新教材人教A版高中数学选择性必修第一册训练：圆 分层练习题含答案解析

6圆

基础过关练................................................................1

能力提升练...............................................................4

培优拔尖练...............................................................8

基础过关练

1..已知圆C过点A(-2,0),8(0,4),圆心在x轴上，则圆C的方程为C)

A.(x+l)2+(y-2)2=5B.(x-l)2+y2=9

C.(x-3)2+y2=25D.x2+y2=16

【答案】C

【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.

【详解】设圆的标准方程为(x-a)2+,=/，

将4-2,0),3(0,4)坐标代入得：](：+“)=，，

/+16=/

(〃二3

解得22故圆的方程为(x-3)2+y2=25,

[r~=25

2.已知A(-后0),8(6,0),C(0,3),则ABC外接圆的方程为()

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【答案】D

【分析】求得0ABe外接圆的方程即可进行选择.

【详解】设ABC外接圆的方程为(无-4+仃-犷”

-a)2+(0-Z?)2=r2a=0

则有，(6-4)2+(0-6)丁/，解之得,6=1

(0-a)2+(3-6『=/[r=2

则.ABC外接圆的方程为无2+⑶一1)2=4

3.在平面直角坐标系中，已知三点A(T2),6(3,2),ck-|L则,ABC的内切圆的方程

为()

A.(x-l)2+(y-6)2=4B.(x-l)2+(y-l)2=4

C.(1)2+(y-6)2=1D.(尤_iy+(y_l)2=]

【答案】D

【分析】结合题意设出圆心，再利用圆心到直线AC与到直线A8的距离相等列出一个等式,

即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.

【详解】易知一ABC是等腰三角形，且体。=忸。，.•.圆心£＞在直线》=1上，设圆心

易得直线AC的方程为4x+3y—2=。，直线A8的方程为y=2,贝I]

2-6=笔”?，解得6=1,则内切圆的半径为厂=2-1=1，，所求圆的方程为

"+3?

(x-l)2+(y-l)2-l.

4.已知点A(1,2)在圆C：f+产+皿-2y+2=0外，则实数机的取值范围为()

A.(-3,-2)1(2,+w)B.(-3,-2)u(3,+w)

C.(-2,+功D.(-3,-H»)

【答案】A

【分析】由炉+y2+"吠-2,+2=0表示圆可得+(_2)2_4x2＞0,点A(1,2)在圆C外

nTWl2+22+m-2x2+2＞0,求解即可

【详解】由题意，尤2+J+/Mx-2y+2=。表示圆

故+(-2)2-4x2＞0,即帆＞2或机＜-2

点A(1,2)在圆C：—+V+"久丫-2'+2=0夕卜

故F+22+MI-2X2+2＞0，BPm＞-3

故实数m的取值范围为机＞2或-3＜机＜-2

即修4―3,-2)(2,^o)

5.已知直线丫=履(左＞0)与圆C:(尤-2y+(y-l)2=4相交于48两点|AB|=26，则k=()

A.-B.-C.1D.—

53212

【答案】B

【分析】圆心C(2,l)到直线、=丘(左＞0)的距离为d,则4=号",而

d=卜搂：=5^=1，所以解方程即可求出答案.

【详解】圆C:(x—2y+(y—l)2=4的圆心C(2,l),r=2

所以圆心C(2,l)到直线y=kx(k>0)的距离为d,则d=亍寸,

而d=Jr2=，4-3=1,所以1=A[=)解得：4=t

6.已知圆C：(x+l)2+y2=r2(r>0),直线/：3x+4y-2=0.若圆C上恰有三个点到直线的

距离为1,贝卜的值为()

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【解析】圆C的圆心为(-1,0)到直线/的距离为1,由圆C上恰有三个点到直线/的距离为1,

得到圆心为(-1,0)到直线/的距离为d=：,由此求出厂的值.

【详解】圆c的圆心为(-i,o)，则圆心c到直线/的距离d==L

又圆C上恰有三个点到直线/的距离为1.

所以圆心为(TO)到直线/的距离为d=(,即1=^=1。所以厂=2故选：A

7.若直线x-y+a=0与圆/=4相交于A,B两点，且ZAO8=120。(0为坐标原点)，则

同=()

A.1B.72C.2D.272

【答案】B

【分析】先由余弦定理求出|4用=2百，即可得出圆心到直线的距离，即可求得答案.

【详解】圆d+V=4的圆心为(0,0),半径为2,

则在中，由余弦定理可得|A砰=22+22—2x2x2x—g=12,叫4a=26，

,\a\

所以圆心到直线的距离为商一(司=1,则岩即时=0.

二1,

8.已知圆C]:无2+9—4x—2y—5=0,圆C2:+2x—2y—14=0,则两圆的位置关系是

()

A.相离B.相交C.内含D,相切

【答案】B

【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.

-22

【详解】由题设，G：(X—2)+(y—I)=10,C2-(x+1)+(y—I)=16,

AC,(2,1),半径『痴;C2(-l,l),半径<=4；

，5-彳<|℃|=3<4+2，即两圆相交.

9.两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的公共弦所在直线的方程为()

A.x+2y-6=0B.x-3y+5=0C.x-2y+6=0D.x+3y-8=0

【答案】c

【分析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.

【详解】两圆方程相减得2x-4y+12=0,即x-2y+6=o

则公共弦所在直线的方程为x-2y+6=0

能力提升练

1.某圆经过A(0，10)，8(6,10)两点，圆心在直线2x-y=l上，则该圆的标准方程为()

22

A.(x+3)2+(y+5『=34B.(x-3)+(y+5)=34

C.(x+3)2+(y-5)2=34D.(x-3)2+(y-5)2=34

【答案】D

【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在AB的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求

出半径即可得解.

【详解】因为圆经过A(0，10b5(6,10)两点,

所以圆心在中垂线尤=等=3上，

fx=3/-----------.——

联立2x-=］解得圆心35)，所以圆的半径R=j32+(5-10)2=用,

故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5>=34,

2.若不同的四点45,0),8(-1,0),C(-3,3),O(a,3)共圆，则。的值为()

A.1B.3C.-2D.7

【答案】D

【分析】设圆的方程为/+丁+瓜+份+/=0(。2+召2-4/>0),解方程组

’25+50+尸=0

<l-D+F=0即得解.

9+9-3D+3E+F=0

【详解】解：设圆的方程为炉+y+.+或+尸=0(/)2+52—4尸>0),分别代入A,B,C

。=—4

25+5。+/=0

25

三点坐标，得1—。+/=0解得=-彳，所以A,B,C三点确定的圆的方程

9+9—3O+3E+尸=0

F=-5

x2+y2-4x-y-5=0.

因为3）也在此圆上，所以/+9—4a-25-5=0,所以/—4〃—21=0,

解得4=7或。=一3（舍去）.故选：D.

3.直线与无轴、y轴分别相交于点A、B,。为坐标原点，则的内切圆的方程

为.

【答案】d）2+（y-l）2=l

【分析】由圆与坐标轴相切（圆心在在第一象限），设、。的内切圆的圆心为“（加J"）,则

半径为I刈.由圆心到切线的距离等于半径求得加，从而得圆方程.

【详解】由题意设OAB的内切圆的圆心为“（几7找），则半径为1ml.

直线/的方程可化为-T2=。,

13m+4m-121

由题意可得=1mI,解得m=1或机=6（不符合题意，舍去）.

A/32+42

，.Q4B内切圆的方程为（x-l）2+（y-l）2=l.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2=l.

4.点卜in30°,cos30°）与圆/+的位置关系是（）.

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定

【答案】C

【分析】先求圆心与己知点之间距离，再与半径比较确定选项.

、2

［详解】因为Jsin230°+cos230°=6=1＞《,所以点在圆外.

2J

5.已知圆C：（x+l）2+（y-2）2=16,直线/过点尸（2,3）与圆C交于A,8两点，若点P为线段

A3的中点，则直线/的方程为（）

A.%+3,-11=0B.3x+y-9=0

C.%—3y+7=0D.3x-y—3=0

【答案】B

【分析】由题知CPLAB,进而得益B=-3,再求直线的方程即可.

3—71

【详解】解：由已知得C（—l,2）,所以%，二缶二：.

因为P（2,3）为弦A3的中点，所以CPJ_AB,所以勾B=-3,

所以，直线/的方程为y-3=-3（x-2）,即3x+y-9=0.

6.若圆f+y2=r2（r>0）上恰有相异两点到直线4A-3y+25=0的距离等于1,则「不可能取

值（）

911

A.—B.5C.—D.6

22

【答案】D

【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1,即可

满足题意，求出r的范围.

|25|

【详解】•••圆心。（。,。）到直线4x-3y+25=0的距离［="+㈠丫，

圆/+9=/（r>0）上恰有相异两点到直线4%-3y+25=0的距离等于1,

A\d-r\<l,gp|5-r|<l,Are（4,6）.则r不可能取值为6.故选：D.

7.己知。是坐标原点，直线+=。与圆C：尤2+丁+4>=。相交于两点，若

ZAOB=45，则加的值为（）

A.-4或4B.T或0C.。或4D.T或2

【答案】B

【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可知C4_LCB,然后可得圆心到直线的距

离，根据点到直线的距离公式列方程可解.

【详解】由V+y2+4y=o,得d+（y+2）2=4,则圆心为C（0,-2）,半径为2,

易知。在圆上，因为ZAOB=45。,

所以NACB=90。，得。

则圆心C到直线尤-y+，〃=。的距离4=代由45。=2*更=0,

2

即舁苧

即m=0或相=T.

V2

8.设r>0,则两圆(x-1)~+(y+3)~=广与尤2+y~=16的位置关系不可能是()

A.相切B.相交C.内切和内含D.外切和外离

【答案】D

【分析】求出两圆的圆心和半径，计算圆心距与半径比较即可求解.

【详解】圆Y+>2=16的圆心为(0,0),半径为4；

圆(x-1)2+(y+3)2=/的圆心为(1,-3),半径为r.

两圆心之间的距离为VIZ?=Jid,

又因为M<4,所以两圆不可能外切和外离.

9.当0<"8时，两圆/+/=9与(x—3y+(y-4>=/的位置关系为()

A.相交B,相切C.相交或相切D.相交、相切或相离

【答案】D

【分析】圆心距为d=73?+4?=5,讨论厂=8时，2<厂<8时，r=2时，0<r<2时四种情

况，分别计算得到答案.

【详解】两圆x2+y2=9与(x-3)2+(y-4)2=/的圆心距为1=正寿=5,4=3.

当r=8时，d=r-rt,两圆内切；

当2<r<8时，>一H<d<r+q,两圆相交;

当r=2时，d=r+rx,两圆外切；

当0<r<2时，d>r+rx,两圆外离；

10.己知圆C：x2+y2-4=。与圆+/-4》+4〉-12=。相交于4,8两点，则两圆的公共

弦|明=

A.20B.3亚C.y[iD.2

【答案】A

【分析】两圆方程相减得AB所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由C1的半

径，利用勾股定理及垂径定理即可求出1^1.

【详解】圆C]：x2+V-4=0与圆C2：x2+y2-4x+4y-12=0相减得AB所在的直线方程：

X—y+2=0.

,圆G:+丁2—4=0的圆心G（0,0）,丫=2,

»0-0+2l

・•・圆心(0,0)到直线AB：x-y+2=0的距离d==夜,

Vl2+12

则|AB|=24-d?=2,4-2=2母.故选A

培优拔尖练

1.过点A(-6,2),8(2,-2)且圆心在直线尤-、+1=0上的圆的方程是()

A.0-3)2+(尸2)2=25B.(x+3)2+(y+2)2=25

C.(x-3)2+(y-2>=5口.(x+3)2+(y+2)2=5

【答案】B

【分析】由题设得AB的中垂线方程为>=2(x+2),其与x-y+l=。交点即为所求圆心，并

应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可.

-2-21

【详解】由题设，的中点坐标为(-2,0),且“=彳^?=二，

2—(—0)2

A8的中垂线方程为y=2(尤+2),联立x-y+l=0,

可得I；二二；’即圆心为(一3,—2),而r=优2_(-3)]2+[_2-(-2).=5,

圆的方程是(x+3)2+(y+2)2=25.

2.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：己知点A、8是NMQV的

ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，ZACB最大？问题的答案是：

当且仅当，ABC的外接圆与边相切于点C时，ZACB最大.人们称这一命题为米勒定理.已

知点尸、Q的坐标分别是(2,0),(4,0),R是y轴正半轴上的一动点，当NPRQ最大时，

点R的纵坐标为()

A.1B.72C.2>/2D.2

【答案】C

【分析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出PQR的外接圆方程，然后在求解点

R的纵坐标.

【详解】因为点尸、。的坐标分别是(2,0),(4,0)是x轴正半轴上的两个定点，点R是y

轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当aPQR的外接圆与y轴相切时，ZPRQ最大，由垂径

定理可知，弦尸Q的垂直平分线必经过.PQR的外接圆圆心，所以弦PQ的中点为(3,0),故

弦PQ中点的横坐标即为的外接圆半径,即r=3,由垂径定理可得，圆心坐标为卜，20)，

故.PQR的外接圆的方程为(尤-3)2+(y-2g'『=9,所以点R的纵坐标为(0,272).

3.直线4：3x+4y-12=。分别交坐标轴于A,8两点，。为坐标原点，三角形0A8的内切圆上

有动点P,则根=归。「+|上4『+|即2的最小值为()

A.16B.18C.20D.22

【答案】B

【分析】由题意，求出内切圆的半径和圆心坐标，设p(x,y),则m=|PO「+E「+pg「

=3+(y-l)2+y,由卜-：；+(尸1)2表示内切圆上的动点尸到定点件”的距

离的平方，从而即可求解最小值.

【详解】解：因为直线4：3x+4y-12=。分别交坐标轴于42两点，

所以设4(4,0),3(0,3),则阀=2,

因为S“B=；(3+4+5)r=gx3x4,所以三角形OA8的内切圆半径r=1,内切圆圆心为(1,1),

所以内切圆的方程为(Al)2+(y-1);1,

设p(x,y),贝!|加=|尸+|PA|2+|PB|2=d+y?+(X—4)2+y2+尤2+(尸3)2

=3卜-力+(y-行+三，

因为卜-g12+(y-1J表示内切圆上的动点到定点gj的距离的平方，且弓，1)在内切圆

内，

所以+(yT)2一g)=1，

所以3(x-g)+(y-l)2+曰23><[+曰=18,,即加=|尸0「+陷2+|尸8「的最小值为18,

4.直线与圆尤2+/=/相离，则P(“,b)与圆尤2+/=户的位置关系是点在圆

.(填“外喊"上”或“内”)

【答案】内

【分析】先求得。血厂的关系式，由此判断出点P与圆1+产=产的位置关系.

【详解】圆V+y2=产的圆心为（0,0）,半径为小

由于直线ax+by=/与圆x?+y2=/相离，

户I------

所以I---=＞「,，＞、/+/,

yla2+b2

所以。2+/＜/，

所以pg力）与圆/+/=r的位置关系是点在圆内.

5.已知直线＞=左0-石）与圆。:/+;/=4交于两点，且Q4LO3,贝必=（）

A.y/2B.士也C.1D.±1

【答案】B

【分析】由题知直线丫=4。-6）过定点（6,0）,且在圆。工+产=4内，进而结合题意将

问题转化为圆心0（0,0）到直线y=k（x-y/3）的距离为〃=V2，再根据点到直线的距离公式求

解即可.

【详解】解：因为直线丁=%（工-6）,

所以，直线y—后过定点（"0）,且在圆O:Y+y2=4内，

因为直线y=-x-6）与圆O:d+y2=4交于A,B两点，且Q4_LOB,

所以，圆心。（0,0）到直线y=Q-石）的距离为d=®,

所以，1=后=^^,即/=2,即人=±拒.

V1+F

6.已知圆C：/+9=4上恰有两个点到直线/：》-'+m=。的距离都等于1,则实数机的取

值范围是（）

A.[-3夜,-应）（夜,3行]B.3A/2,—^2J|^A/2,3A/2）

C.[-3A/2,-A/2][V2,3A/2]D.卜3夜,一夜）（夜,3夜）

【答案】D

【分析】先判断圆心到直线的距离de。,3）,再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范

围.

【详解】圆C：/+＞2=4的圆心是（?（0,0）,半径厂=2,而圆C：Y+y2=4上恰有两个点

到直线/：x-y+根=。的距离都等于1,所以圆心C（0,0）到直线/：尤-y+根=。的距离

|0-0+m||m|

d«l,3）,即6?=6（1,3）,解得-30〈根＜-血或&'〈根＜3A/L

010

7.（2023•全国•高二专题练习）若圆M:（尤-cos6）~+（y-sin〃）~=1（0V。＜2万）与圆

":一+丁_2了_4〉=0交于4、8两点，贝ljtan/AA®的最大值为()

【答案】D

【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1,|AB|<2,

当”的坐标为(1,0)时，AB=2,cosZANB=---------------=-------->-

v7112NA-NB105

34

由余弦函数的单调性确定cosNANB=g时，ZANB最大,此时tan/AA①最大，最大值为

【详解】炉+丁-2》-4、=0可化为(%-1)2+(>-2)2=5,

故圆N的圆心为(1,2),半径为君,

由题意可知：为圆M'与圆N的公共弦，且圆M的半径为1,

所以|AB|W2且|AB|V2石，故陷42,当以的坐标为(1,0)时,\AB\=2,

在^3中，C…=3町又,小,小y=8SX在

-7T

xe0,-上单调递减，

3(7171A

故NAA名为锐角，且当COSN4VB=M时，N/WB最大，又y=tan尤在尤十5句上单调递增，

4

所以当Z/WB最大时，tanZAA田取得最大值，且最大值为］,故选：D

8.若抛物线》=尤2+依+。与坐标轴分别交于三个不同的点人、B、C,贝!J,ABC的外接圆恒

过的定点坐标为

【答案】(0,1)

【分析】设抛物线〉=y+办+6交，轴于点3(0,3，交x轴于点4(%,0)、C(x2,0),根据题

意设圆心为尸，■!，］,求出，=等，写出圆尸的方程，可得出关于x、y的方程组，即可得

出圆尸所过定点的坐标.

【详解】设抛物线y=/+办+6交y轴于点3(0力)，交x轴于点4(%,0)、C(x2,0),

由题意可知由韦达定理可得%+%=-。，

所以，线段AC的中点为卜会oj,设圆心为“g’,

由四2=\PBf可得、+微j+产=：+(一『，解得”、+&一.

+axx+b=O,则/=_.一.="1,则/一6=^^,

-2b2