷的最小整数n是

A.5B.6C.7D.8

72.设等差数列｛4｝满足3a8=5^3,且5>0,为其前n项之和，贝ij(n€N+)中最大的是

A.S10B.SuC.S2oD.S2i

73.等比数列｛a“｝中,q=1536,公比q=-g,用II口表示它的前n项之积，贝川n(n€N+)中最大

的是

A.II9B.II”C.II|2D.II13

74.已知数列｛x,J中满足Xn+i=Xn-Xn」(n>2).X]=CI,X2=b,记Sn=X|+X2+…+Xn，则下列结论正确的是

A.xloo=-a,S10o=2b-aB.x)00=-b,Sl00=2b-a

C.X|00=-b,S|oo-b-aD.X|(x)--o,Sioo-b-o

75.各项均为实数的等比数列｛%｝的前n项之和记为Sn,若%=10,S30=70,则%等于

A.150B.-200C.150或-200D.400或-50

+

76.给定公比为q(q*l,q€R)的等比数列｛a“｝,设b1=a)+a2+a3,b2=a4+asa6,…，

6=。3»2+。3的+。32…，则数列｛"｝

A.是等差数列B.是公比为q的等比数列

C.是公比为q3的等比数列D.既非等差数列又非等比数列

77.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3,且各项为972,则这样的数列共有

±-

.78.设数列ch,a?…，an,…满足5=。2=1,03=2,且对任意自然数n,都有a。••5+2-1,

又cin-an+1•an+2-an+3=an+an+1+an+2+an+3,贝ijJ+CI2+…+Joo的值是.

79.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多

有项.

80.等比数列a+log23,a+log43,。+唠83的公比是.

81.设正数a。，a,,a2,•••,an,…满足My飞*k=2a*n22),且/=。尸1,则数列

｛«„｝的通项公式是1

82.设Sn=l+2+3+…+n,nWN+,则/(〃)=——葭——的最大值是________.

(〃+32)S,,+1

83.求数列｛%｝:1,3,8,20,43,81,…的一个通项表达式.

84.设数列⑸｝满足为+尸a：—+n=l,2,3,

(1)当5=2时，求a?，。3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式；

(2)当ai>3时，证明对所有的n,l,有

(i)Qn>n+2;

(ii)---------1----------1-…-l-----------K-.

1+%1+a21+%2

85.数列｛x,J由下列条件确定：X|=a>0,xn+l=^(x„+—),n€N+.

2x.

(1)证明：对nm2,总有x“

(2)证明：对n>2,总有X“NX“M；

(3)若数列｛x,J的极限存在，且大于零，求limx“的值.

/J—XX)

86.已知｛““｝是由负整数组成的数列，满足5=0,c>2=3,an+)-an=(an.1+2)(an.2+2),n=3,4,5,---.

(1)求。3；

(2)证明5=%.2+2,n=3,4,5,•••;

(3)求｛%｝的通项公式及其前n项和阻

87.在1与2之间插入n个正数q,a2,an)使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入

n个正数3,b2,•••,bn,使这n+2个数成等差数列.记An=ae2a3…5,Bn=bI+b2+---+bn.

(1)求数列｛A,J和｛纥｝的通项;

(2)当n>7时，比较A”与又的大小，并证明你的结论.

88.(1)设｛%｝是集合｛2，+2s|0ws<t,且s,t£Z｝中所有的数从小到大排列成的数列，即5=3,

a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,。6=12….将数列｛%｝各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右的三

角形数表：

(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

(ii)求。⑼；

(2)设也｝是集合｛2'+2s+2[0<r<s<t,且r,s,t€z｝中所有的数从小到大排列成的数列.已知

bk=l160,求k.

89、已知数列｛册｝是由正数组成的等差数列，m,n,k为自然数，求证：

(1)若m+k=2n,贝|」与+与2~4;

%4a,1

°、11112n-l,、

(2)—4Y-1------12-----12->2-z(〃〉])，

a\a2a2n-20221T

90.在数列｛a,J中，a,=10,且。卅二2疯，求

91.在数列｛%｝中，01=1,02=2,且5+2=75+1-125,求明

92.数列｛4｝满足。产1,且为+|=」〃-+?""(〃eN+),求a。.

5an+n+n

4〃一23

93.在数列｛%｝中，5=1,且————-,求ai

6〃+32〃+1

2

94.已知数列｛%｝满足。尸1,an+1+an=-n,求

xX

95.数列｛*中，X|=3,X2=2.,瑞=:"一2I(n>3),求4.

2x“_2-龙”T

96.已知数列｛%｝,｛2｝中，ci|=p,b1=q,且

a

\%"-P"„Ti(n>2,p>r>0)

b“=qa“_i+rb,i.

(1)求6;

b

(2)求lim:".

a—1___

97.在数列｛a.｝和｛%｝中，5=6=10,且<“Ta；b“'(n=l,2,­•­),求5，bn.

A.+i=«,X-

98.已知dpi,nan+l=(n+2)an+n,求

99.数列｛2｝满足：a1=l,an+1=an+—,n€N+,求。必的整数部分.

a

n

n

100.3个数列，｛a,,｝,｛2｝,｛%｝存在下列关系：5=1,6=(,bn=an+,-an,cn=bn+l-bn=3-'-np

(n=1,2,3,…)，这里p为正常数.

(1)求备；

(2)证明：若酬>0,必有Ce>0；

(3)若数列｛a｝的最小项为求p的取值范围.

101.两个数列｛4｝,｛a｝满足a】=2,b,=l,

a,=5a„+3b“+7

<cc(n=l,2,3,-)试求通项％和bn.

也,+1=3牝+5〃,.

102.数列｛4｝,也J满足0<j<6,-=—+,2bn+)=an+bn(n=l,2,3,-),证明下

a“+ia”2b“2

列命题:

(1)Q2Vb2vbI；

(2)对任何正整数n,有b/de；

(3)对任意整数n>2,有bn<6.

aa

103.已知g=l,02=5,an+1="'^=t求数列｛%｝的通项公式.

收+硝+1

104.HeN*,4=0,x>0,i=1,2,…，八.且=1.求证:

1=1

<,T兀

14，_V—

J1+4+%+•••+%“/%,.+…+%”2

22

105、给定正整数n和正数M,对于满足条件<M的所有等差数列生

试求S=an+l+an+2+••-+a2n+｝的最大值

106、N个正数排成n行n列：

"11"[3,"[4,

。21，°22，〃23，"24，'',，〃2"

〃32'〃33'。34，,''，°3ft

aa

n\，见2，。"3»。"4•>"'■>„n

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比，并且所有公比相等，已知

,13

生4=1，。42=§，见3=—，求+a22+…+见〃

107、设a,b为正数，求证：、份+1>而成立的充要条件是对任意的x>l有ax+」〉A

x-i

108.设实数x,,X2满足证明：对任意实数y,,丫2均有(XM+x2y2-1)2>

（X：+/-1）（y；+y；-1）.

109.设X],x2,X3€R+且x；+%；+%；=1,求证：“互+"2+；~~、>.

1—X：1—^21—X]2

110.设x,y,z€R,且x?+y2+z2=2,求证：x+y+z<xyz+2.

…「斤「c+、丁（〃+1）33+1）3（c+l）381

111.已知。，b,c>0,求证：-------1--------------1------------》—.

hca4

112.设0<°<b&c&d&e,且Q+b+c+d+e=l,求证：ad+dc+cd+be+ea<

bc

113.设ci,d>0,b,c>0,且b+c>a+d,求：---+-----的最小值.

c+da+b

2

114.设ai>a2>--->an>0(n>3),且a：+---+«^>n,al+a2+---+an=3n,求证a1+a2+a3>n.

115.设为>0(i=l,2,n),且，>；+2Z求之七的最大值与最小值.

/=1\<k<j<nVJi=l

116.求最大的正实数a,使—>a对一切实数x,y,z均成立.

7r+z2V%2+?而2+-

117.设N+是正整数集，R是实数集，S是满足以下两个条件的函数f：N+-R的集合.

(1)/⑴=2

n

(2)/(n+1)>/(«)>--/(2n)(n=l,2,.•■)试求最小的正整数M,使得对任何f€S

n+1

及任何n€N+,都有/(〃)<〃.

设求证：,并确定等号成

118.a1，a2,a3>0,a)+a2+a3+3^Jata2a3>2(y]ata2+

立的条件.

119、设5=｛1,2,3,•••,〃｝,A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加$

的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数(两项也看作等差数列).

120、数列｛2｝定义如下：%=1,=—(1+4/+Jl+24a“),求它的通项公式

16

。1=7。+6b—3

121、设数列｛〃“｝和｛〃｝满足4=1,仇=0,且，"°"/(〃^""证明：/

也用=8&+7"一4

是完全平方数。

122、设数列｛。“｝定义如下:

11/八n

一］)/.试求

%=0,%=1,an=-nan_}+-n(n-l)an_2+(-1)"(123

的最简表达式。

f„=+2ca,1+3C：aa_2_*----(n—1)C"'a2+nC：4

、设％对一切自然数有求所有被整除

123=1,a=3,nan+2=(〃+3)Q,,+1-(n+2)a“，n

的风的值。

,、,a1,

124、设数列｛见｝定义如下：%=1,«,+|=-7+--，证明：对〃>1,均为自然数。

24an

125、设数歹ij｛。“｝满足4=2,an=—匕一；一(〃>1),求应。

区I+1

126、已知数列｛。“｝分别满足下列条件，求它的通项公式

⑴、q=0,%=4,an+2=2an+i-2an

⑵、％=0,%=2,。m=2a2+。的一2见

(3)、%=1,%=2,4=&a2=6%+2T2%+8Q.

(4)、%=2,%=l,a3=-13,an+i=7an+2-16tz;i+1+12%

127、已知数列｛““｝分别满足下列条件，求它的通项公式

+

⑴.at=a2=l,an+2=2ai+i-a,+2",nGN

2

(2)4=1,。1=-。"+：

%-4

(3).%=1,G“=—nan_x+n\

/八3a2+4

(4).”|=—,a="

2n+l2a,,+3

,1

128、一次竞赛在n轮中共发了m枚奖章.第一轮发了1枚及余下的山一1枚的二，第二轮发了2枚

7

1

及余下的一，…，直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？共发了多少枚

7

奖章。

129、把一个圆分成n个不同的扇形(n>l)，依次记为与，…,Sn，每个扇形都可以用红、蓝、白三种

颜色中的任意一种颜色涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂法？

130、设为常数，且见=3"T-eN+)

(1)、证明：对任意的〃N1,有

牝=1(3"-(-2)")+(-1)"・2〃&

(2)、假设对任意n》l有，求40的取值范围

13K设｛““｝为等差数列，｛〃,｝为等比数列，且a="：,包=见‘也=。；(为<生)，又

(2+b,+…+〃,)=拒+2,试求｛Q,J的公差与首项.

n—>+oo

132、设演.>0（4=1,2,3「一，〃），求证：£跖+

k-\k-l

4

133、设4，见，见，。4满足Z"：=1,求证：Z（4+?）'<6

i=\WJ44

134、Q>0,西，了2,•…，ZG[0,t/]（H>2）使

・

XiX2--Xn=（。一不）2（。一％2）2…（。一％.）2，试确定乘积X112•••%”的最大值

135、设〃和左是给定的正整数（左〈〃），已知正实数%,。2,•••，氏，试确定正实数

乐+1，4+2,・・,，见使得和式s=2^—最小•

i^jCl.

136、已知aNZ?NcN0,xNyNzN0,求证：

^++>2

(by+cz)(bz+cy)(ox+cz)(az+ex)(ax+by)(ay+bx)4

137、已知生(i=1,2,3,…)是正数，对任意“21有之％NJi,证明：

2"+雪1+-!

1423n

138、a",CR+,且4〃，求证：

i-l,=1

n11

n(-+-)>(H+ir

a,b：

139、xt>x2>Xy>x4>2,x2+x3+x4>X,,求证：

44

(£王)‘“4立%,

i=lj=l

〃〃-1

140、x,eR(i=2)且Z%：+2%E+I=1,对每一个固定的％(1<女<九),

/=1,=1

求kJ的最大值.

141、已知：2%,=1,七>0,（i=1,2,…，〃）证明：

/=1

n11n1_1

22（一-1尸2（〃-1）2（-—1）2

;=1七,=|£

142、设为正整数，实数AX?,…,x_满足,<x2<-<xn.

证明：（££|x,-xj）242（n-Xj）2等号成立当且仅当

i=lj=I3i=lj=l

X1,X2,…,X”成等差数列

143、设a=（a],a2,…,an）和b=（b「b2,…,b"）是两个不成比例的实数序列，又设

x=(x”X2,…,x”)是使£ajXj=0,才设］=1,成立的任一实数序列，求证：

i=li=l

nAnn_n

-xj2AR-左其中A=ta；,B=Jb/,C=Yjaibi

i=lAB-Ci=ii=li=l

144、对于满足条件=1的非负实数X1,X2,…,xn,求f（Xj4—X；）的最大值。

i=lj=l

145、设a1>a2>--->an>an+l=0,求证：Jjak4力人（向一

Vk=lk=l

146、已知0=X[<X2〈•••<X2n<X2n+i=L且Xi+1-Xj<h（lwi〈n）求证：

1-h/b.，、...、/+h

、-/,X2i（X2i+l-X2i）4

Li=lZ

147.一个棱长为2的正方体S由8个单位正方体组成，我们称S去掉一个单位正方体后的部分为一

个"角体”，T是一个由（2">个单位正方体组成的棱长为2n的正方体。证明：随意去掉T的一个单位

正方体，余下的部分必要用“角体”拼成.

148.设n为正整数，夕为实数，证明：2cosn0可以表示为（2cos。）的首项系数为1的n次整

系数多项式的形式

149.设P（X|,x2,xn）是一个有n个变元的多项式，我们用+1或-1代替P中所有的变元，若

其中-1的个数为偶数，则P的值为正；若其中-1的个数为奇数，则P的值为负.证明：P为一个至少n

次的多项式（即P中存在一项，其所在变元的次数和不小于n）.

150.n个复数Zk满足|zM<1,k=12…，n.证明：存在e^,e2,•••,e06{-1,1},使得对任意me

{1.2,-,n},均有|I42.

k=\

151.设neN,n>2,在一个(2。-1)x(2-1)的方格表的每个方格内填入+1或-1.如果任意一个方

格内所填的数都等于与它的公共边的那些方格中所填数的乘积，那么称这种填写方法是“成功”的，

求“成功”填法的总数.

152.设n€N',q,a2,备为正实数.证明：

153.设x,y是实数，使得x+y,x2+y2,x3+y3,x，+y4都是整数.证明：对任意正整数n,数x%yn均

为整数.

154.设。为无理数，n为大于1的整数，证明：

_____」_____2

(a+7a2-l)"—])"为无理数.

aa.+1,-

155.设5=1,。2=2,CU尸二^——,n=2,3,….证明：对任意正整数n>3,均有

%

156.证明：对任意正整数n,均有工-----口<)=.

242ny/3n

、«]+4_+44+，一+6!~”〃+]

157.设a>0,证明：对任意neN,均有--------------1――>------.

。+/+…+产1〃

158.设m,neW,记Sm(n)=f[A2ML证明:$,“(〃)vn+皿收=I).其中冈表示不超过x的最

k=l

大整数.

159.设n,k为正整数，现有nk件物口和k个盒子，每个盒子恰好能放下n件物品.已知：每件物品

被染上了某k种颜色中的一种.证明：这些物品可以放到盒子中，使得每个盒子中至多有两种颜色的物

品.

160.设S为一个2002元集合，N为满足04NV22。02的整数.证明：可以将S的子集进行黑白染色，

使得

(1)任意两个白子集的并集仍然是白子集；

(2)任意两个黑子集的并集仍然是黑子集；

(3)恰有N个白子集.

161.在某个罐里有黑、白两种颜色的球各一个，我们另外还有50个白球和50个黑球，下面进行50

次操作：随机地取出一个球，然后放入罐中两个与取出的球同色的球称为一次操作，最后在罐中有52

个球.问：罐中最有可能有几个白球？

162.证明：对任意正奇数都可以找到一个正整数，使得他们的乘积在十进制表示下，各数码均为奇

数.

163.数列{4}定义如下：5=l,am=an」+a.，n=23….证明：此数列中有无穷多项是7的倍数.

164.正整数n和实数/满足：cos^=-,求所有的整数k,使得cosZ9为整数.

n

165.给定正整数n,问：平面上最少要适当地选取多少个不同的点？才能具有如下性质：对任意k

€{1,2，…，n},平面上总存在一条直线，它恰好通过所取的点听k个点.

166.设集合A1,A,是正整数集N'的一个r-分划(BPAUAU-UA=N，,且对任意lvi<j