扬州中学2020-2021学年高三数学考前复习训练 (含答案)

扬州中学高三数学考前复习训练试卷

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位

置上)

1.已知集合A={x|x<—1或%>()},5={-2,-1,1},则

2.已知复数z满足z(l-i)=2+i,则它的虚部是上.

3.命题“IxeRX+x+lwO”的否定是▲.

4.已知aeR,方程/x?+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是上_.

5.已知函数/(x)=<Q1'"2°,则/(bg2；)=A

/(x+2),x<0

2x-y<0

6.如果实数X，y满足线性约束条件.x—3y+520,则2=彳+丁一2的最小值等于上.

7.已知sin1/a卜那么sin(2a+?)=A

8.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，它的一个顶点与抛物线V=4x的焦点重合,

则该双曲线的标准方程为▲.

9.已知函数f(x)=sin(69X+—)(xG/?,69>0)的最小正周期为不，将丁=/(x)的图象向左平

4

移9(少>0)个单位长度，所得函数y=g(x)为偶函数时，则。的最小值是▲.

10.在菱形ABC。中，AB^2y/3,ZB=—,BC=3BE,DA=3DF,^\EFAC^k.

3

11.已知正实数MV满足(x+4)(y+l)=9,则孙的最大值等于▲.

12.定义min｛。,。｝=«“'"一,已知函数f(x)=ex-—,

b,a>bm

g(x)=(x-l)(mx+2m2-m-V)，若/z(x)=min｛/(x),g(x)卜恰好有3个零点，则实数，"

的取值范围是▲.

13.在AABC中，a,》,c分别为角ABC所对边的长，S为AABC的面积.若不等式

kS<3b2+3c2-a2恒成立，则实数k的最大值为上.

ax-\,x<0>

14.已知函数/(x).的图象恰好经过三个象限，则实数a的取

j^-ax+\x-2|,x>0

值范围是▲.

二、解答题：(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

15.(本小题满分14分)

已知向量方=(1,@石=(一2,0).

(1)求a-各的坐标以及a-B与£之间的夹角;

(2)当£耳-1』时，求-国的取值范围.

16.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=2v3sinxcosx+2cos2x-\.

(1)求函数y=/(x)的单调减区间;

(2)在A43C中，角A,8,C的对边分别为a,6,c.已知(3a-c)cosB=8cosC,

C

2,求cosA的值.

17.(本小题满分14分)

如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABC。，AB//CD,ABLBC,43=3百

米，CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修一条直道。尸(宽度忽略不计),

点尸在道路4c上(异于A,。两点)，ZBAC=-,"PA=6.

6

(1)用。表示直道。P的长度；

(2)计划在△ADP区域内种植观赏植物，在△COP区域内种植经济作物.已知种

植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，

D.C

A"---------------------------'B

《第17题)

新建道路。尸的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值.

18.(本小题满分16分)

22

已知椭圆C:1r+｝一Ka〉。〉。)的两个焦点分别为6(-71。)，g(©0),点

M(1,O)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点M(l,0)的直线/与椭圆C相交于A,B两点，设点N(3,2),记直线AN,BN

的斜率分别为《，区,求证：仁+e为定值.

19.(本小题满分16分)

函数/(x)+g(x)和/(x)-g(x)同时在X=，处取得极小值，则称/(X)和g(x)为一对

“P⑺函数”.

(1)试判断f(x)=x与g(x)=x2+以+力是否是一对“P⑴函数”；

(2)若/(x)=，与8。)=/+以+1是一对“尸⑴函数”,求。和，的值；

20.(本小题满分16分)

设函数f(x)=asinx-xcosx,xe[0，W].

(I)当4=1时，求证：f(x)2O：

(II)如果f(x)NO恒成立，求实数。的最小值.

第二部分(加试部分)

(总分40分，加试时间30分钟)

21.(A)［选修4-2:矩阵与变换］(本小题满分10分)

已知矩阵A=1°,3=।

若直线/依次经过变换TA,TB后得到直线/,：

02jL°1

2x+y-2=0t求直线/的方程.

（B）［选修4-4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

已知曲线C1的极坐标方程为夕=2sin6.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直

1

x--t

角坐标系，直线/的参数方程为,2。为参数）.

广乌+2

I2

（1）求曲线。的直角坐标方程和直线/的普通方程；

（2）求直线/被曲线C所截得的弦长.

22.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PAJ_底面ABCD,AB=1,PA=2,

E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=/lPC.

p

F

E

AB

DC

（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值;

(2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时2的值.

23.(本小题满分10分)

已知数列｛”“｝满足=—!—+―-—+•••+—(«e/V*).

〃+1n+22n

(1)求A，/，%的值；

(2)对任意正整数〃，%小数点后第一位数字是多少？请说明理由.

参考答案

一、填空题

2

1.2.3.VxeR,x2+x+l>0；4.(-1,-4)；5.—

216

5

6.-3；7.8.9.7110.-12

9I.

473.

11.1;12.J)；13.14.。<0或。>2

【详解】在AA3C中，面积公式5=,庆^114,余弦定理£+/一

13.cr=2bccosA，

2

代入k543/?2+3。2—/,

./4/?2+4c2+4/7ccosA

有kx-besinA<2b2+2c2+2bccosA，即Hrlk<-------------------恒成“,

2besinA

4LLI4。2+4c2+AbecosA日［/古日口-

求出--------------------的最小值即可，而

besinA

4b2+4c24-4〃ccosA〉8bc+4/?ccosAX+4cosA

,当且仅当人=。取等号,

hesinAZ?csinAsinA

X+4cosA

令丁=----------,得：ysinA=8+4cosA,即ysinA-4cosA=8,

sinA

■Jy-+16(―,*=sinA—,=cosA)—8令

即

COS°=M=,S2T^

7/T167/716)

.______./人、8

得："y2+16sin(A—0)=8,即sin(A—e)=十脂

8八，

所以0<彳下两边平方，得：64</+16,

4b2+4c2+4bccosA

解得：、2回=46，即的最小值为46，所以，左44>万

besinA

故答案为：4石

【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式求最小值，辅助角公

式的化简，也考查了计算能力，属于中档题.

14.

（一8,0）U（2,+8）.解析：G）当avo

时,》=这—1,工40的图象经过二、三两个象

限,y=工3—az4-|x—2|>0在<0,+8）上恒

成立，所以图象仅在第一象限，所以a<0时显

然满足题意；

（ii）当々>0时,一1,工《0的图象仅经

过第三象限，由题意1y=/-a》+|工一2|,x>

0的图象需经过第一、二象限.

方法一：、=13+|工一2|与y=a±在y轴右侧

的图象有公共点（且不相切）,如图，可先求出

临界直线的斜率为2,所以a>2时,符合.

综上,aVO或a>2.

二、解答题:

15.(1)<i-6=(l.73)-(-2,0)=(3,x/3),所以的坐标为0,6)。

设与［之间的夹角为心

卜一即43义1+后#)7T

则cos0=而owes",故。=一。

归-胴-V9+3xViT3V6

(2)va-/6=(l,>/3)-/(-2,0)=(l+2/.>/3),

在-1,弓上递减，在一；』上递增，所以r=-g时，口一例最小值为石，

『=1时，归一回最大值为26,故忖一回的取值范围为［6,2码。

16.解：(1)/(%)=2V3sinxcosx+2cos2x-1=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+

TT37r27r

令—F2k7i<x<----&2k7i(kGZ)得：——\-krr<x<----Fkn

2263

Jr27r

所以/(X)的单调递增区间为—+k7r,—+k7r/eZ)

(2)由(1)知：f(£)=2sin(c+g=2

•••C4--=-+2kn,kG.Z--C=-+2kn,keZ

623

又CE(O,TT)・'♦。=gsinC=—,cosC=\

J2N

又(3a-c)cosB=bcosC,由正弦定理，一=/一=」一得:

sinAsinBsinC

(3sinA-smC)cosB=sinBcosC

整理得3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA

1

,/Ae(0㈤，sinA。（），，cosB

3

•••cos4=COS[TT—(B+C)]=—cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinC

11V32V22V6-1

------X------1-------X---------=----------------

32236

17.(1)过点。作DD'垂直于线段,48,垂足为Z)'.

在直角ZUBC中，因为AB_L3C,ZBJC=4.AB=3,所以8C=JI.

o

在直角△，）/）'中，因为4D'=1,DD'=拒,所以40=2,则smZD4D'=W，

故NZMT号

又NBAC=±,所以NZUP=亳.……2分

00

在△4DP中,由正弦定理得吗=@~,

smJsmj

所以Z)尸=』，字＜6〈亭.……6分(第17题)

sind66

(2)在中，由正弦定理得AD

sinZ.ADPsin9'

所以4尸=2sin乙1DP

sin6

2sm（誓叫1，小（普叫

所以S_“D=|JPPDsin^=1----：-------——-sintf-----：------

sin0sin0sin0

又=1^D-E>CsinZJZ）C=lx2x2sin^=>/3.

所以S“附8分

设三项费用总和为了(6),

sin（冬-6）sin（*-6）.

则如T^、2+函-T^）小导

sin6'6-6'

icos^+lc

=2_^——+也，二<8（加

10分

sin6266

一\一cos8

所以八6)="W令，（6）=0,则6=号.

列表:

2n

e传导）T仔号）

f'W—0+

26/

所以e=华时，He）L=2—.

答：以上三项费用总和的最小值为26万元.....................14分

18.解：（1）依题意，由已知得c=J5,cr-b2=2,由已知易得匕=|OM|=1,解得

x=L

r2

则椭圆的方程为\+y2=l.（2）①当直线/的斜率不存在时，由＜X2,解得

I——3+y=1

x=l，…逅

3

2V62।&

1

设A（l,半），BQ,一净,则勺+&=^^-+—?-=2为定值

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为：y=A（x-1）.

2

将y=找1一1）代入上r+V=1整理化简,得（3k2+l）x2-6k2x+3k2—3=0……7

分

6k2

依题意，直线/与椭圆。必相交于两点，设A8,%）,8（々,%），则M+/=记百

3k2—3

又yt=k(xt-1),y2=k(x2-1),所以kt+k2=-~~—

3X]3x?

=(2%)(3々)+(2%)(3芯)

(3-％)(3—入2)

12一&（百一1）］（3—々）+12一■马一DI。一%）

9-3（玉+工2）+玉工2

12-2a+X2)+k[2x]x2-4(%j+/)+6]

9-3(X1+々)+中2

^^+6]

12-2(玉+x,)+攵[2x3k2—j--4x

3r+112(2公+1)

=2.综上得%+k

6k23k2—3-6(2如+1)2

x—-------1-------------

3公+13公+1

为常数2.

19.解:令1(x)=/(x)+g(x),为⑴=f(x)-g(x).

(1)则4(x)=2x+a+1,(x)=3x2+lax+b,

因为/(x)=x与g(x)=X?+ox+6是一对“P(1)函数”

4⑴=Q+3=0。=-3

所以《所以《

耳⑴=2a+3+b=0b=3

此时，因后(X)=3Y-6X+3=3(X-1)2..O,/z2cr)无极小值，

故/(x)=兀与g(x)=f+以+方不是一对叩(1)函数”.

x2

(2)①4(x)=e*+x?+ox+l,h2(x')=e-(JC+ar+l),

4(x)=ex+2x+a,后(x)=e*(d+(a+2)x+a+l]=e*.(x+l)(x+a+l),

若/(x)=ex与g(x)=x2+ox+l是一对"P(。函数”，

由/z2(x)=eJ(x+l)(x+a+l)=0,得％=-l,x2=-a-1,

1.若a>0,则有

X(-00,-a—1)_Q_1(一〃-1,-1)-1(-l,+oo)

色‘（X）+0-0+

/%(x)/极大值极小值/

因为饱（力在％=，处取得极小值，所以「=一1,

从而〃=-2+a=（）,<7=2--

经验证知"（幻=。'+/+（2—,卜+1在％=—1处取得极小值，所以<

”一1

2.当。<0时，则有

X(-00,-1)-1(―1,—4Z—1)_Q_](-l,+oo)

色’(尤)+0-0+

用(6/极大值极小值/

因为"(£)在％=，处取得极小值，所以，=一。一1；

从而z(―。—l)=e11—£7—2=0,

令夕(a)=e~a~'-a-2,a<0,

a=-1

0(a)在(一8,0)是减函数，且。(-1)=0,所以a=—l,从而《,、

t=0

经验证知九(x)=e，+/一%+1在％=o处取得极小值，所以,“一11

Z=0

3.当a=()时，A(x)=e'<x+1)2..[),用(x)是增函数，无极小值，与题设不符.

n1(1

=—1

综上所述：\a=2—《或<a.

।，=0

20.解：(I)因为。=1,所以/(x)=sinx-xcosx,/"(x)=xsinx.

当xe[O,今rr时，广(x)20恒成立，

所以f(x)在区间[0,自上单调递增，

所以/(幻，/(0)=0.

兀

(II)因为/(x)=asinx-XCOSX,XEIX),]],

所以/'(x)=(〃-l)cosx+xsinx.

①当a=l时，由(I)知，/(幻,0对了€呜]恒成立；

②当a>1时，因为xe[0,4，所以/'(x)>0.

因此/(X)在区间[0,IT/上单调递增，

所以/(x)2/(0)=0对xe呜]恒成立；

③当a<1时，令g(x)=『(X),则g'(x)=(2-a)sinx+xcosx,

因为xw%TT],所以g'(x)》o恒成立，

因此g(x)在区间[0,会TT上单调递增，

且g(0)=a—l<0,g(^)=|>0,

TT

所以存在唯一％e[0,g使得g(Xo)=o,即/'(X。)=0.

所以任意xe(0,%)时，八为<0,所以/(x)在(0,x())上单调递减.

所以/(x)</(0)=。，不合题意.

综上可知，a的最小值为1.

21.【解】设点P(x,y)是/I:的任意•点，共依次经过变换工“4后得到点P'(x；『).

..........................5分

又点/在直线/'上，所以2x'+y-2=0,

itt2(.r+4v)+2v-2=0,即x+5y-l=0.

所以直线/的方程为x+5j，-l=0...........................10分

21B解：(1)因为曲线C的极坐标方程可化为"=2?sin。.

且Y+y2=02,y=「sin(9,

所以曲线C的直角坐标方程为f+y2-2y=0.

1

x=-t

2

直线/：。为参数)的普通方程为y=£r+2.

T+2

l1-1+21_1

(2)圆心(0,1)到直线/：+2的距离为d-(有2-2

又因为半径为1,所以弦长为2,

22.解：（1）如图，以A为坐标原点，所在直线为x,y,z轴建立空间直角

坐标系,则C(1,1,O)、P(0,0,2)、D(1,O,O)、E(O,-,1),....2分

—,1___

从而CE=(-1,——,l),PD=(l,0,-2).

2

—.—.CE-PD

:.cos<CE,PD>=——=r-广二—=-|^

\CE\-\PD\J1+-+I-V1+4

即CE与PZ）所成角的余弦值为迈.

.4分

5

(2)点尸在棱PC上，且PF="C,所以即=刃吃，于是尸(442-2/1),

B尸=(人2-1,2-27),又函=(0,-1,0),CE=(-1,-1,1).

2

设〃=（x,y,z）为平面CDE的法向量，则

__n_y=0

;士，可得1,取x=l,则3=(1,0,1)6分

n-CE=0-x-—y+z=0

设直线即与平面CDE所成的角为。，则

2-22-A

sin0=|cos<BF,n>|=8分

7>l24-(>l-l)2+(2-2A)2-V2向6万-l(H+5

令f=2-4,则所以sin®=「,=

V2V6r-14z+9

当L?,即/=时，2一上+6有最小值J此时sin，取得最大值为主叵，即所

t9