高中数学公式2

高中数学常用公式结论

1元素与集合的关系:xeZoxeCb.A,xeCVA=xeZ.00A<^>A^0

2集合｛4,…的子集个数共有2"个；真子集有2〃-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2”-2个.

3二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式/(X)=ax?+Zzx+w0);

(2)顶点式/(幻=。(X一。)2+左(4H0)；(当已知抛物线的顶点坐标(九左)时，设为此式)

(3)零点式/(x)=a(x—$)(x—々)9/0)；(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x,,0),(x2,0)时，

设为此式)

2

(4)切线式：/(x)=a(x-x0)+(Ax+d),(a0)»(当已知抛物线与直线y=Ax+4相切且切点的

横坐标为飞时，设为此式)

4真值表：同真且真，同假或假

5常见结论的否定形式;

充要条件：(1)、p=q,则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

(2)、p=q,且q半>p,则P是q的充分不必要条件；

(3)、pW>p,且一gnp,则P是q的必要不充分条件；

4、p片>p,且qr>p,则P是q的既不充分又不必要条件。

7函数单调性：

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。

(2)、数学符号表述是：设f(x)在x^D上有定义，若对任意的和4e0，且X</,都有

/(须)</(々)成立，则就叫f(x)在x《D上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

(2)、数学符号表述是：设f(x)在x€D上有定义，若对任意的斗&€。，且内<乂2,都有

/(斗)>/(》2)成立，则就叫f(X)在x《D上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数：(2)、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

单调性

内层函数1tt1

外层函数1tJt

复合函数tt11

等价关系:

(1)设X],X2€[。,可,再工工2那么

(再一》2)[/(%)-=/(：)](、2)〉0=/(X)在除”上是增函数；

(X]-/)"a)-/(x2)]<0o⑺<00/(X)在b]上是减函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)〉0,则/(x)为增函数；如果/'(x)<0,贝Uf(x)

为减函数.

8函数的奇偶性：(注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称)

奇函数：

定义：在前提条件下，若有/'(—x)=-/(x)或/'(-》)+/(x)=0,

则f(x)就是奇函数。

性质：(1)、奇函数的图象关于原点对称；

(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

(3)、定义在R上的奇函数，有f(0)=0.

偶函数：

定义：在前提条件下，若有/(-X)=/(x),则f(x)就是偶函数。

性质：(1)、偶函数的图象关于y轴对称；

(2)、偶函数在x>0和x〈0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数•偶函数=奇函数；(2)、奇函数•奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数•偶函数=偶函数；(4)、奇函数土奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)

(5)、偶函数士偶函数=偶函数；(6)、奇函数土偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

9函数的周期性：

定义：对函数f(x),若存在TWO,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数，其中，T是f(x)

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T；

(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为2何—可；

⑶、/(x+w)=------,此时周期为2mo

/(x)

11对于函数歹=/(x)(xe/?),/(x+a)=/S-x)恒成立，则函数/(x)的对称轴是,丫=巴|^；两个

函数卜=/(》+4)与、=f(b-X)的图象关于直线》=一对称.

12分数指数幕与根式的性质：

(1)a"=yjam(Q>0,加,〃£N*,且〃>1).

-"11

(2)an=——=—j=(a>0,m,neN*,且〃〉1).

an

(3)曲)K=a.

(4)当〃为奇数时，^=a；当〃为偶数时，VF=ioi=r,6f-°.

—a,a<0

13指数式与对数式的互化式：log“N=bu>ah=N(a>0,a丰1,N>.

指数性质:

⑴1、a”二；

(2)、a°=l(a#0)；⑶、*=gmy

(4)、"="+'(a〉0",se。)；(5)、a：=4a"'

指数函数：

(1)、_y="(“>l)在定义域内是单调递增函数;

(2)、y="(()<“<1)在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质：

M

⑴、logflA/+logfl^=logfl(MZV)；(2)、logaM-logoN=loga—:

N

n

n

(3)、log„h'logab；(4)、logb"=一•iogab；⑸、log“l=0

"m

⑹、bg“a=l；⑺、

对数函数：

(1)、y=log“x(“>l)在定义域内是单调递增函数；

(2)、y=log,x(0<q<l)在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点工巫

⑶、log”X>00XW(0』)或。,XG(1,4-00)

(4)、logoX<0<=><7G(0,l)Mx€(1,4-00)或aG(l,4-oo)plljxG(0,1)

logN

14对数的换底公式：log“N=--—(。〉0,且。。1,加〉0,且/%。1,N〉0).

I%。

对数恒等式：/*N=N(Q>0,且QWl,N>0).

n

推论logMb"=—log。/?(a>0,且"1,N>0).

"m

15对数的四则运算法则:若a>0,aWLM>0,N>0,则

⑴log”(MTV)=log“M+logaN;(2)log”==loguM-log.N;

N

(3)logM"=n\ogM｛n€R);(4)logN"=—logN(n,m&R).

aa"tn(,

16平均增长率的问题(负增长时p<0)：

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有y=N(l+p)’.

17等差数列：

通项公式：(1)a“=q+(〃一l)d,其中.为首项，d为公差，n为项数，a“为末项。

(2)推广：an=ak+(n-k)d

(3)a,=S“-S,i(〃N2)(注：该公式对任意数列都适用)

前n项和：(1).=〃(%广)；其中卬为首项，n为项数，%为末项。

(2)Sn=na[+——-——d

(3)S〃=S〃_1+/522)(注：该公式对任意数列都适用)

(4)5〃=6+生+~+可(注：该公式对任意数列都适用)

常用性质：(1)、若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq；

注：若金是。〃,4,的等差中项，贝才有2%=。〃+〃p=n、m、p成等差。

(2)、若｛q｝、也｝为等差数列，贝lJ｛4±b〃｝为等差数列。

(3)、｛%｝为等差数列，S“为其前n项和，则鼠,52,,-5„,53„1-52”,也成等差数列。

(4)、4=%%=p,则%=0；

/、〃(勿+1)

(5)1+2+3+--+n=------

2

等比数列:

通项公式：（1）4=a0i=4..g"（〃€N*）,其中q为首项，n为项数，q为公比。

q

nk

（2）推广:an=ak-q-

（3）a“=S“-S“T（〃》2）（注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）S“=S,i+a“（"N2）（注：该公式对任意数列都适用）

(2)Sn=q+a2+•••+%（注：该公式对任意数列都适用）

na}（4=i）

⑶S“=<q(l-q")

（#i）

.i-q

常用性质：（1）、若m+n=p+q,则有am-an=ap-aq；

注：若a,“是。的等比中项，则有aj=an-apm、p成等比。

（2）、若｛%｝、也｝为等比数列，则｛/也｝为等比数列。

18分期付款(按揭贷款)：每次还款x=幺蛆土”■元(贷款“元，〃次还清，每期利率为6).

(1+Z))-1

19三角不等式：

JI

(1)若x£(0,—),则sinx<x<tanx.

2

(2)若x£(0,—),贝!]1<sinx+cosx<V2.

2

(3)IsinxI+1cosxl>1.

qinf)

20同角三角函数的基本关系式：sin2^+cos2^=l,tan"=^H,

cos6

21正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

22和角与差角公式

sin(a±1)=sinacos〃±cosasin0;cos(a±/3)=cosacosfi+sinasin/3;

/,tana±tan/?

tan(6z±J3)=---------.

1+tan<7tan(3

asina-^bcosa-\cr+b2sin(a+0)

L

(辅助角°所在象限由点(a,b)的象限决定，tan—).

a

23二倍角公式及降慕公式

.02tana

sin2a=sinacosa=--------.

1+tan~a

cos2a=cos2a-sin?a=2cos26z-l=l-2sin2a=--°.

1+tan-a

c2tanasin2a1-cos2a

tan2a=--------.tana=--------=---------

l-tan^a1+cos2asin2a

.21-cos2a1+cos2a

sin-a=--------,cos2a=---------

22

24三角函数的周期公式

函数y=sin(0x+0),x£R及函数y=COS(GX+0),x£R(A,3,0为常数，且AWO)的周期

2TT77TT

T=——；函数v=tan(«yx+e),xwA7+—,%eZ(A,3,9为常数，且AWO)的周期T=——.

\co\2\co\

三角函数的图像：

25正弦定理：'一=—2—=^—=2R(R为A48C外接圆的半径).

sinAsinBsinC

=a=27?sin46=2火sin8,c=27?sinC=a:b:c=sin/:sin8:sinC

26余弦定理：

a1=b2+c~-2bccosA;b2=c2+a~-2cacosB•,c1=a~+b~-2abcosC.

27面积定理：

(1)5=—ah=-bh=-ch(h>%、4分别表示a、b、c边上的高).

22h2c

(2)S=-oAsinC=—Z)csinA--easinB.

222

河kW.\

2sAa+b~c^m\

「内切圆―a+6+c，/角△内切圆一2/

28三角形内角和定理：/

在AABC中，有4+8+。=7=。=万一(3+3)/

<=>—=——'+'<=>2C=27—2(A+8).

222

29实数与向量的积的运算律:设入、口为实数，那么：

(1)结合律：A,(pa)=(Xu)a;

(2)第一分配律：(入+口)a=Xa+ixa-,

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

301与B的数量积(或内积)：a•b=\a\\bIcos^o

31平面向量的坐标运算：

⑴设3=(%,必)，b=(x2,y2),贝U1+6=(须+x2,y}+y2).

(2)设G=(XQ1),b=(x2,y2),贝|JG-B=(X|-》2,乂一必).

(3)设A(X1,乂)，BQ2,%),则/8=。8-。/=0：2-%1，%-乂)・

(4)设方=(x,y),4e7?,贝！J4(=(4x,>ly).

⑸设5=。1，乂)，石=(》2，丁2)，则万，6=(x1x2+y1y2).

32两向量的夹角公式：

cos，=------=,——'=^=~/(a=(X],y),b=(x,j/)).

㈤.川府齐忠瓦22

33平面两点间的距离公式:

2

dAB=\AB1=\lAB-AB=yl(x2-xy)+(y2-yty(A(%,乂)，B(々,％)).

34向量的平行与垂直：设)=(%,%),B=(/,%),且贝！1：

a\\boh=Xa=x一々,=。.(交叉相乘差为零)

a.Lb(5。0)=5•B=0=x/2+必必=0.(对应相乘和为零)

35线段的定比分公式：设勺(』,必)，£(乙,%)，P(xj)是线段的分点，丸是实数，且辟=几理，

x-----————..,■•

贝1+2o―=°"+'°巴

yjl+俣]+'

J-1+2

―­——•1

=OP=，Oq+(lT)OE(1=——).

1+4

36三角形的重心坐标公式：^ABC三个顶点的坐标分别为A(X1，%)、B(x2(y2),C(X3,丫3),则aABC

的重心的坐标是G(土士达,巴上&±&).

33

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设。为A4BC所在平面上一点，角48,。所对边长分别为6,c,则

---2----------2

(1)。为ZV48C的外心oOT=。6-=。。二

(2)。为A48C的重心o方+砺+反=6.

(3)。为A48C的垂心o厉•砺=砺灰=双区.

(4)。为A48C的内心=。刀+力砺+。反=6.

(5)。为A4BC的NN的旁心="5=6砺+c瓦.

38常用不等式：

(1)。力eH=/+〃22而(当且仅当a=b时取"=”号).

(2)a,b^R'^>^->4ah(当且仅当a=b时取“=”号).

2

(3)(73+/?3+c3>3ahc(a>0,Z>>0,c>0).

(4)\a\-\h\<\a+b\<\a\+|/?|.

(5).<4Zb<"<\叵口(当且仅当a=b时取“=”号)。

a+b2y2

39极值定理：已知xj都是正数，则有

(1)若积xy是定值P，则当x=y时和x+y有最小值24；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积中有最大值一

(3)已知4力,工/£火+,若QX+勿=1则有

—+—=(ax+勿)(」+!)=。+6+"+竺2o+b+2\[ab=(八+4b)2。

xyxyxy

(4)已知a/,xjeR+,若@+2=1则有

xy

x+y-(x+y)(—4)=a+h+—+—>a+b+2\fab-+V^)2

xyxy

40一元二次不等式ax?+bx+c>0（或<O）（QwO,A=〃-4QC>0）,如果Q与ax?+bx+c同号，则

其解集在两根之外；如果。与办2+反+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异

号两根之间.即：

X1<x<x2<=>（X-X1）（X-X2）<0（芯<x2）；

X<Xj,或X>x2<=>（x-X））（x-x2）>0（玉<x2）.

41含有绝对值的不等式：当a>0时:有

|x|<<7<=>X2<<72<=>-a<X<67.

\x\>aox2>a2ox>ax<-a.

42斜率公式：

左=及二匕（勺即乂）、E（x,,%））.

x2-X]

43直线的五种方程：

（1）点斜式y-yx=k（x-xt）（直线/过点片（玉,凹），且斜率为左）.

（2）斜截式y=Ax+6（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式）（乂-%）（q（X|,乂）、P,（x2,y2）（玉。々，乂*»2））.

%一%工2-斗

两点式的推广：（&一%）（丁一乂）—（%-%）0-玉）=0（无任何限制条件！）

（4）截距式：+91（久b分别为直线的横、纵截距，"0、6力0）

（5）一般式/x+By+C=0（其中A、B不同时为0）.

直线4r+W+C=0的法向量：=方向向量：I=(B,-A)

44夹角公式：

k一卜

2

(l)tanad\.(/,:y=k}x^h],l2:y=k2x+b2,kk?y：-l)

1+k2kl

(2)tana=14^~

l.(/]：4x+4y+G=0,/2:A2x+B2y+C2=0,AtA2+B1B20)•

442+B]B)

直线4，/,时，直线6与/2的夹角是

2

454到右的角公式：

k一k

2

(l)tanof='.(/；:y=k]X+bi,l2：y=k2x+b2,k}k2w—l)

LIK2K।

A21

(2)tana=}.(/,-.A}x+B}y+Cy=0,/2:J,x+5,y+C,=0,44+8产，#0).

44+B[B?

IT

直线/1_L/2时，直线4到，2的角是

46点到直线的距离："=四左组^（点尸（占））0），直线/：Nx+坊+C=0）.

y/A2+B2

47圆的四种方程：

（1）圆的标准方程（X—+（歹—6）2=产.

（2）圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

一,,,x=a+rcos0

（3）圆的参数方程.八.

y=h+rsin0

（4）圆的直径式方程（x-XlXx-w）+3-册）（_y-y2）=0（圆的直径的端点是的，M）、演工,必））・

48点与圆的位置关系：点P（x0,%）与圆（X-a）2+（y-6尸=/的位置关系有三种：

2

若d=y]（a-x0）+（b-yoy,则”>厂=点P在圆外；

d=r=点尸在圆上；〃〈广一点^在圆内.

49直线与圆的位置关系：直线4c+W+C=0与圆（x—a）2+O—b）2=/的位置关系有三种

\Aa+Bb+C\

（d）：

/A2+BT

d>ro相图=A<0;d=ro相切=A=0;d<尸=相交=△>（）.

50两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为0“02,半径分别为n,r2,\OtO2\=d,贝！J：

d>r]+r2o外离u>4条公切线；

d=八+々=外切o3条公切线；

,一々|<"<八+々o相交o2条公切线；内含坪j相交夕中]相离

d=h-61=内切=1条公切线；9---------------#-------------»----------------o

0<d<卜1-引O内含O无公切线.O'"-d—►r^r^d—►r1+r2-^—d—（

51椭圆《+之1（。>6〉0）的参数方程是I""。、".离心率e=£=1一与，

a~b~[y=/?sin6ava

2f2

准线到中心的距离为L,焦点到对应准线的距离（焦准距）p=—.

CC

b2

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2

52椭圆二+4=1（。>>0）焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积：

ab-

々2a2/舟pF

J

\PF]|=e（x+—）=Q+ex,\PF21=e（----x）=a-ex；S4叱,二cI1=/tan------。

53椭圆的的内外部：

X2V2X2V2

（1）点尸（玉）,戈）在椭圆—+—V=1（Q>b>0）的内部——7+—T<1.

aoab

（2）点Pg,比）在椭圆5+2=l（a>b>0）的外部o存+乌>1.

ab~ab~

54椭圆的切线方程：

22

（1）椭圆0+与=l（a>b>0）上一点Pa。,%）处的切线方程是笔+警=L

aoao

22

（2）过椭圆*+,=1外一点PQo/o）所引两条切线的切点弦方程是竽+爷=1.

22

（3）椭圆=+4=1（“>6〉0）与直线/x+8y+C=0相切的条件是/2夕2+82/=。2.

ab~

22Ir22

55双曲线0-与=1（。〉01〉0）的离心率？=£=[1+与，准线到中心的距离为土，焦点到对应

Q~QVC

L2J2

准线的距离（焦准距）〃=幺。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2—.

焦半径公式|尸片|Te(x+—)1=1a+exI,|P周=1e(———x)1=1a-exI,

两焦半径与焦距构成三角形的面积=/cot刍”。

a[，，2O

56双曲线的方程与渐近线方程的关系：

2222

(1)若双曲线方程为J—4=1n渐近线方程：=一占=0=y=±-x.

a'bab'a

(2)若渐近线方程为>=±±#=0=双曲线可设为\一《=九.

aabah

(3)若双曲线与《-匚=1有公共渐近线，可设为=-口=九

ab~ab~

(X>0,焦点在x轴上，A,<0,焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是6。

57双曲线的切线方程：

(1)双曲线5—E=l(a>0,6>0)上一点2(飞,先)处的切线方程是邛—誓=1.

abab

⑵过双曲线二-2=1外一点P(Xo/o)所引两条切线的切点弦方程是誓-誓=1.

ab~ao

(3)双曲线=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2

CTb2

58抛物线歹2=2px的焦半径公式:

抛物线V=2px(p>0)焦半径|C/|=Xo+£.

XJ

过焦点弦长f=+-^-+X2+]■=*+X?+p.

A4c—力2

59二次函数7=办2+区+C=Q(X+—)2+-------(4。0)的图象是抛物线：

2a4a

(1)顶点坐标为(一2,4。。一/广)；(2)焦点的坐标为(一2_.4。。一"+1)；

2a4a2a4a

4ac—b~—1

(3)准线方程是芦=4；.

22

60直线与圆锥曲线相交的弦长公式\AB\=7UI-X2)+(^-^2)

22

或[4同=](1+%2)[(工2+占)2-4工2・xj=1x,-x21V1+tana=1yx-y2\Jl+cota

v=kx+b,

(弦端点A(X|,y1),B(X2，%)，由方程<消去y得到赤-+bx+c=0

F(x,y)=0

△>0,a为直线N3的倾斜角，左为直线的斜率，l%—X2l=J(x+X2)2—4人马.

61证明直线与平面的平行的思考途径：

(1)转化为直线与平面无公共点：

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径：

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63证明平面与平面的垂直的思考途径：

<1)转化为判断二面角是直二面角；

(2)转化为线面垂直；

(3)转化为两平面的法向量平行。

64向量的直角坐标运算：

设万力=(4，力2,4)贝！J：

(1)G+3=(%+6],%+人2，。3+4)；

(2)a—b=(a,-b],a2-b2,a3-bj)；

(3)入石=(1q,2(入GR);

(4)a,b=aM+a2b2+a3b3；

65夹角公式：

设石=(q,a2M3)，b=(bx,b2,b^),则cos<5,B>=—j=%+仆/=.

66异面直线间的距离：

ICD-~n\-

d=上"4是两异面直线，其公垂向量为〃，。、。是4,4上任一点，d为间的距离).

I«1

67点8到平面a的距离：

I方面-

d=---(〃为平面a的法向量，Aea,N8是。的一条斜线段).

InI

4,、

68球的半径是R,则其体积V=—兀K,其表面积S=4万火2.

3

69球的组合体：

(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为"a

12

(正四面体高理。的,)，外接球的半径为—a(正四面体高巫。的乡).

34434

70分类计数原理(加法原理)："=町+/+-+%•

分步计数原理(乘法原理)：N=町x%x・•・x%.

71排列数公式：4：二〃(〃一1)…(〃一m+1)=-------——.(n,mGN*,且加W〃).规定0!=1.

(n-/%)!

72组合数公式：C：=4L〃(〃T)…(〃—掰+1)=——--(〃GN*,msN,且加4〃).

A：lx2x・・・x加加！•(〃一/%)!

组合数的两个性质：(1)。广=。；加；(2)C：+C：T=C；:规定C：=l.

73二项式定理(a+b)〃=C；a”+2b2+...+c；a”T9+・・・+C：b〃;

二项展开式的通项公式心=C>〃—%(尸=0,1,2・・・，〃).

/(x)=(ax+by1=%+々]%+42、2+…+4x〃的展开式的系数关系：

=5，/

。0+。1+。2■1------/(I)%-4+。2------------F(-1)<7H=/(-I)；%=/(0)。

74互斥事件A,B分别发生的概率的和：P(A+B)=P(A)+P(B).

n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1+A2+…+A/=P(A。+P(A2)+-+P(An).

75独立事件A,B同时发生的概率：P(A«B)=P(A)«P(B).

n个独立事件同时发生的概率：P(A「A2........An)=P(A。♦P(A2).........P(An).

76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：P”(k)=C：pkQ_pyi.

77数学期望：E^=x]Pl+x2P2+---+xnPn+---

数学期望的性质

(1)E(a^+b)=aE^)+b.(2)若口〜R(〃,p),则=q?.

(3)若&服从几何分布,且P(&=k)=g(k,p)=qk-'p,则='.

P

78方差:q=制-转)2.乩+(口-超)2e+…+(x,-超)2.p〃+…

标准差：殆=房.

方差的性质：

⑴。(喈+3=/£若；

(2)若J〜8(〃,p),则。J=

(3)若J服从几何分布，且PC=k)=g(A:,p)=q"Tp,贝=

P'

方差与期望的关系：Dy=E^_(E".

1(~)2

79正态分布密度函数:G(一8,+8),

式中的实数。(。>0)是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

对于N(〃,4),取值小于x的概率：/(力=中|与，

P(X]<xo<x2)=P(X<X2)-P(X<X1)

80/(x)在/处的导数(或变化率):

=lim包=lim/d+—).

八%)=4&

-Ar&T0Ax

口过…田正，/、v及[•sQ+A1)-sQ)

瞬时速度：u=s(/)=hm一=lim-----------------.

A/->0△/A/->0Z

瞬时加速度：.=M⑺=lim包=lim做‘+△’1".

A/->0△/A/D加

81函数y=/(x)在点/处的导数的几何意义：

函数y=/(x)在点/处的导数是曲线y=/(x)在P(Xo，/(x。))处的切线的斜率/'(/)，相应的切

线方程是y-%=/'(X。)(x-x()).

82几种常见函数的导数：

(1)C'=0(C为常数).(2)(X")'=nxn-'(neQ).(3)(sinx)z=cosx.

(4)(cosx)'=-sinx.(5)(Inx)*=—；(log"x)'='log“e.

xx

(6)(e*)'=e*;(优)'="Ina.

83导数的运算法则：

，.，.u•uv—uv八

(1)(w±v)-u±v.(2)(wv)=uv+uv.(3)(—)=----；——(v，0).

vv

84判别/(%)是极大(小)值的方法：

当函数/(x)在点/处连续时，

(D如果在与附近的左侧右侧/'(x)<0,则/(%)是极大值;

(2)如果在与附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,则/(%)是极小值.

85复数的相等：a+bi=c+diQa=c,b=d.(a,b,c,deR)

86复数z=a+6z'的模(或绝对值)Iz\=\a+bi\=yla2+b2.

87复平面上的两点间的距离公式：

22

d=\zx-z21=yj(x2-Xj)+(y2-yx)(z,=x,+^z,z2=x2+y2i).

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程Q/+公+c=0,

-b±y/b2-4ac

①若△=/-4ac>0,则占2

2a

②若b=b?-4ac=0,贝(J%]=x,=-;

2a

③若A=/-4ac<0,它在实数集火内没有实数根；在复数集。内有且仅有两个共扼复数根

高中数学公式提升

一、集合、简易逻辑、函数

1.研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定，互异，无序)；已知集合A={x,xy,Igxy},集合

B={0,|x|,y},且A=B,则x+y=

2.研究集合，首先必须弄清代表元素，才能理解集合的意义。已知集合M={yIy=x2,xGR},N={yI

y=x?+l,xWR},求MDN；与集合M={(x,y)Iy=x2,xER},N={(x,y)Iy=x、l,xGR}求MCN的区别。

3.集合A、B,/C6=0时，你是否注意到“极端”情况：4=0或8=0；求集合的子集ZcB

时是否忘记0.例如：(。一2卜2+2(。一2卜一1<0对一切xeR恒成立，求a的取植范围，你讨

论了a=2的情况了吗？

4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2",2"-1,

2"-1,2"-2.如满足条件{1}u{1,2,3,4)的集合版共有多少个

5.解集合问题的基本工具是韦恩图；某文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的•项，其

中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目，问有

多少种不同的选法？

6.两集合之间的关系。A/={』x="+L左eZ}W=Nx=4:±L左eZ)

7.(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)(GA)U(QB)=G(AAB)；4nB=B=>B04；

8、可以判断真假的语句叫做命题.

逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

P、q形式的复合命题的真值表：(真且真，